دنباله‌های بازنشناختنی

الگو:تمیزکاری الگو:عنوان مقاله الگو:نامفهوم الگو:ویکی‌سازی

دنباله‌های بازنشناختنی

در ریاضیات، در نظریهٔ مدلها، منظور از یک دنباله‌ٔ بازنشناختنی، یا یک دنبالهٔ تمیزداده‌نشدنی، یا یک دنباله‌ٔ متشکل از اعضای از هم بازنشناخته‌شدنی، دنباله‌ای است که تایپ هر چندتایی‌ِ متشکل از اعضای آن، تنها به ترتیب قرار گرفتن آن اعضا وابسته باشد. به بیان دیگر، دنبالهٔ $(a_{i})_{i \in ω}$ از عناصرِ $a_{i}$ در مدل هیولا روی مجموعهٔ $A$ از پارامترها بازنشناختنی است، هرگاه برای هر تعداد متناهی از اندیسهای $i_{1}, \dots, i_{n}$ تایپ کامل $t p (a_{i_{1}}, \dots, a_{i_{n}} / A)$ تنها به تایپ «بدون‌سورِ» اندیسهای $i_{1}, \dots, i_{n}$ در زبانِ ${=, <}$ بستگی داشته باشد. برای مثال در تئوری ترتیب‌های خطیِ چگال بدون ابتدا و انتها (دی‌اِلْ‌اُ) هر دنباله‌ٔ صعودی، روی مجموعه‌ٔ تهی بازنشناختنی است. نیز در این تئوری، برای هر مجموعه‌ٔ $A$ هر دنباله‌ٔ صعودی که همه‌ٔ اعضای آن در شکافی از $A$ واقع شود، روی $A$ بازنشناختنی است. برای مثالی دیگر، فرض کنید $M$ یک میدان بستهٔ جبری باشد و $(a_{i})_{i \in ω}$ دنباله‌ای از عناصرِ متعالی روی $M$ . این دنباله نیز روی $M$ بازنشناختنی است. در واقع تایپهای شکل‌گرفته از اعضای این دنباله، تنها به تایپ اندیسهای متناظرشان در زبان ${=}$ وابسته‌اند و از این رو این دنباله را می‌توان «بسیاربازنشناختنی» خواند. به‌طور کلی، در تئوری‌های ثابت، هر دنباله‌ٔ بازنشناختنی، بسیار بازنشناختنی است.

تعریف

دنباله‌ی $(a_{i})_{i \in ω}$ را که در آن هر $a_{i}$ یک چندتایی (نه لزوماً متناهی) در مدل هیولاست، روی مجموعه‌ٔ پارامترِ $A$ بازنشناختنی می‌خوانیم هرگاه برای هر $i_{1} < i_{2} < \dots < i_{n} \in ω$ داشته باشیم $a_{i_{1}} \dots a_{i_{n}} \equiv_{A} a_{1} \dots a_{n}$ ؛ یعنی $t p (a_{i_{1}} \dots a_{i_{n}} / A) = t p (a_{1} \dots a_{n} / A)$ .

وجود و نحوه‌ٔ به دست آوردن دنباله‌های بازنشناختنی

در هر تئوریِ کاملی می‌توان در مدل هیولا دنباله‌ای بازنشناختنی پیدا کرد. برای اثباتِ این امر، از لمی ترکیبیاتی به نام «لم رمزی» استفاده شود. بیان نظریهٔ مدلی این لم به «لمِ استاندارد» موسوم است که در زیر آمده‌است.

لم استاندارد

فرض کنید $(a_{i})_{i \in ω}$ دنباله‌ای دلخواه در مدل هیولا باشد و $A$ مجموعه‌ای باشد از پارامترها. آن‌گاه یک دنبالهٔ $(b_{i})_{i \in ω}$ بازنشناختنی روی $A$ چنان یافت می‌شود که تایپِ اهغن‌موستوفسکیِ دنباله‌ی $A$ را برآورد. به بیان دیگر، دنباله‌ٔ $(b_{i})_{i \in ω}$ دارای این ویژگی است که برای هر $n \in ω$ و برای هر فرمولِ $ϕ (x_{1}, \dots, x_{n}, y)$ و برای هر پارامترِ $a \in A$ ، اگر برای هر $i_{1} < \dots < i_{n} \in ω$ داشته باشیم $⊨ ϕ (a_{i_{1}}, \dots, a_{i_{n}}, a)$ آن‌گاه داریم $⊨ ϕ (b_{1}, \dots, b_{n}, a)$ . نیز به بیان دیگر، دنباله‌ٔ $(b_{i})_{i \in ω}$ دارای این ویژگی است که برای هر فرمولِ $ϕ (x_{1}, \dots, x_{n}, y)$ و هر $a \in A$ از $⊨ ϕ (b_{1}, \dots, b_{n}, a)$ نتیجه می‌شود که اندیسهای $i_{1} < \dots < i_{n}$ از دنباله‌ٔ اولیه موجودند که $⊨ ϕ (a_{i_{1}}, \dots, a_{i_{n}}, a)$ الگو:سخ دنبالهٔ حاصل از لم استاندارد، «موضعاً» و حول هر فرمول، شبیه دنباله‌ٔ اولیه است و تضمینی وجود ندارد که تایپهای اعضای آن در دنبالهٔ اولیه موجود باشند. برای به دست آوردن دنباله‌ای که تایپ اعضایش در دنباله‌ٔ اولیه موجود باشد، عموماً از نسخه‌ٔ بهبودیافته‌ای از لم استاندارد، موسوم به «لم شلاخ» استفاده می‌شود که در زیر آمده‌است. شایانِ یادآوری است که از لوازم این لم، در دست داشتن دنباله‌ای باندازه طولانی است.

لم شلاخ

برای هر مجموعهٔ پارامترِ $A$ یک کاردینالِ $λ$ موجود است به‌طوری‌که برای هر دنباله‌ٔ $(a_{i})_{i \in I}$ که در آن $| I | = λ$ بتوان دنباله‌ٔ بازنشناختنیِ $(b_{i})_{i \in ω}$ را چُنان یافت که برای هر $n \in ω$ اندیسهای $i_{1} < \dots < i_{n} \in I$ پیدا شوند که $b_{1} \dots b_{n} \equiv_{A} a_{i_{1}} \dots a_{i_{n}}$ .

آرایه‌های بازنشناختنی

ایدهٔ ازهم‌بازشناخته‌نشدن را می‌توان از دنباله‌ها به آرایه‌ها تعمیم داد. در آرایه‌ها نیز چند نوع بازنشناختنی بودن می‌توان تعریف کرد. الگو:سخ آرایه‌ی $(a_{i j})_{i, j \in ω}$ را بازنشناختنی متقابل می‌خوانیم هرگاه هر سطرِ $(a_{i j})_{j \in ω}$ از آن، روی بقیه‌ٔ آرایه، یعنی روی $(a_{k j})_{k = i, j \in ω}$ دنباله‌ای بازنشناختنی باشد. معادلاً آرایه‌ٔ $(a_{i j})_{i, j \in ω}$ بازنشناختنی متقابل است، هرگاه برای هر دو سطرِثابت‌گرفته‌شده‌ٔ $i_{1}, i_{2}$ تایپ چندتاییِ $a_{i_{1} j_{i_{1}}^{1}} \dots a_{i_{1} j_{i_{1}}^{m}} a_{i_{2} j_{i_{2}}^{1}} \dots a_{i_{2} j_{i_{2}}^{m}}$ تنها به تایپِ اندیسهای $j_{i_{1}}^{1}, \dots, j_{i_{1}}^{m}$ و $j_{i_{2}}^{1}, \dots, j_{i_{2}}^{m}$ در زبان ${=, <}$ بستگی داشته باشد. الگو:سخ دنباله‌ٔ ستونهای یک آرایه‌ٔ بازنشناختنیِ متقابل، دنباله‌ای بازنشناختنی (از دنباله‌ها) است. آرایه‌های بازنشناختنی متقابل نیز دارای «ساختاری رمزی» هستند. یعنی اگر آرایه‌ٔ دلخواهِ $(a_{i j})_{i, j \in ω}$ داده شده باشد، می‌توان با کمک لم استاندارد، آرایه‌ٔ $(b_{i j})_{i, j \in ω}$ را چنان یافت که $(b_{i j})_{i, j \in ω} ⊨ E M ((a_{i j})_{i, j \in ω})$ ؛ بدین معنی که $(b_{i j})_{i, j \in ω}$ چنان است که برای هر دو شماره‌ٔ $i_{1}, i_{2}$ از سطرها و هر فرمولِ $ϕ$ ، از این که $⊨ ϕ (b_{i_{1} 1} \dots b_{i_{1} m} b_{i_{2} 1} \dots b_{i_{2} m})$ نتیجه شود که اندیسهای $j_{i_{1}}^{1} < \dots < j_{i_{1}}^{m}, j_{i_{2}}^{1}, \dots < j_{i_{2}}^{m}$ برای سطرهای آرایه‌ٔ $(a_{i j})_{i, j \in ω}$ پیدا می‌شوند که $⊨ ϕ (a_{i_{1} j_{i_{1}}^{1}} \dots a_{i_{1} j_{i_{1}}^{m}}, a_{i_{2} j_{i_{2}}^{1}}, \dots a_{i_{2} j_{i_{2}}^{m}})$ . الگو:سخ به این ترتیب، نیز آرایه‌ی $(a_{i j})_{i, j \in ω}$ را بسیاربازنشناختنی می‌خوانیم هرگاه دنباله‌ٔ سطرهای آن (همچون دنباله‌ای از دنباله‌ها) و دنبالهٔ ستونهای آن (همچون دنباله‌ای از دنباله‌ها) هر دو بازنشناختنی باشند.

پانویس

الگو:پانویس

منابع

الگو:چپ‌چین

الگو:پایان چپ‌چین

دنباله‌های بازنشناختنی

فهرست