تبدیل موجک سریع

تبدیل موجک سریع الگوریتمی ریاضی برای یافتنِ تبدیل موجک یک سیگنال است. بدین منظور تصویرِ سیگنال روی هر یک از توابع موجک در زمان‌ها و مقیاس‌های مختلف محاسبه می‌گردد. به عبارت دیگر، حاصل‌ضرب داخلی سیگنال $f (t)$ با هر یک از موجک‌ها $ϕ$ به شکل زیر محاسبه می‌شود:

$s_{n}^{(J)} : = 2^{J} ⟨ f (t), ϕ (2^{J} t - n) ⟩,$

تصویر سیگنال بر فضای $V_{j}$ برابر است با:

$P_{J} [f] (x) : = \sum_{n \in ℤ} s_{n}^{(J)} ϕ (2^{J} x - n)$

تبدیل موجک گسسته

یک مرحله از تبدیل موجک با فیلترهای h و g

با داشتنِ مضارب $s^{(J)}$ با الگوریتمِ بازگشتی مضارب $s^{(J - 1)}$ را با استفاده از رابطهٔ زیر می‌توان یافت:

$s_{n}^{(k)} : = \frac{1}{2} \sum_{m = - N}^{N} a_{m} s_{2 n + m}^{(k + 1)}$

یا:

$s^{(k)} (Z) : = (↓ 2) (a^{*} (Z) \cdot s^{(k + 1)} (Z))$

و:

$d_{n}^{(k)} : = \frac{1}{2} \sum_{m = - N}^{N} b_{m} s_{2 n + m}^{(k + 1)}$

یا:

$d^{(k)} (Z) : = (↓ 2) (b^{*} (Z) \cdot s^{(k + 1)} (Z))$

که $(↓ 2)$ عملگر زیرنمونه‌گیری است و در فضای زد به صورت سری لوران ضرایب با اندیس زوج تعریف می‌شود:

$(↓ 2) (c (Z)) = \sum_{k \in ℤ} c_{2 k} Z^{k}$

بدین ترتیب:

$P_{k} [f] (x) : = \sum_{n \in ℤ} s_{n}^{(k)} ϕ (2^{k} x - n)$

که حاصل جمعِ بالا برابر با تصویر سیگنال $P_{k} [f] (x)$ بر زیرفضای $V_{k}$ است. در نتیجه:

$P_{J} [f] (x) = P_{k} [f] (x) + D_{k} [f] (x) + \dots + D_{J - 1} [f] (x)$

که ضرایب جزئی برابرند با:

$D_{k} [f] (x) : = \sum_{n \in ℤ} d_{n}^{(k)} ψ (2^{k} x - n)$

که $ψ$ موجک مادر نامیده می‌شود.

تبدیل موجک سریع

تبدیل موجک گسسته

منوی ناوبری

جستجو