تابع پسین

تابع پسین (به انگلیسی: Successor Function) یک تابع ریاضی است که در نظریه اعداد و منطق ریاضی نقش اساسی دارد. این تابع، عدد بعدی هر عدد طبیعی را مشخص می‌کند و در اصول موضوعه پئانو مورد استفاده قرار می‌گیرد.

تعریف

تابع پسین که معمولاً با نماد نمایش داده می‌شود، هر عدد طبیعی را به عدد بعدی آن نگاشت می‌کند: $S(n)=n+1$

به عنوان مثال:$S(0)=1,S(1)=2,S(2)=3,...$

ویژگی‌ها

• یک‌به‌یک و غیرپوشا: تابع پسین یک تابع یک‌به‌یک است، زیرا اگر، آن‌گاه. اما بر مجموعه اعداد طبیعی پوشا نیست زیرا مقدار ۰ تصویر هیچ عددی نیست.
• عدم وجود مقدار معکوس: تابع پسین معکوس ندارد، زیرا مقدار برای ۰ تعریف نشده است.

اصول موضوعه پئانو

جوزپه پئانو در قرن نوزدهم اصولی را برای تعریف اعداد طبیعی ارائه کرد که به اصول پئانو معروف‌اند. این اصول شامل موارد زیر هستند:

یک عدد طبیعی است.

هر عدد طبیعی دارای یک عدد پسین است.

هیچ عدد طبیعی‌ای وجود ندارد که پسین آن برابر ۰ باشد.

استقرا در این اصول نقش اساسی دارد.

کاربردها

در نظریه مجموعه‌ها

در نظریه مجموعه‌ها، اعداد طبیعی را می‌توان با مجموعه‌های تودرتو نمایش داد و تابع پسین در این قالب به‌صورت زیر تعریف می‌شود:

$S(n)=n\cup \{n\}$

در علوم کامپیوتر

تابع پسین در طراحی الگوریتم‌ها و زبان‌های برنامه‌نویسی به کار می‌رود. نمونه‌ای از تابع پسین در زبان پایتون:

def successor(n):

return n + 1

print(successor(5))

خروجی: ۶

منابع

• Peano, G. (1889). "Arithmetices principia, nova methodo exposita".
• Kleene, S. C. (1952). Introduction to Metamathematics.
• Boolos, G. S. , & Jeffrey, R. C. (1980). Computability and Logic.