تبدیل طبیعی

در نظریه رسته‌ها، شاخه‌ای از ریاضیات، یک تبدیل طبیعی راهی برای تبدیل یک تابعگون به یکی دیگر فراهم می‌کند در حالی که به ساختار داخلی (به عنوان مثال ترکیب پیکان‌ها) رسته‌های درگیر، احترام می‌گذارد. از این رو یک تبدیل طبیعی می‌تواند به عنوان یک «پیکان از تابعگون‌ها» تلقی شود. در واقع این شهود می‌تواند به جهت تعریف رسته‌های تابعگون‌ها صوری بندی شود. تبدیلات طبیعی، پس از رسته‌ها و تابعگون‌ها، یکی از اساسی‌ترین مفاهیم نظریه رسته‌ها هستند و در عمدهٔ کاربردهای آن، ظاهر می‌شوند.

تعریف

اگر F و G تابعگون‌هایی بین رسته‌های C و D باشند، در آن صورت، یک تبدیل طبیعی η از F به G خانواده‌ای از پیکان هاست دو شرط را ارضاء می‌کند.

1. تبدیل طبیعی باید به هر شیء X در C یک فِلِش الگو:رچالگو:Nowrap الگو:چر بین اشیاء D نظیر کند. پیکانِ η_X، مولفه ن η در X نامیده می‌شود.
2. مؤلفه‌ها باید به گونه‌ای باشد که برای هر پیکان f:X → Y داشته باشیم:

${\eta }_Y\circ F(f)=G(f)\circ {\eta }_X$

معادلهٔ اخیر را می‌توان به راحتی با نمودار جابجایی زیر تبیین کرد:

اگر F و G پادوردا باشند، پیکان‌های افقی در این نمودار، بر عکس می‌شوند. اگر η یک تبدیل طبیعی از F به G باشند، همچنین می‌توان نوشت الگو:Nowrap یا الگو:Nowrap. این را همچنین می‌توان اینطور بیان کرد که خانوادهٔ پیکانهای الگو:رچ الگو:Nowrap الگو:چر در X طبیعی است.

اگر برای هر شئ X در C، پیکان η_X یک یکریختی باشد، یک‌ریختی در D باشد، در آنصورت η را یک یکریختی طبیعی (یا گاهی هم‌ارزی طبیعی یا یکریختی تابعگون‌ها) می‌گویند. دو تابعگون F و G را به طور طبیعی یکریخت یا به‌طور ساده‌تر، یکریخت گویند اگر یک یکریختی از F به G وجود داشته باشد.

یک تبدیل طبیعی η از F به G، عملاً یک خانواده الگو:رچ الگو:Nowrap الگو:چر از پیکان هاست. بنابراین یک تبدیل طبیعی، یک تبدیل غیرطبیعی است که الگو:Nowrap برای هر پیکان الگو:Nowrap. طبیعی ساز η، که باالگو:رچ nat(η) الگو:چر نشان می‌دهند، بزرگترین زیر-رسته از C شامل تمام اشیاء از C که η به یک تبدیل طبیعی تحدید می‌شود.

مثال

دترمینان

برای حلقه‌های جابجایی R و S با همریختی الگو:رچ f: R → S الگو:چر، گروه‌های متناظر متشکل از ماتریس‌های n × n وارون پذیر الگو:رچ GL_n(R)الگو:چر و الگو:رچ GL_n(S)الگو:چر، یک همریختی الگو:رچ GLn(f)الگو:چر را به ارث می‌برند که با استفاده از f به روی هر مولفه از ماتریس به دست می‌آیند. به طور مشابه، f به یک همریختی گروهی f*: R* → S تحدید می شودکه در آن *R نشان دهنده گروه همانی‌های R است. در واقع الگو:رچ GL_n الگو:چر و * تابعگون‌هایی از CRing به Grp هستند. دترمینان روی گروه الگو:رچ GL_n(R)الگو:چر را که با الگو:رچ det_R الگو:چر نشان می‌دهیم، یک همریختی گروهی از الگو:رچ GL_n(R)الگو:چر به *R است. به علاوه با توجه به اینکه دترمینان روی تمام حلقه‌ها به طور یکسانی تعریف می‌شود، داریم: الگو:رچ f* ∘ det_R = det_S ∘ GL_n(f)الگو:چر. این نکته، باعث می‌شود که دترمینان، یک تبدیل طبیعی از الگو:رچ GL_n الگو:چر به * محسوب شود.

لم یوندا

اگر X یک شی از یک رسته موضعاَ کوچک C باشد، در آن صورت، تابع $Y\to Ho{m}_C(X,Y)$ یک تابعگون هموردای الگو:Nowrap تعریف می‌کند. این تابعگون، نمایش پذیر خوانده می‌شود (به طور کلی یک تابعگون نمایش پذیر، هر تابعگونیست که برای X ای مناسب، به طوری طبیعی یکریخت با تابعگون فوق است). تبدیلات طبیعی از یک تابعگون نمایش پذیر به یک تابعگون دلخواه الگو:Nowrap، کاملاً قابل شناسایی و به سادگی توصیف پذیرند. این، محتوای لم یونداست.

یادداشت‌های تاریخی

گفته شده که ساندرز مک لین، یکی از بنیانگذاران نظریهٔ رسته‌ها، گفته است: «من رسته‌ها را برای مطالعهٔ تابعگون‌ها ابداع نکردم؛ آنها را برای مطالعه تبدیلات طبیعی ابداع نمودم.» همان‌طور مطالعهٔ گروه‌ها بدون مطالعهٔ همریختی‌ها کامل نیست، مطالعهٔ رسته‌ها بدون مطالعهٔ تابعگون‌ها ناکامل است. دلیل اظهار نظر مک لین این است که مطالعه تابعگون‌ها، بدون مطالعهٔ تبدیلات طبیعی، به خودی خود کامل نیست.

پیش زمینهٔ سخن مک لین، نظریهٔ اصل موضوعه‌ای همولوژی‌ها بود. می‌توان نشان داد که روش‌های مختلف ساخت همولوژی، برهم منطبق اند: به عنوان مثال در مورد یک مجتمع سادکی (به انگلیسی: simplicial complex)، گروه‌هایی که مستقیماً تعریف شده‌اند، با آنهایی که از نظریهٔ تکین هستند، یکریخت خواهند بود. آنچه را که نمی‌توان بدون زبان تبدیلات طبیعی به راحتی تبیین کرد، این است که چگونه گروه‌های همولوژی با پیکان‌های بین اشیاء، سازگارند، و اینکه چطور دو تئوری همولوژی معادل، نه تنها گروه‌های همولوژی یکسانی دارند، بلکه مورفیزم‌های یکسانی بین آن گروه‌ها نیز دارند.

منابع

کتابشناسی

• الگو:Citation