رابطه کوبو

الگو:Sidebar with collapsible lists در فیزیک، رابطه کوبو (الگو:Lang-en) رابطه‌ای است که پاسخ خطی یک کمیت مشاهده‌پذیر را ناشی از یک اختلال وابسته به زمان بیان می‌کند. یک سامانه‌ی کوانتومی توصیف‌شده توسط هامیلتونین وابسته به زمان $H_0$ را در نظر می‌گیریم. برای عملگر $\hat{A}$ خواهیم داشت:

$⟨\hat{A}⟩=\frac{1}{Z_0}\mathrm{Tr}[\widehat{{\rho }_0}\hat{A}]=\frac{1}{Z_0}\sum _n⟨n|\hat{A}|n⟩e^{-\beta E_n}$

$\widehat{{\rho }_0}=e^{-\beta {\hat{H}}_0}=\sum _n|n⟩⟨n|e^{-\beta E_n}$

که در آن $Z_0=\mathrm{Tr}[{\hat{\rho }}_0]$ تابع پارش است. حال فرض کنیم که پس از زمان $t=t_0$ یک اختلال به سامانه وارد شده باشد. این اختلال با یک تابعیت زمان در هامیلتونین بیان می‌شود: $\hat{H}(t)={\hat{H}}_0+\hat{V}(t)\theta (t-t_0),$ که در آن $\theta (t)$ تابع پله‌ای هویساید بوده و $\hat{V}(t)$ هرمیتی است، به گونه‌ای که $\hat{H}(t)$ برای $t-t_0$ دارای یک مجموعه کامل از ویژه‌مقدارهای حقیقی $E_n(t).$ (وابسته به زمان) است.

تحول زمانی بردارهای حالت $|n(t)⟩$ پیرو معادله شرودینگر است $i{\partial }_t|n(t)⟩=\hat{H}(t)|n(t)⟩,$ (در تصویر شرودینگر)، اما از آنجایی که $\hat{V}(t)$ را می‌توان یک اختلال کوچک قلمداد کرد، ساده‌تر آن است که نمایش تصویر اندرکنش را در پایین‌ترین مرتبه به کار گرفت، $|\hat{n}(t)⟩,$. تحول زمانی در این تصویر به صورت $|n(t)⟩=e^{-i{\hat{H}}_{0}t}|\hat{n}(t)⟩=e^{-i{\hat{H}}_{0}t}\hat{U}(t,t_0)|\hat{n}(t_0)⟩,$ که طبق تعریف برای هر t و $t_0$ داریم: $|\hat{n}(t_0)⟩=e^{i{\hat{H}}_0{t}_0}|n(t_0)⟩$

تا مرتبه‌ی خطی در $\hat{V}(t)$ داریم $\hat{U}(t,t_0)=1-i\underset{t_0}{\overset{t}{\int }}d{t}^{\prime }\hat{V}(t^{\prime })$. بنابراین برای $\hat{A}(t)$ به دست می‌آید:

$\begin{array}{ccc}⟨\hat{A}(t)⟩& =& ⟨\hat{A}{⟩}_0-i\underset{t_0}{\overset{t}{\int }}d{t}^{\prime }\frac{1}{Z_0}\sum _n{e}^{-\beta E_n}⟨n(t_0)|\hat{A}(t)\hat{V}(t^{\prime })-\hat{V}(t^{\prime })\hat{A}(t)|n(t_0)⟩\\ & =& ⟨\hat{A}{⟩}_0-i\underset{t_0}{\overset{t}{\int }}d{t}^{\prime }⟨[\hat{A}(t),\hat{V}(t^{\prime })]{⟩}_0\end{array}$

این رابطه برای هر نوع عملگری برقرار است.

منابع

• الگو:یادکرد-ویکی