تابع بتا دیریکله

The Dirichlet beta function

در ریاضیات، تابع بتا دیریکله (این تابع با عنوان تابع بتا کاتالان نیز شناخته می‌شود) یک تابع خاص مشابه تابع زتا ریمان است.

تعریف

تابع بتا دیریکله به این صورت تعریف می‌شود: الگو:وسط‌چین $\beta (s)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{(2n+1{)}^s},$ الگو:پایان وسط‌چین این تابع با فرمول پایین معادل است: الگو:وسط‌چین $\beta (s)=\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(s)}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{x^{s-1}{e}^{-x}}{1+e^{-2x}}dx$ الگو:پایان وسط‌چین در هر دو مورد، فرض بر این است که $Re(s)>0$.

مضاف بر این با تعریف پایین می‌توان تابع را توسط تابع هورویتز زتا در فضای اعداد مختلط به این شکل تعریف کرد: الگو:وسط‌چین $\beta (s)=4^{-s}(\zeta (s,\frac{1}{4})-\zeta (s,\frac{3}{4})).$ الگو:پایان وسط‌چین

تعریف دیگری که می‌توان از این تابع ارائه داد توسط تابع لِرش زتا است، که مانند تعریف پیشین برای تمام اعداد مختلط $s$ تعریف شده‌است: الگو:وسط‌چین} $\beta (s)=2^{-s}\mathrm{\Phi }(-1,s,\frac{1}{2}),$ الگو:پایان وسط‌چین

در نهایت این تابع را می‌توان به صورت یک سری نیز تعریف کرد، با کمک تابع پُلی‌گاما: الگو:وسط‌چین $\beta (s)=\frac{1}{2^s}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{{(n+\frac{1}{2})}^s}=\frac{1}{(-2{)}^{2s}(s-1)!}[{\psi }^{(s-1)}\left(\frac{1}{4}\right)-{\psi }^{(s-1)}\left(\frac{3}{4}\right)]$ الگو:پایان وسط‌چین

معادله تابعی

معادله تابعی تابع بتا را از سمت چپ صفحه اعداد مختلط ، $Re(s)<0$ گسترش می‌دهد: الگو:وسط‌چین $\beta (1-s)={\left(\frac{\pi }{2}\right)}^{-s}\sin \left(\frac{\pi }{2}s\right)\mathrm{\Gamma }(s)\beta (s)$ الگو:پایان وسط‌چین

در اینجا $\mathrm{\Gamma }(s)$ تابع گاما است.

مقادیر ویژه

برخی از ویژه مقادیر تابع عبارتند از: الگو:وسط‌چین $\beta (0)=\frac{1}{2},$ الگو:پایان وسط‌چین الگو:وسط‌چین $\beta (1)=\arctan (1)=\frac{\pi }{4},$ الگو:پایان وسط‌چین الگو:وسط‌چین $\beta (2)=G,$ الگو:پایان وسط‌چین در اینجا $G$ عدد ثابت کاتالان است. الگو:وسط‌چین $\beta (3)=\frac{{\pi }^3}{32},$ الگو:پایان وسط‌چین الگو:وسط‌چین $\beta (4)=\frac{1}{768}({\psi }_3\left(\frac{1}{4}\right)-8{\pi }^4),$ الگو:پایان وسط‌چین الگو:وسط‌چین $\beta (5)=\frac{5{\pi }^5}{1536},$ الگو:پایان وسط‌چین الگو:وسط‌چین $\beta (7)=\frac{61{\pi }^7}{184320},$ الگو:پایان وسط‌چین در اینجا ${\psi }_3(1/4)$ نمونه ای از تابع پُلی‌گاما است. به‌طور کلی، برای هر عدد صحیح مثبت K معادله پایین همیشه برقرار است: الگو:وسط‌چین $\beta (2k+1)=\frac{(-1{)}^k{E}_{2k}{\pi }^{2k+1}}{4^{k+1}(2k)!},$$\beta (2k+1)=\frac{(-1{)}^k{E}_{2k}{\pi }^{2k+1}}{4^{k+1}(2k)!},$ الگو:پایان وسط‌چین در اینجا $E_n$ اعداد اویلر است. برای عدد صحیح $k\ge 0$ تابع به شکل پایین تغییر می‌کند: الگو:وسط‌چین $\beta (-k)=\frac{Ek}{2}.$ الگو:پایان وسط‌چین به این ترتیب، تابع برای تمام مقادیر صحیح منفی و مفرد صفر می‌شود.

برای هر عدد صحیح مثبت $k$ معادله پایین صادق خواهد بود: الگو:وسط‌چین

$\beta (2k)=\frac{1}{2(2k-1)!}\sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}(\left(\sum _{l=0}^{k-1}(\genfrac{}{}{0ex}{}{2k-1}{2l})\frac{(-1{)}^l{A}_{2k-2l-1}}{2l+2m+1}\right)-\frac{(-1{)}^{k-1}}{2m+2k})\frac{A_{2m}}{(2m)!}{\left(\frac{\pi }{2}\right)}^{2m+2k},$

الگو:پایان وسط‌چین همچنین مالمستن در سال ۱۸۴۲ معادله پایین را اثبات کرد: الگو:وسط‌چین ${\beta }^{\prime }(1)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^{n+1}\frac{\ln (2n+1)}{2n+1}=\frac{\pi }{4}(\gamma -\ln \pi )+\pi \ln \mathrm{\Gamma }\left(\frac{3}{4}\right)$ الگو:پایان وسط‌چین

s	approximate value β(s)	OEIS
۱/۵	۰٫۵۷۳۷۱۰۸۴۷۱۸۵۹۴۶۶۴۹۳۵۷۲۶۶۵	الگو:OEIS link
۱/۴	۰٫۵۹۰۷۲۳۰۵۶۴۴۲۴۹۴۷۳۱۸۶۵۹۵۹۱	الگو:OEIS link
۱/۳	۰٫۶۱۷۸۵۵۰۸۸۸۴۸۸۵۲۰۶۶۰۷۲۵۳۸۹	الگو:OEIS link
۱/۲	۰٫۶۶۷۶۹۱۴۵۷۱۸۹۶۰۹۱۷۶۶۵۸۶۹۰۹	الگو:OEIS link
۱	۰٫۷۸۵۳۹۸۱۶۳۳۹۷۴۴۸۳۰۹۶۱۵۶۶۰۸	الگو:OEIS link
۲	۰٫۹۱۵۹۶۵۵۹۴۱۷۷۲۱۹۰۱۵۰۵۴۶۰۳۵	الگو:OEIS link
۳	۰٫۹۶۸۹۴۶۱۴۶۲۵۹۳۶۹۳۸۰۴۸۳۶۳۴۸	الگو:OEIS link
۴	۰٫۹۸۸۹۴۴۵۵۱۷۴۱۱۰۵۳۳۶۱۰۸۴۲۲۶	الگو:OEIS link
۵	۰٫۹۹۶۱۵۷۸۲۸۰۷۷۰۸۸۰۶۴۰۰۶۳۱۹۴	الگو:OEIS link
۶	۰٫۹۹۸۶۸۵۲۲۲۲۱۸۴۳۸۱۳۵۴۴۱۶۰۰۸	الگو:OEIS link
۷	۰٫۹۹۹۵۵۴۵۰۷۸۹۰۵۳۹۹۰۹۴۹۶۳۴۶۵
۸	۰٫۹۹۹۸۴۹۹۹۰۲۴۶۸۲۹۶۵۶۳۳۸۰۶۷۱
۹	۰٫۹۹۹۹۴۹۶۸۴۱۸۷۲۲۰۰۸۹۸۲۱۳۵۸۹
۱۰	۰٫۹۹۹۹۸۳۱۶۴۰۲۶۱۹۶۸۷۷۴۰۵۵۴۰۷

منابع

• الگو:Cite journal
• J. Spanier and K. B. Oldham, An Atlas of Functions, (1987) Hemisphere, New York.
• Weisstein, Eric W. "Dirichlet Beta Function". MathWorld.