جدول گروه‌های لی

این مقاله شامل جداولی از برخی گروه‌های لی رایج و جبرهای لی متناظرشان را ارائه می نماید.

این موارد ذکر شده اند: خواص توپولوژیکی گروه (بعد؛ همبندی؛ فشردگی؛ ماهیت گروه بنیادی؛ و این که آیا همبند ساده اند یا نه، به علاوه خواص جبریشان (آبلی؛ ساده؛ نیم‌ساده).

گروه‌های لی حقیقی و جبرهایشان

شرح علائم به کار رفته برای عنوان ستون‌ها:

• Cpt: آیا گروه G مورد نظر فشرده است یا خیر? (بله یا خیر)
• ${\pi }_0$: گروه مؤلفه‌های G را می‌دهد. مرتبه بزرگی گروه مؤلفه‌ای، تعداد مؤلفه‌های همبندی را ارائه می‌کند. گروه مورد نظر همبند است اگر و تنها اگر گروه مؤلفه‌ها بدیهی باشد (که با 0 نشان داده شده).
• ${\pi }_1$: هرگاه G همبند باشد، گروه بنیادی G را می‌دهد.
• UC: اگر G همبند ساده نباشد، پوشش جهانی G را می‌دهد.
• $dim/ℝ$: بعد روی فضای برداری با اسکالرهای حقیقی.

گروه لی	توصیف	Cpt	${\pi }_0$	${\pi }_1$	UC	نکات	جبر لی	$dim/ℝ$
${ℝ}^n$	فضای اقلیدسی به همراه جمع	N	0	0		آبلی	${ℝ}^n$	n
${ℝ}^{\times }$	اعداد حقیقی ناصفر به همراه جمع	N	${\mathbb{Z}}_2$	–		آبلی	$ℝ$	1
${ℝ}^{+}$	اعداد حقیقی مثبت با ضرب	N	0	0		آبلی	$ℝ$	1
$S^1=U(1)$	گروه دایره‌ای: اعداد مختلط با قدر مطلق 1، با ضرب؛	Y	0	$\mathbb{Z}$	$ℝ$	آبلی، یکریخت با SO(2)، Spin(2)، و$ℝ/\mathbb{Z}$	$ℝ$	1
Aff(1)	تبدیلات آفین معکوس‌پذیر از $ℝ$ به $ℝ$.	N	${\mathbb{Z}}_2$	0		گروه حل‌پذیر؛ ضرب نیم‌مستقیم از ${ℝ}^{+}$ و ${ℝ}^{\times }$	$\{\left[\begin{array}{cc}a& b\\ 0& 0\end{array}\right]:a,b\in ℝ\}$	2
${ℍ}^{\times }$	چهارگان‌های ناصفر با ضرب	N	0	0			$ℍ$	4
$S^3=Sp(1)$	چهارگان‌هایی با قدر مطلق 1 با ضرب؛ از نظر توپولوژیکی یک 3-کره است.	Y	0	0		یکریخت با SU(2) و Spin(3)؛ پوشش مضاعفی از SO(3)	$Im(ℍ)$	3
$GL(n,ℝ)$	گروه خطی عام: ماتریس‌های حقیقی n×n معکوس‌پذیر	N	${\mathbb{Z}}_2$	–			$M(n,ℝ)$	$n^2$
$G{L}^{+}(n,ℝ)$	ماتریس‌های حقیقی n×n با دترمینان مثبت	N	0	$\mathbb{Z};n=2$  n=2الگو:سخ${\mathbb{Z}}_2$ n>2		$G{L}^{+}(1,ℝ)$ با ${ℝ}^{+}$ یکریخت بوده و همبند ساده است	M(n,$ℝ$)	n2
SL(n,$ℝ$)	گروه خطی خاص: ماتریس‌های حقیقی با دترمینان 1	N	0	$\mathbb{Z}$  n=2الگو:سخ${\mathbb{Z}}_2$ n>2		$SL(1,ℝ)$ تک نقطه است و بنابراین فشرده و همبند ساده است.	sl(n,$ℝ$)	n2−1
SL(2,$ℝ$)	ایزومتری‌های جهت-نگهدار نیم-صفحه پوانکاره، یکریخت با $SU(1,1)$، و یکریخت با $Sp(2,ℝ$.	N	0	$\mathbb{Z}$		پوشش جهانی اش هیچ نمایش وفادار متناهی بعدی ندارد.	sl(2,$ℝ$)	3
O(n)	گروه متعامد: ماتریس‌های متعامد حقیقی	Y	${\mathbb{Z}}_2$	–		گروه متقارن کره (n=3) یا ابرکره.	so(n)	n(n−1)/2
SO(n)	گروه متعامد خاص: ماتریس‌های متعامد حقیقی با دترمینان 1	Y	0	$\mathbb{Z}$  n=2الگو:سخ${\mathbb{Z}}_2$ n>2	Spin(n)الگو:سخn>2	$SO(1)$ تک نقطه است و $SO(2)$ یکریخت با گروه دایره‌ای است، $SO(3)$ نیز گروه دایره‌ای کره است.	so(n)	n(n−1)/2
Spin(n)	گروه اسپین: پوشش مضاعفی از $SO(n)$.	Y	0 n>1	0 n>2		$Spin(1)$ یکریخت با ${\mathbb{Z}}_2$ بوده و همبند نیست؛ $Spin(2)$ یکریخت با گروه دایره‌ای است و همبند ساده نیست.	so(n)	n(n−1)/2
$sp(2n,ℝ)$	گروه سیمپلکتیک: ماتریس‌های سیمپلکتیک حقیقی	N	0	$\mathbb{Z}$			$sp(2n,ℝ)$	n(2n+1)
Sp(n)	گروه سیمپلکتیک فشرده: ماتریس‌های یکانی چهارگانی n×n.	Y	0	0			sp(n)	n(2n+1)
$Mp(2n,ℝ)$	گروه متاپلکتیک: پوشش مضاعفی از گروه سیمپلکتیک حقیقی $Sp(2n,ℝ)$	Y	0	$\mathbb{Z}$		$Mp(2,ℝ)$ گروه لی بوده که جبری نیست.	sp(2n,$ℝ$)	n(2n+1)
U(n)	گروه یکانی: ماتریس‌های یکانی n×n مختلط.	Y	0	$\mathbb{Z}$	$ℝ\times SU(n)$	برای n=1: یکریخت با $S^1$. توجه: این یک گروه/جبر لی مختلط نیست.	u(n)	$n^2$
SU(n)	گروه یکانی خاص: ماتریس‌های یکانی n×n مختلط با دترمینان 1.	Y	0	0		توجه: این گروه/جبر لی مختلط نیست.	su(n)	n2−1

منابع

• الگو:Fulton-Harris

• الگو:یادکرد-ویکی