جبر همولوژی

در ریاضیات و به ویژه در جبر مجرد، جبر همولوژی شاخه‌ای است که به بررسی همولوژی و کوهمولوژی کمپلکس‌های زنجیری می‌پردازد. ریشه‌های جبر همولوژی در شاخه‌هایی همچون توپولوژی جبری، هندسه جبری و توپولوژی ترکیبیاتی از آغاز سده بیستم در آثار ریاضیدانانی همچون پوانکاره و هیلبرت قابل ردیابی هستند. جبر همولوژی امروزه و به ویژه با برآمدن نظریه رده‌ها، به حالتی بسیار کلیتر و مجردتر از کاربردهای آغازین آن در هندسه تعریف و به کار برده می‌شود ولی همچنان این رشته کاربردهای فراوانی در شاخه‌های گفته شده دارد.

کمپلکسهای زنجیری و همولوژی

فرض کنید $𝒜$ یکی از رده‌های گروههای آبلی، مدول‌ها یا فضاهای برداری، $C_i$‌ها برای هر $i\in \mathbb{Z}$ اشیایی در $𝒜$ و ریختارهای $d_i$ در این رده به گونه زنجیر زیر داده شده باشند: $C:=\dots \stackrel{d_{n+2}}{\to }{C}_{n+1}\stackrel{d_{n+1}}{\to }{C}_n\stackrel{d_n}{\to }{C}_{n-1}\stackrel{d_{n-1}}{\to }\dots$

اگر $𝒜$ رده گروههای آبلی، مدول‌ها یا فضاهای برداری باشد $d_i$ها به ترتیب همریختی گروهی، همریختی مدولی یا نگاشتهای خطی فضاهای برداری هستند.

چنین زنجیری از اشیا و ریختارها در رده $𝒜$ یک کمپلکس زنجیری خوانده می‌شود اگر داشته باشیم: $d_n\circ d_{n+1}=0$. این شرط معادل این شرط است که: $Im{d}_{n+1}\subset Ker{d}_n$ و چون در رده $𝒜$ خارج قسمت‌ها قابل تعریف اند (در رده‌های گروههای آبلی، مدولها و فضاهای برداری خارج قسمت‌ها قابل تعریف می‌شوند) n اُمین همولوژی این کمپلکس را به صورت خارج قسمت زیر تعریف می‌کنیم: $H_n(C)=\frac{Ker{d}_n}{Im{d}_{n+1}}$ . در اینجا $H_n(C)$ به عنوان یکی گروه آبلی در نظر گرفته می‌شود ولی بسته به رده $𝒜$، مدول یا فضای برداری نیز هست (اگر رده $𝒜$ رده مدولها یا فضاهای برداری باشد).

مفهوم‌های مهم

دنباله دقیق

یک زنجیر $C:=\dots \stackrel{d_{n+2}}{\to }{C}_{n+1}\stackrel{d_{n+1}}{\to }{C}_n\stackrel{d_n}{\to }{C}_{n-1}\stackrel{d_{n-1}}{\to }\dots$

را دنباله دقیق می نامیم اگر $Im{d}_{n+1}=Ker{d}_n$ برای هر $n$.

بنابراین دنباله‌های دقیق، کمپلکسهای زنجیری هستند ولی عکس این مطلب درست نیست.

دنباله دقیق کوتاه

اگر زنجیر ما به صورت $C:=0\to C_3\stackrel{d_3}{\to }{C}_2\stackrel{d_2}{\to }{C}_1\to 0$ و یک دنباله دقیق باشد، آن را دنباله دقیق کوتاه می نامیم. توجه کنید که تعریف دنباله دقیق در بالا برای این حالت ایجاب می‌کند که زنجیر بالا یک دنباله دقیق کوتاه است اگر و تنها اگر: $d_3$ یک به یک، $d_2$ پوشا و $Im{d}_3=Ker{d}_2$. بنابراین، یک دنباله دقیق کوتاه، در حالت کلی به صورت زیر است:

$C:=C_3\hookrightarrow C_2\twoheadrightarrow C_1$ یعنی داریم: $C_1=\frac{C_2}{Ker{d}_2}=\frac{C_2}{d_3(C_3)}$

ریختارهای کمپلکسها و همولوژی

فرض کنید دو کمپلکس زنجیری $C=(C_n,d_n)$ و $C^{\prime }=(C{\text{'}}_n,d{\text{'}}_n)$ داده شده باشند. یک ریختار $\phi$ میان این دو کمپلکس عبارت است از یک دنباله ${\phi }_n$ از همریختی‌ها ${\phi }_n:C_n\to C{\text{'}}_n$ برای هر $n$ و

$\begin{array}{ccccccc}\dots \stackrel{d_{n+2}}{\to }& C_{n+1}& \stackrel{d_{n+1}}{\to }& C_n& \stackrel{d_n}{\to }& C_{n-1}& \stackrel{d_{n-1}}{\to }\dots \\ \dots & {\downarrow }_{{\phi }_{n+1}}& & {\downarrow }_{{\phi }_n}& & {\downarrow }_{{\phi }_{n-1}}& \dots \\ \dots \stackrel{d_{n+2}^{\text{'}}}{\to }& C_{n+1}^{\text{'}}& \stackrel{d_{n+1}^{\text{'}}}{\to }& C_n^{\text{'}}& \stackrel{d_n^{\text{'}}}{\to }& C_{n-1}^{\text{'}}& \stackrel{d_{n-1}^{\text{'}}}{\to }\dots \end{array}$

یک نمودار جابجایی باشد. جابجایی بودن نمودار بدین معنی است که: ${\phi }_n\circ d_{n+1}=d{\text{'}}_{n+1}\circ {\phi }_{n+1}$ برای هر $n$. در این صورت ${\phi }_n(Ker{d}_n)\subseteq Kerd{\text{'}}_n)$ و ${\phi }_n(Im{d}_{n+1})\subseteq Imd{\text{'}}_{n+1})$ و این ریختار یک همریختی میان گروههای همولوژی $H_n(\phi ):H_n(C)\to H_n(C^{\prime })$ به گونه روبرو تعریف می‌کند: $H_n(\phi )(x+\mathrm{i}\mathrm{m}(d_{n+1})):={\phi }_n(x)+\mathrm{i}\mathrm{m}(d_{n+1}^{\text{'}})$ برای $x\in \mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}{d}_n$

منابع

• Joseph J. Rotman: An Introduction to Homological Algebra. 2nd Edition, Springer-Verlag, New York 2009
• Peter Hilton und Urs Stammbach: A course in homological algebra. 2nd Edition, Springer-Verlag, Graduate Texts in Mathematics, 1997