حلقه قفل فاز با پمپ بار

پی‌ال‌ال پمپ‌بار

حلقه قفل فاز با پمپ‌بار الگو:به انگلیسی (سی‌پی-پی‌ال‌ال) اصلاحی از حلقه‌های قفل فاز با آشکارسازهای فرکانس-فاز و سیگنال‌های شکل‌موج مربعی است. یک سی‌پی-پی‌ال‌ال امکان قفل سریع فاز سیگنال ورودی را فراهم می‌کند و خطای فاز حالت ماندگار پایین را به دست می‌آورد.

آشکارساز فرکانس-فاز (پی‌اف‌دی)

دینامیک آشکارساز فرکانس-فاز

آشکارساز فرکانس-فاز (پی‌اف‌دی) توسط لبه‌های انتهایی سیگنال‌های مرجع (Ref) و کنترل شده (وی‌سی‌او) فعال می‌شود. سیگنال خروجی پی‌اف‌دی $i(t)$ می‌تواند تنها سه حالت داشته باشد: ۰، $+I_p$ ، و $-I_p$ . یک لبه انتهایی سیگنال مرجع، پی‌اف‌دی را مجبور می‌کند به حالت بالاتر سوئیچ کند، مگر اینکه قبلاً در حالت $+I_p$ باشد. . لبه انتهایی سیگنال وی‌سی‌او، پی‌اف‌دی را مجبور می‌کند به حالت پایین‌تر سوئیچ کند، مگر اینکه قبلاً در حالت $-I_p$ باشد. اگر هر دو لبه انتهایی همزمان اتفاق بیفتند، پی‌اف‌دی به صفر می‌رود.

مدل‌های ریاضی سی‌پی-پی‌ال‌ال

اولین مدل ریاضی خطی مرتبه‌دوم سی‌پی-پی‌ال‌ال توسط اف گاردنر در سال ۱۹۸۰ پیشنهاد شد. یک مدل غیرخطی بدون اضافه‌بار وی‌سی‌او توسط ام ون پامل در سال 1994 پیشنهاد شد و سپس توسط اِن کوزنتسوف و همکارانش در سال ۲۰۱۹ اصلاح شد. مدل ریاضی فرم بسته سی‌پی-پی‌ال‌ال با در نظر گرفتن اضافه‌بار وی‌سی‌او مشتق‌شده است.

این مدل‌های ریاضی سی‌پی-پی‌ال‌ال به شما امکان می‌دهند تا تخمین‌های تحلیلی از محدوده نگه‌داشتن الگو:به انگلیسی (حداکثر دامنه از دوره‌تناوب سیگنال ورودی به‌گونه‌ای که حالت قفل‌شده وجود داشته باشد که در آن وی‌سی‌او بیش از حد بارگذاری نمی‌شود) و محدوده درون‌کِش الگو:به انگلیسی (یک حداکثر دامنه از دوره‌تناوب سیگنال ورودی در محدوده نگه‌داشتن به گونه‌ای که برای هر حالت اولیه سی‌پی-پی‌ال‌ال حالت قفل‌شده را به دست می‌آورد).

مدل خطی زمان پیوسته سی‌پی-پی‌ال‌ال مرتبه دوم و حدس گاردنر

تحلیل گاردنر بر اساس تقریب زیر است: بازه زمانی که در آن پی‌اف‌دی در هر دوره‌تناوب سیگنال مرجع حالت غیر صفر دارد.

$t_p=|{\theta }_e|/{\omega }_{\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{f}},{\theta }_e={\theta }_{\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{f}}-{\theta }_{\mathrm{v}\mathrm{c}\mathrm{o}}.$

سپس متوسط خروجی از پی‌اف‌دی پمپ‌بار می‌شود:

$i_d=I_p{\theta }_e/2\pi$

با تابع انتقال مربوطه

$I_d(s)=I_p{\theta }_e(s)/2\pi$

با استفاده از تابع انتقال فیلتر $F(s)=R+\frac{1}{Cs}$ و تابع انتقال وی‌سی‌او ${\theta }_{\mathrm{v}\mathrm{c}\mathrm{o}}(s)=K_{\mathrm{v}\mathrm{c}\mathrm{o}}{I}_d(s)F(s)/s$ یک مدل متوسط تقریبی خطی گاردنر از سی‌پی-پی‌ال‌ال مرتبه دوم را دریافت می‌کند

$\frac{{\theta }_e(s)}{{\theta }_{\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{f}}(s)}=\frac{2\pi s}{2\pi s+K_{\mathrm{v}\mathrm{c}\mathrm{o}}{I}_p(R+\frac{1}{Cs})}.$

در سال ۱۹۸۰، اف گاردنر، بر اساس استدلال فوق، حدس زد که پاسخ گذرا پی‌ال‌ال‌های پمپ‌بار عملی می‌تواند تقریباً مشابه پاسخ پی‌ال‌ال کلاسیک معادل باشد الگو:صا(حدس گاردنر در مورد سی‌پی-پی‌ال‌ال). به دنبال نتایج گاردنر، با قیاس با حدس اگان در محدوده درون‌کش ای‌پی‌ال‌ال نوع ۲، عَمرو فهیم در کتاب خود حدس‌زد الگو:صاکه برای داشتن یک محدوده درون‌کِش (گرفتن) نامتناهی، باید از یک فیلتر فعال برای فیلتر حلقه در سی‌پی-پی‌ال‌ال استفاده شود (حدس فهیم-ایگان در محدوده درون‌کِش نوع II سی‌پی-پی‌ال‌ال).

مدل غیرخطی زمان پیوسته سی‌پی-پی‌ال‌ال مرتبه دوم

بدون از دست دادن کلیت، فرض می‌شود که لبه‌های انتهایی سیگنال‌های وی‌سی‌او و Ref زمانی رخ می‌دهند که فاز مربوطه به یک عدد صحیح برسد. اجازه دهید نمونه زمانی اولین لبه انتهایی سیگنال Ref به صورت $t=0$ تعریف شود. حالت پی‌اف‌دی $i(0)$ توسط حالت اولیه پی‌اف‌دی $i(0-)$ تعیین می‌شود، تغییرات فاز اولیه وی‌سی‌او ${\theta }_{vco}(0)$ و Ref ${\theta }_{ref}(0)$ سیگنال‌ها هستند.

رابطه بین جریان ورودی $i(t)$ و ولتاژ خروجی $v_F(t)$ برای فیلتر تناسبی انتگرالی (PI کامل) بر اساس مقاومت و خازن به شرح زیر است

$\begin{array}{c}{v}_F(t)=v_c(0)+Ri(t)+\frac{1}{C}\underset{0}{\overset{t}{\int }}i(\tau )d\tau \end{array}$

که اینجا $R>0$ یک مقاومت است، $C>0$ یک ظرفیت‌خازنی است و $v_c(t)$ بار خازن است سیگنال کنترل $v_F(t)$ فرکانس وی‌سی‌او را تنظیم می‌کند:ا

$\begin{array}{c}{\dot{\theta }}_{vco}(t)={\omega }_{vco}(t)={\omega }_{vco}^{\text{free}}+K_{vco}{v}_F(t),\end{array}$

که اینجا ${\omega }_{vco}^{\text{free}}$ فرکانس وی‌سی‌او آزادگرد الگو:به انگلیسی (سکوت) است (یعنی برای $v_F(t)\equiv 0$) $K_{vco}$ بهره وی‌سی‌او (حساسیت) است و ${\theta }_{vco}(t)$ فاز وی‌سی‌او است. درنهایت مدل ریاضی غیرخطی زمان پیوسته سی‌پی-پی‌ال‌ال به شرح زیر است

$\begin{array}{c}{\dot{v}}_c(t)=\frac{1}{C}i(t),{\dot{\theta }}_{vco}(t)={\omega }_{vco}^{\text{free}}+K_{vco}(Ri(t)+v_c(t))\end{array}$

با غیرخطینگی الگو:به انگلیسی ثابت تکه‌ای الگو:به انگلیسی ناپیوسته زیر

$i(t)=i(i(t-),{\theta }_{ref}(t),{\theta }_{vco}(t))$

و شرایط اولیه $(v_c(0),{\theta }_{vco}(0))$ . این مدل یک سامانه سوئیچینگ غیرخطی، ناخودگردان، ناپیوسته است.

مدل غیرخطی زمان گسسته سی‌پی-پی‌ال‌ال مرتبه دوم

فواصل زمانی دینامیک پی‌اف‌دی

فرکانس سیگنال مرجع، ثابت فرض می‌شود:

${\theta }_{ref}(t)={\omega }_{ref}t=\frac{t}{T_{ref}},$ که اینجا $T_{ref}$, ${\omega }_{ref}$ و ${\theta }_{ref}(t)$ یک دوره‌تناوب، فرکانس و فاز از سیگنال مرجع هستند. هرگاه $t_0=0$. با $t_0^{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{d}\mathrm{d}\mathrm{l}\mathrm{e}}$ اولین لحظه از زمان به طوری که خروجی پی‌اف‌دی (اگر $i(0)=0$، پس $t_0^{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{d}\mathrm{d}\mathrm{l}\mathrm{e}}=0$) و توسط $t_1$ اولین لبه انتهایی وی‌سی‌او یا Ref صفر می‌شود. علاوه بر این، توالی‌های افزایش دهنده مربوطه $\{t_k\}$ و $\{t_k^{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{d}\mathrm{d}\mathrm{l}\mathrm{e}}\}$ برای $k=0,1,2...$ تعریف شده‌اند. هرگاه $t_k<t_k^{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{d}\mathrm{d}\mathrm{l}\mathrm{e}}$. سپس برای $t\in [t_k,t_k^{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{d}\mathrm{d}\mathrm{l}\mathrm{e}})$ این $\text{sign}(i(t))$ ثابت ناصفر ($\pm 1$) است. با ${\tau }_k$ عرض پالس پی‌اف‌دی (طول فاصله زمانی، که در آن خروجی پی‌اف‌دی یک ثابت ناصفر است) ، ضرب شده با سیگ از خروجی پی‌اف‌دی: یعنی ${\tau }_k=(t_k^{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{d}\mathrm{d}\mathrm{l}\mathrm{e}}-t_k)\text{sign}(i(t))$ برای $t\in [t_k,t_k^{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{d}\mathrm{d}\mathrm{l}\mathrm{e}})$ و ${\tau }_k=0$ برای $t_k=t_k^{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{d}\mathrm{d}\mathrm{l}\mathrm{e}}$. اگر لبه انتهایی وی‌سی‌او قبل از لبه انتهایی Ref ضربه بزند، سپس ${\tau }_k<0$ و در وضعیت مخالف ما ${\tau }_k>0$ یعنی ${\tau }_k$ نشان می‌دهد که چگونه یک سیگنال عقب‌تر از دیگری است. خروجی صفر پی‌اف‌دی $i(t)\equiv 0$ در فاصله $(t_k^{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{d}\mathrm{d}\mathrm{l}\mathrm{e}},t_{k+1})$: $v_F(t)\equiv v_k$ برای $t\in [t_k^{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{d}\mathrm{d}\mathrm{l}\mathrm{e}},t_{k+1})$. تبدیل متغیرها $({\tau }_k,v_k)$ به $p_k=\frac{{\tau }_k}{T_{\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{f}}},u_k=T_{\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{f}}({\omega }_{\mathrm{v}\mathrm{c}\mathrm{o}}^{\text{free}}+K_{\mathrm{v}\mathrm{c}\mathrm{o}}{v}_k)-1,$ اجازه می‌دهد تا تعداد پارامترها را به دو کاهش دهد: $\alpha =K_{\mathrm{v}\mathrm{c}\mathrm{o}}{I}_p{T}_{\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{f}}R,\beta =\frac{K_{\mathrm{v}\mathrm{c}\mathrm{o}}{I}_p{T}_{\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{f}}^2}{2C}.$ اینجا $p_k$ یک جابجایی فاز نرمال شده است و $u_k+1$ نسبت فرکانس وی‌سی‌او ${\omega }_{\mathrm{v}\mathrm{c}\mathrm{o}}^{\text{free}}+K_{\mathrm{v}\mathrm{c}\mathrm{o}}{v}_k$ به فرکانس مرجع $\frac{1}{T_{\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{f}}}$ است. درنهایت، مدل زمان‌گسسته از مرتبه دوم سی‌پی-پی‌ال‌ال بدون اضافه بار وی‌سی‌او

$\begin{array}{cc}& u_{k+1}=u_k+2\beta p_{k+1},\\ & p_{k+1}=\{\begin{array}{c}\frac{-(u_k+\alpha +1)+\sqrt{(u_k+\alpha +1{)}^2-4\beta c_k}}{2\beta },\text{ for }{p}_k\ge 0,c_k\le 0,\\ \frac{1}{u_k+1}-1+(p_k\text{ mod }1),\text{ for }{p}_k\ge 0,c_k>0,\\ l_k-1,\text{ for }{p}_k<0,l_k\le 1,\\ \frac{-(u_k+\alpha +1)+\sqrt{(u_k+\alpha +1{)}^2-4\beta d_k}}{2\beta },\text{ for }{p}_k<0,l_k>1,\end{array}\end{array}$

که اینجا

$\begin{array}{c}{c}_k=(1-(p_k\text{ mod }1))(u_k+1)-1,S_{l_k}=-(u_k-\alpha +1)p_k+\beta p_k^2,l_k=\frac{1-(S_{l_k}\text{ mod }1)}{u_k+1},d_k=(S_{l_k}\text{ mod }1)+u_k.\end{array}$

این مدل زمان‌گسسته تنها یک حالت ثابت در $(u_k=0,p_k=0)$ دارد و امکان تخمین محدوده‌های نگه‌داشت و درون‌کِش را فراهم می‌کند.

اگر وی‌سی‌او بیش از حد بارگذاری شود، به‌عنوان مثال ${\dot{\theta }}_{\mathrm{v}\mathrm{c}\mathrm{o}}(t)$ صفر است یا همان: $(p_k>0,u_k<2\beta p_k-1)$ یا $(p_k<0,u_k<\alpha -1)$ ، سپس موارد اضافی دینامیکی سی‌پی-پی‌ال‌ال باید در نظر گرفته شود. برای هر پارامتر، اضافه‌بار وی‌سی‌او ممکن است برای اختلاف فرکانس کافی بین سیگنال‌های وی‌سی‌او و مرجع رخ دهد. در عمل باید از اضافه‌بار وی‌سی‌او اجتناب شود.

مدل‌های غیرخطی سی‌پی-پی‌ال‌ال مرتبه‌بالا

اشتقاق مدل‌های ریاضی غیرخطی مرتبه‌بالا سی‌پی-پی‌ال‌ال منجر به معادلات فاز ترافرازنده می‌شود که به صورت تحلیلی قابل حل نیستند و به روش‌های عددی مانند روش نقطه‌ثابت کلاسیک یا رویکرد نیوتن‌رافسون نیاز دارند.