رادیکال تودرتو

رادیکال تودرتو، رادیکال مسلسل یا رادیکال مرکب در جبر عبارت است از ریشهٔ عبارتی که در خودش یک یا چند عبارت رادیکالی دارد؛ مانند:

$\sqrt{5-2\sqrt{5}},$

یا به صورت پیچیده‌تر:

$\sqrt[3]{2+\sqrt{3}+\sqrt[3]{4}}.$

حذف رادیکال

برخی رادیکال‌های تو در تو را می‌توان ساده‌تر کرد و از حالت تو در تو خارج کرد؛ مانند:

$\sqrt{3+2\sqrt{2}}=1+\sqrt{2},$

$\sqrt{5+2\sqrt{6}}=\sqrt{2}+\sqrt{3},$

$\sqrt[3]{\sqrt[3]{2}-1}=\frac{1-\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4}}{\sqrt[3]{9}}.$

البته گاهی می‌توان فرض کرد که یک رادیکال تو در تو برابر است با مجموع دو ریشه:

$\sqrt{a\pm b\sqrt{c}}=\sqrt{d}\pm \sqrt{e}.$

با به توان دو رساندن دو طرف تساوی خواهیم داشت:

$a\pm b\sqrt{c}=d+e\pm 2\sqrt{de}.$

اگر فرض کنیم:

$a=d+e,$

آنگاه داریم:

$d=a-e,$

$e=a-d.$

و

$b\sqrt{c}=2\sqrt{de},$

با بتوان دو رساندن دو طرف داریم:

$b^{2}c=4de.$

حال e را جایگزین می‌کنیم:

$b^{2}c=4(a-d)d=4ad-4d^2.$

حال عبارت به صورت یک اتحاد درآمد پس خواهیم داشت:

$4d^2-4ad+b^{2}c=0,$

$d=\frac{a\pm \sqrt{a^2-b^{2}c}}{2}.$

از آنجایی که a = d+e است پس d و e خواهند بود:

$d=\frac{a+\sqrt{a^2-b^{2}c}}{2},$

و

$e=\frac{a-\sqrt{a^2-b^{2}c}}{2}.$

روشی که در بالا گفته شد تنها در حالات خاصی که $\sqrt{a^2-b^{2}c}$ حاصل گویا داشته باشد درست است.

برخی از اتحادهای رامانوجان

سرینیواسا رامانوجان، ریاضیدان مشهور هندی، تعدادی از اتحادهای جالب شامل رادیکال های مرکب را اثبات کرد. از جمله:

$$\sqrt[4]{\frac{3+2\sqrt[4]{5}}{3-2\sqrt[4]{5}}}=\frac{\sqrt[4]{5}+1}{\sqrt[4]{5}-1}=\frac{1}{2}(3+\sqrt[4]{5}+\sqrt{5}+\sqrt[4]{125}),$$

$$\sqrt{\sqrt[3]{28}-\sqrt[3]{27}}=\frac{1}{3}(\sqrt[3]{98}-\sqrt[3]{28}-1),$$

$$\sqrt[3]{\sqrt[5]{\frac{32}{5}}-\sqrt[5]{\frac{27}{5}}}=\sqrt[5]{\frac{1}{25}}+\sqrt[5]{\frac{3}{25}}-\sqrt[5]{\frac{9}{25}},$$

و {{$\sqrt[3]{\sqrt[3]{2}-1}=\sqrt[3]{\frac{1}{9}}-\sqrt[3]{\frac{2}{9}}+\sqrt[3]{\frac{4}{9}}.$

جستارهای وابسته

کسر مسلسل

منابع

ویکی انگلیسی