بی‌نهایت مطلق

بی‌نهایت مطلق در ریاضیات به اعدادی به‌شکل $\frac{K}{0}$ به‌طوری که $k\ne 0$ باشد می‌گویند. آن را با نماد $\mathrm{\infty }$ نمایش می‌دهند.

علت اینکه این نوع بی نهایت، مطلق است به خاطر تعریف نشدگی و عدم درک آن است.

مثلاً: $\frac{1}{0}=\mathrm{\infty }$

اعمال ریاضی بر روی بی‌نهایت مطلق

$\mathrm{\infty }+\mathrm{\infty }=\frac{0}{0}$

$\mathrm{\infty }-\mathrm{\infty }=\frac{0}{0}$

$\frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }}=\frac{0}{0}$

$\mathrm{\infty }.\mathrm{\infty }=\mathrm{\infty }$

$\mathrm{\infty }.K=\mathrm{\infty }$

$\mathrm{\infty }+K=\mathrm{\infty }$

$\frac{1}{\mathrm{\infty }}=0$

شکل‌های دیگر بی‌نهایت مطلق

$log(0)=\mathrm{\infty }$

$0^{-1}=\mathrm{\infty }$

$(-1)!=\mathrm{\infty }$

$tan(\frac{\pi }{2})=\mathrm{\infty }$

بی‌نهایت مطلق و تناقض‌های ریاضی

لئونارد اویلر، ریاضی‌دان سوئیسی در قرن ۱۸ نوشت:

$1-2+3-4+\cdots =\frac{1}{4}.$

اثبات اویلر به‌شکل زیر بود:

$\begin{array}{ccccccc}4s& =& & (1-2+3-4+\cdots )& +(1-2+3-4+\cdots )& +(1-2+3-4+\cdots )& +(1-2+3-4+\cdots )\\ & =& & (1-2+3-4+\cdots )& +1+(-2+3-4+5+\cdots )& +1+(-2+3-4+5+\cdots )& +(1-2)+(3-4+5-6\cdots )\\ & =& & (1-2+3-4+\cdots )& +1+(-2+3-4+5+\cdots )& +1+(-2+3-4+5+\cdots )& -1+(3-4+5-6\cdots )\\ & =& 1+& (1-2+3-4+\cdots )& +(-2+3-4+5+\cdots )& +(-2+3-4+5+\cdots )& +(3-4+5-6\cdots )\\ & =& 1+[& (1-2-2+3)& +(-2+3+3-4)& +(3-4-4+5)& +(-4+5+5-6)+\cdots ]\\ & =& 1+[& 0+0+0+0+\cdots ]\\ 4s& =& 1\end{array}$

اگر تساوی بالا درست باشد، آنگاه:

$1-1+1-1+\cdots =\frac{1}{2}$

همان‌طور که می‌بینید، دنبالهٔ بالا فقط اعداد ۰ و ۱ را تولید می‌کند؛ پس چطور ممکن است که به عدد $\frac{1}{2}$ همگرا باشد؟

تساوی بالا نوعی پارادوکس است؛ زیرا دنبالهٔ بالا واگراست.