روش پوسته

حجم با مجموعه‌ای از استواته‌های توخالی تخمین زده می‌شود. هرچه دیوارهٔ استوانه‌ای نازک‌تر باشد، حجم تقریب زده شده بهتر است. حد این تقریب همان انتگرال پوسته‌ای است.

روش پوسته الگو:به انگلیسی یا الگو:به انگلیسی روشی برای محاسبهٔ حجم جسم حاصل از دوران است. دراین روش در طول محوری عمود بر محور دوران انتگرال‌گیری می‌شود؛ این روش مقابل روش دیسک که در آن در طول محور موازی با محور دوران انتگرال گرفته می‌شود، است.

تعریف

جسمی سه بعدی که با دوران سطح مقطعی در صفحهٔ الگو:Mvar حول محور الگو:Mvar حاصل شده‌است را در نظر بگیرید. فرض کنید سطح مقطع با نمودار تابع مثبتی الگو:Mvar بر بازهٔ الگو:Math تعریف شده باشد. آنگاه فرمول محاسبهٔ حجم جسم برابر خواهد بود با:

$2\pi \underset{a}{\overset{b}{\int }}xf(x)dx$

اگر به جای دوران حول محور الگو:Mvar حول محور الگو:Mvar باشد آنگاه فرمول به صورت زیر خواهد بود:

$2\pi \underset{a}{\overset{b}{\int }}yf(y)dy$

اگر تابع دور خط الگو:Math دوران یابد آنگاه فرمول برابر می‌شود با:

$\{\begin{array}{cc}2\pi \underset{a}{\overset{b}{\int }}(x-h)f(x)dx,& \text{if}h\le a<b\\ 2\pi \underset{a}{\overset{b}{\int }}(h-x)f(x)dx,& \text{if}a<b\le h,\end{array}$

و اگر حول محور الگو:Math دوران یابد:

$\{\begin{array}{cc}2\pi \underset{a}{\overset{b}{\int }}(y-k)f(y)dy,& \text{if}k\le a<b\\ 2\pi \underset{a}{\overset{b}{\int }}(k-y)f(y)dy,& \text{if}a<b\le k.\end{array}$

این فرمول با محاسبهٔ انتگرال دوگانه در مختصات قطبی حاصل می‌شود.

نمونه

جسم زیر که سطح مقطع آن بر بازهٔ الگو:Math تعریف شده‌است را درنظر بگیرید:

$y=(x-1{)}^2(x-2{)}^2$

با استفاده از روش پوسته فرمول زیر را داریم:

$2\pi \underset{1}{\overset{2}{\int }}x((x-1{)}^2(x-2{)}^2)dx$

با گسترش چندجمله‌ای بالا حل انتگرال بسیار ساده می‌شود. با محاسبهٔ انتگرال، حجم جسم برابر با الگو:Sfrac واحد مربع می‌شود.

جستارهای وابسته

• انتگرال دیسک
• جسم حاصل از دوران

منابع

• الگو:MathWorld
• Frank Ayres, Elliott Mendelson. Schaum's Outlines: Calculus. McGraw-Hill Professional 2008, الگو:Isbn. pp. 244–248 (الگو:Google books)
• "The Shell Method" at Avidemia.com