تابع وارون هذلولوی

تابع artanh.

وارون تابع‌های هذلولوی را تابع وارون هذلولوی یا تابع وارون هیپربولیک می‌گویند. که برابر انگلیسی آن area hyperbolic functions به معنی تابع سطح هذلولوی است. همان گونه که تابع‌های وارون مثلثاتی طول خم بر روی یک دایرهٔ یکه (دایره‌ای به شعاع ۱) x^۲ + y^۲ = ۱ را بدست می‌آورند، توابع وارون هذلولوی نیز، سطح ناحیهٔ محدود به یک قطاع هذلولی یکه یا x^۲ - y^۲ = ۱ را بدست می‌آورند به همین دلیل نام دیگر این تابع‌ها «تابع سطح هذلولوی» است.

برای نشان دادن این نوع تابع‌ها به طور خلاصه از نام‌هایی مانند arcsinh و arccosh استفاده می‌کنند در حالی که این نام‌ها کاملاً بی‌ربطند و نادرست استفاده می‌شوند؛ چون عبارت arc خلاصه شدهٔ نام arcus است در حالی که خلاصه شدهٔ واژهٔ area به معنی سطح، ar می‌باشد.. در علوم رایانه برای کوتاه کردن نام تابع‌های وارون هذلولی آن‌ها را با نام‌هایی مانند asinh نمایش می‌دهند. همچنین از مفهوم‌هایی مانند ${\sinh }^{-1}(x)$ و ${\cosh }^{-1}(x)$ نیز استفاده می‌شود، البته باید توجه داشت که ۱- به معنی وارون تابع است و نه توان آن. در نتیجه دو نمایش ${\cosh }^{-1}(x)$ و $\cosh (x{)}^{-1}$ دو مفهوم کاملاً متفاوت را می‌رسانند.

مقدار وارون تابع‌های هذلولوی را زاویه‌های هذلولوی یا زاویه‌های هیپربولیک می‌نامند.

بیان لگاریتمی

بیان لگاریتمی این نوع تابع‌ها در صفحهٔ مختلط عبارت است از: الگو:چپ‌چین

$\begin{array}{cc}\mathrm{arsinh}z& =\ln (z+\sqrt{z^2+1}),\\ \mathrm{arcosh}z& =\ln (z+\sqrt{z+1}\sqrt{z-1}),\\ \mathrm{artanh}z& =\frac{1}{2}\ln \frac{1+z}{1-z},\\ \mathrm{arcoth}z& =\frac{1}{2}\ln \frac{z+1}{z-1}.\\ \mathrm{arcsch}z& =\ln (\frac{1}{z}+\sqrt{\frac{1}{z^2}+1}),\\ \mathrm{arsech}z& =\ln (\frac{1}{z}+\sqrt{\frac{1}{z}+1}\sqrt{\frac{1}{z}-1}).\end{array}$

الگو:پایان چپ‌چین رادیکال‌ها در بالا نشانهٔ ریشهٔ دوم اند و تابع لگاریتم، لگاریتم مختلط است. در بازهٔ اعداد حقیقی مانند z = x که مقدارهای حقیقی باز می‌گرداند، می‌توان از برخی ساده‌سازی‌ها مانند $\sqrt{x+1}\sqrt{x-1}=\sqrt{x^2-1}$ استفاده کرد که البته استفاده از این ساده‌سازی در حالت کلی درست نیست.

تابع‌های وارون هذلولوی در صفحهٔ مختلط

$\mathrm{arsinh}(z)$	$\mathrm{arcosh}(z)$	$\mathrm{artanh}(z)$	$\mathrm{arcoth}(z)$	$\mathrm{arsech}(z)$	$\mathrm{arcsch}(z)$

گسترش سری‌ها

برخی سری‌های گسترش یافته را می‌توان برابر با تابع‌های زیر دانست: الگو:چپ‌چین

$\begin{array}{cc}\mathrm{arsinh}x& =x-\left(\frac{1}{2}\right)\frac{x^3}{3}+\left(\frac{1\cdot 3}{2\cdot 4}\right)\frac{x^5}{5}-\left(\frac{1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}\right)\frac{x^7}{7}+\cdots \\ & =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\left(\frac{(-1{)}^n(2n)!}{2^{2n}(n!{)}^2}\right)\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)},\left|x\right|<1\end{array}$

$\begin{array}{cc}\mathrm{arcosh}x& =\ln 2x-(\left(\frac{1}{2}\right)\frac{x^{-2}}{2}+\left(\frac{1\cdot 3}{2\cdot 4}\right)\frac{x^{-4}}{4}+\left(\frac{1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}\right)\frac{x^{-6}}{6}+\cdots )\\ & =\ln 2x-\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\left(\frac{(2n)!}{2^{2n}(n!{)}^2}\right)\frac{x^{-2n}}{(2n)},x>1\end{array}$

$\begin{array}{cc}\mathrm{artanh}x& =x+\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}+\frac{x^7}{7}+\cdots \\ & =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)},\left|x\right|<1\end{array}$

$\begin{array}{cc}\mathrm{arcsch}x=\mathrm{arsinh}\frac{1}{x}& =x^{-1}-\left(\frac{1}{2}\right)\frac{x^{-3}}{3}+\left(\frac{1\cdot 3}{2\cdot 4}\right)\frac{x^{-5}}{5}-\left(\frac{1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}\right)\frac{x^{-7}}{7}+\cdots \\ & =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\left(\frac{(-1{)}^n(2n)!}{2^{2n}(n!{)}^2}\right)\frac{x^{-(2n+1)}}{(2n+1)},\left|x\right|>1\end{array}$

$\begin{array}{cc}\mathrm{arsech}x=\mathrm{arcosh}\frac{1}{x}& =\ln \frac{2}{x}-(\left(\frac{1}{2}\right)\frac{x^2}{2}+\left(\frac{1\cdot 3}{2\cdot 4}\right)\frac{x^4}{4}+\left(\frac{1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}\right)\frac{x^6}{6}+\cdots )\\ & =\ln \frac{2}{x}-\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\left(\frac{(2n)!}{2^{2n}(n!{)}^2}\right)\frac{x^{2n}}{2n},0<x\le 1\end{array}$

$\begin{array}{cc}\mathrm{arcoth}x=\mathrm{artanh}\frac{1}{x}& =x^{-1}+\frac{x^{-3}}{3}+\frac{x^{-5}}{5}+\frac{x^{-7}}{7}+\cdots \\ & =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^{-(2n+1)}}{(2n+1)},\left|x\right|>1\end{array}$

الگو:پایان چپ‌چین گسترش سری نامتناهی arsinh x که در بی‌نهایت همگرا می‌شود، عبارت است از: الگو:چپ‌چین

$\mathrm{arsinh}x=\ln 2x+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\left(-1\right)}^{n-1}\frac{\left(2n-1\right)!!}{2n\left(2n\right)!!}\frac{1}{x^{2n}}$

مشتق‌ها

$\begin{array}{cc}\frac{d}{dx}\mathrm{arsinh}x& =\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}\\ \frac{d}{dx}\mathrm{arcosh}x& =\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}\\ \frac{d}{dx}\mathrm{artanh}x& =\frac{1}{1-x^2}\\ \frac{d}{dx}\mathrm{arcoth}x& =\frac{1}{1-x^2}\\ \frac{d}{dx}\mathrm{arsech}x& =\frac{-1}{x(x+1)\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}}\\ \frac{d}{dx}\mathrm{arcsch}x& =\frac{-1}{x^2\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}}\\ \end{array}$

الگو:پایان چپ‌چین برای xهای حقیقی نیز داریم: الگو:چپ‌چین

$\begin{array}{cc}\frac{d}{dx}\mathrm{arsech}x& =\frac{\mp 1}{x\sqrt{1-x^2}};\mathrm{\Re }\{x\}\gtrless 0\\ \frac{d}{dx}\mathrm{arcsch}x& =\frac{\mp 1}{x\sqrt{1+x^2}};\mathrm{\Re }\{x\}\gtrless 0\end{array}$

الگو:پایان چپ‌چین برای نمونه: فرض کنید θ = arsinh x باشد، آنگاه مشتق آن عبارت است از: الگو:چپ‌چین

$\frac{d\mathrm{arsinh}x}{dx}=\frac{d\theta }{d\sinh \theta }=\frac{1}{\cosh \theta }=\frac{1}{\sqrt{1+{\sinh }^2\theta }}=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$

ترکیب تابع‌های هذلولوی و وارون هذلولوی

ترکیب تابع‌های هذلولوی و وارون هذلولوی یا هیپربولیک و وارون هیپربولیک، به ترتیب زیر خواهد بود: الگو:چپ‌چین

$\begin{array}{cc}& \sinh (\mathrm{arcosh}x)=\sqrt{x^2-1}\text{for}|x|>1\\ & \sinh (\mathrm{artanh}x)=\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\text{for}-1<x<1\\ & \cosh (\mathrm{arsinh}x)=\sqrt{1+x^2}\\ & \cosh (\mathrm{artanh}x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\text{for}-1<x<1\\ & \tanh (\mathrm{arsinh}x)=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\\ & \tanh (\mathrm{arcosh}x)=\frac{\sqrt{x^2-1}}{x}\text{for}|x|>1\end{array}$

چند رابطهٔ دیگر

دیگر رابطه‌های مفید مربوط به این بحث عبارتند از: الگو:چپ‌چین

$\mathrm{arsinh}u\pm \mathrm{arsinh}v=\mathrm{arsinh}(u\sqrt{1+v^2}\pm v\sqrt{1+u^2})$

$\mathrm{arcosh}u\pm \mathrm{arcosh}v=\mathrm{arcosh}(uv\pm \sqrt{(u^2-1)(v^2-1)})$

$\mathrm{artanh}u\pm \mathrm{artanh}v=\mathrm{artanh}\left(\frac{u\pm v}{1\pm uv}\right)$

$\begin{array}{cc}\mathrm{arsinh}u+\mathrm{arcosh}v& =\mathrm{arsinh}(uv+\sqrt{(1+u^2)(v^2-1)})\\ & =\mathrm{arcosh}(v\sqrt{1+u^2}+u\sqrt{v^2-1})\end{array}$

جستارهای وابسته

• فهرست انتگرال تابع‌های وارون هذلولوی

پیوند به بیرون

• تابع‌های وارون هذلولوی در دانشنامهٔ MathWorld
• تابع‌های وارون هذلولوی در بخش ریاضی یکی از کالج‌های لندن.