رابطه بازتابی

الگو:Stack در ریاضیات، رابطهٔ بازتابی الگو:به انگلیسی رابطه‌ای است که برای یک مجموعهٔ ناتُهی تعریف می‌شود و به رابطهٔ دوتایی‌ای می‌گویند که همهٔ عناصر مجموعه آن رابطه را با خودشان داشته باشند.

هر رابطهٔ همانی یک رابطهٔ بازتابی است با این حال هر رابطهٔ بازتابی لزوماً همانی نیست.الگو:Sfn

مثال «1»

اگر $A=\{1,2,3\}$ و رابطهٔ دوتایی $R_1$ به صورت $R_1=\{(1,1),(2,2),(2,3),(3,3)\}$ تعریف شود، آنگاه $R_1$ یک رابطهٔ بازتابی خواهد بود. ولی رابطهٔ $R_2=\{(1,1),(2,2),(2,3),(3,2)\}$ بازتابی نیست زیرا با وجود اینکه $3\in A$، اما $(3,3)\notin R_2$.الگو:Sfn

ماتریس متناظر با رابطه بازتابی

ماتریس متناظر با رابطه ی بازتابی، ماتریسی است که همه ی درایه های قطر اصلی آن یک باشد. بنابرین ماتریس M = [m_i,j] با n سطر و n ستون دارای خاصیت بازتابی است اگر:

$m_{i,j}=1\text{ if }i=j\mathrm{\forall }i,j\in \{1,2,\dots ,n\}.$

مثال «2»

ماتریس $M_1=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 1& 1\end{array}\right]$ دارای خاصیت بازتابی است زیرا تمام درایه های قطر اصلی آن یک هستند.ولی ماتریس $M_2=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 1& 0\end{array}\right]$ دارای خاصیت بازتابی نیست زیرا تمام درایه های قطر اصلی آن یک نیستند.

گراف متناظر با رابطه بازتابی

گراف متناظر با رابطه ی بازتابی، گرافی است که تمام رئوس آن دارای حلقه (loop) باشد.

مثال «3»

تصویر 1 نشان دهنده ی گرافی است که دارای خاصیت بازتابی است زیرا تمام رئوس آن دارای حلقه است .و تصویر 2 نشان دهنده ی گرافی است که خاصیت بازتابی ندارد زیرا رئوس a,b آن دارای حلقه نمی باشند.

پرونده:Reflexive relation graph.png

تصویر 1

پرونده:Not reflexive relation graph.png

تصویر 2

بستار بازتابی رابطه R

اگر رابطه $R$ دارای خاصیت بازتابی نباشد رابطه ی $R^{\prime }$ که شامل $R$ بوده و خاصیت بازتابی نیز دارد و زیر مجموعه ی هر رابطه ی دیگری که شامل $R$ است نیز باشد بستار بازتابی رابطه ی $R$ نامیده می شود.

مثال «4»

همانطور که در مثال 1 دیدید رابطهٔ $R_2=\{(1,1),(2,2),(2,3),(3,2)\}$ بازتابی نیست.حال اگر زوج مرتب $(3,3)$ را به رابطه ی $R_2$ بیفزاییم رابطه ی ${R_2}^{\prime }=\{(1,1),(2,2),(2,3),(3,2),(3,3)\}$ بدست می آید که همان بستار بازتابی رابطه ی $R_2$ نامیده می شود.

جستارهای وابسته

• رابطهٔ ترایا

منابع

• الگو:Cite book
• الگو:Cite book
• الگو:Cite book