توزیع بتا-دوجمله‌ای

توزیع بتا-دوجمله‌ای (انگلیسی: Beta-binomial distribution)

می‌توان تصور کرد که پارامتر $p$ در این توزیع از یک توزیع بتا بدست آمده‌است.

\begin{matrix} L (k | n, p) & = Bin (n, p) \\ = (\binom{n}{k}) p^{k} (1 - p)^{n - k} \end{matrix}

که خود توزیع بتا دارای فرمول زیر است:

\begin{matrix} π (p | α, β) & = B e t a (α, β) \\ = \frac{p^{α - 1} (1 - p)^{β - 1}}{B (α, β)} \end{matrix}

حال می‌توان توزیع کلی را به صورت زیر نوشت:

\begin{matrix} f (k | n, α, β) & = \int_{0}^{1} L (k | p) π (p | α, β) d p \\ = (\binom{n}{k}) \frac{1}{B (α, β)} \int_{0}^{1} p^{k + α - 1} (1 - p)^{n - k + β - 1} d p \\ = (\binom{n}{k}) \frac{B (k + α, n - k + β)}{B (α, β)} . \end{matrix}

با استفاده از ویژگی‌های تابع بتا می‌توان رابطهٔ فوق را به صورت زیر ساده کرد:

f (k | n, α, β) = \frac{Γ (n + 1)}{Γ (k + 1) Γ (n - k + 1)} \frac{Γ (k + α) Γ (n - k + β)}{Γ (n + α + β)} \frac{Γ (α + β)}{Γ (α) Γ (β)} .

توزیع‌های مرتبط

الگو:پانویس * Minka, Thomas P. (2003). Estimating a Dirichlet distribution. Microsoft Technical Report.

Using the Beta-binomial distribution to assess performance of a biometric identification device
Fastfit contains Matlab code for fitting Beta-Binomial distributions (in the form of two-dimensional Pólya distributions) to data.