باریکه گاوسی

مقدار مطلق آنی بخش حقیقی دامنه میدان الکتریکی یک باریکه گاوسی TEM₀₀، ناحیه کانونی. درحال نمایش $|ℛℯ(E(t_1))|$ بنابراین با دو قله برای هر جبهه موج مثبت .

بالا: نیم‌نمای شدت عرضی یک باریکه گاوسی که در خارج از صفحه منتشر می‌شود. منحنی آبی: دامنه میدان الکتریکی (یا مغناطیسی) برحسب موقعیت شعاعی از محور باریکه. منحنی سیاه شدت متناظر است.

نمایه باریکه اشاره‌گر لیزری سبز رنگ ۵ میلی‌واتی که نیم‌نمای TEM₀₀ را نشان می‌دهد.

در اپتیک، باریکه گاوسی الگو:به انگلیسی باریکه‌ای از تابش الکترومغناطیسی با تک‌فامی بالا است که پوش دامنه آن در صفحه عرضی با تابع گاوسی به دست می‌آید. این همچنین دلالت بر نمایه شدت (چگالی تابش) گاوسی دارد. این مُد گاوسی عرضی اصلی (یا TEM₀₀) خروجی مورد نظر اکثر لیزرها (و نه همه) را توصیف می‌کند، زیرا چنین باریکه‌ای می‌تواند به متمرکزترین نقطه متمرکز شود. هنگامی که چنین باریکه‌ای توسط یک عدسی مجدداً فوکوس می‌شود، وابستگی فاز عرضی تغییر می‌کند. این منجر به یک باریکه گاوسی متفاوت می‌شود. نیم‌نمای دامنه میدان الکتریکی و مغناطیسی در امتداد هر باریکه دایره‌ای گاوسی (برای طول‌موج و قطبش معین) توسط یک تک پارامتر مشخص می‌شود: به اصطلاح کمر الگو:ریاضی. در هر موقعیت الگو:Mvar نسبت به کمر (تمرکز) در امتداد باریکه با الگو:ریاضی مشخص‌شده، دامنه و فازهای میدان بدینوسیله به شرح زیر تعیین می‌شوند.

راه‌حل‌های دلخواه معادله هلمهولتز پیرامحوری را می‌توان به صورت ترکیبی از مدهای هرمیتی-گاوسی (که نیم‌نماهای دامنه با استفاده از مختصات دکارتی در x و y تفکیک‌پذیر هستند)، مدهای لاگر-گاوسی (که نیم‌نماهای دامنه در مختصات استوانه‌ای r و θ تفکیک‌پذیر هستند) بیان کرد. یا به‌طور مشابه به‌عنوان ترکیبی از مدهای اینس-گاوسی (که نمایه‌های دامنه در ξ و η با استفاده از مختصات بیضوی تفکیک‌پذیر هستند).

فرم ریاضی

نمایه باریکهٔ گاوسی با الگو:ریاضی .

باریکه گاوسی یک مد الکترومغناطیسی عرضی (TEM) است. عبارت ریاضی دامنه میدان الکتریکی جوابی برای معادله هلمهولتز پیرامحوری است. با فرض قطبش در جهت الگو:Mvar و انتشار در جهت الگو:ریاضی، میدان الکتریکی در نماد فازور (مختلط) به صورت زیر به‌دست می‌آید:$$𝐄(r,z)=E_0\widehat{𝐱}\frac{w_0}{w(z)}\exp \left(\frac{-r^2}{w(z{)}^2}\right)\exp (-i(kz+k\frac{r^2}{2R(z)}-\psi (z)))$$که

• الگو:Mvar فاصله شعاعی از محور مرکزی باریکه است،
• الگو:Mvar فاصله محوری از کانون باریکه (یا "کمر") است.
• الگو:Mvar یکه موهومی است،
• الگو:ریاضی عدد موج (برحسب رادیان بر متر) برای طول موج فضای آزاد λ است و n ضریب شکست محیطی است که باریکه در آن منتشر می‌شود،
• الگو:ریاضی, دامنه میدان الکتریکی (و فاز) در مبدأ (r = ۰، z = ۰)،
• الگو:ریاضی شعاعی است که در آن دامنه میدان به الگو:Math از مقادیر محوری خود می‌رسد (یعنی جایی که مقادیر شدت به الگو:Math از مقادیر محوری خود می‌رسد)، در صفحه z در امتداد باریکه،
• الگو:ریاضی شعاع کمر است،
• الگو:ریاضی شعاع انحنای جبهه موج باریکه در z است و
• الگو:ریاضی فاز گویی در z است، جمله فاز اضافی فراتر که مربوط به سرعت فاز نور است.

همچنین یک وابستگی زمانی قابل درک وجود دارد الگو:ریاضی کمیت‌های فازوری را ضرب می‌کند. میدان واقعی در یک نقطه از زمان و مکان توسط بخش حقیقی آن کمیت مختلط به‌دست می‌آید. این عامل زمان شامل یک قرارداد علامت دلخواه است.

از آنجایی که این جواب به تقریب پیرامحوری الگو:به انگلیسی متکی است، برای باریکههای بسیار واگرا دقیق نیست. فرم فوق در بیشتر موارد عملی معتبر است، جایی که الگو:ریاضی.

توزیع شدت (یا چگالی تابش) مربوطه توسط$$I(r,z)=\frac{|E(r,z){|}^2}{2\eta }=I_0{\left(\frac{w_0}{w(z)}\right)}^2\exp \left(\frac{-2r^2}{w(z{)}^2}\right),$$که در آن ثابت الگو:Mvar امپدانس موج محیطی است که باریکه در آن منتشر می‌شود. برای فضای آزاد، الگو:ریاضی ≈ ۳۷۷ Ω. الگو:ریاضی شدت در مرکز باریکه در کمر آن است.

اگر الگو:ریاضی توان کل باریکه باشد،$$I_0=\frac{2P_0}{\pi w_0^2}.$$

عرض باریکه درحال‌گسترش

پرونده:Gaussian Beam FWHM.gif

تابع گاوسی دارای قطر الگو:ریاضی (الگو:ریاضی همان‌طور که در متن استفاده شده‌است) حدود ۱٫۷ برابر اف‌دبلیواچ‌ام است.

در موقعیت الگو:Mvar در امتداد باریکه (اندازه‌گیری شده از کانون)، پارامتر اندازه نقطه الگو:Mvar توسط یک رابطه هذلولی داده می‌شود:$$w(z)=w_0\sqrt{1+{\left(\frac{z}{z_{\mathrm{R}}}\right)}^2},$$در اینجا$$z_{\mathrm{R}}=\frac{\pi w_0^{2}n}{\lambda }$$این محدوده ریلی نامیده می‌شود و $n$ ضریب شکست محیط است.

شعاع باریکه الگو:ریاضی، در هر موقعیت الگو:Mvar در امتداد باریکه، مربوط به پهنا کل در در نصف بیشینه (FWHM) توزیع شدت در آن موقعیت بر اساس: $$w(z)=\frac{\text{FWHM}(z)}{\sqrt{2\ln 2}}.$$

فاز گویی

فاز گویی یک پیشروی فاز است که به تدریج توسط یک باریکه در اطراف ناحیه کانونی به‌دست می‌آید. در موقعیت الگو:Mvar فاز گویی یک باریکه گاوسی اساسی به‌دست می‌آید با $$\psi (z)=\arctan \left(\frac{z}{z_{\mathrm{R}}}\right).$$

فاز گویی.

پارامترهای باریکه

وابستگی هندسی میدان‌های یک باریکه گاوسی توسط طول‌موج نور الگو:Mvar (در محیط دی‌الکتریک، اگر فضای آزاد نباشد) و پارامترهای باریکه زیر کنترل می‌شود

کمر باریکه

پهنای باریکه گاوسی الگو:ریاضی به عنوان تابعی از فاصله الگو:Mvar در امتداد باریکه، که هذلولی را تشکیل می‌دهد. الگو:ریاضی: کمر باریکه؛ الگو:Mvar: عمق تمرکز؛ الگو:ریاضی: محدوده رایلی. الگو:Mvar: پخش زاویه کل

شکل یک باریکه گاوسی با طول موج معین الگو:Mvar تنها توسط یک پارامتر کنترل می‌شود، کمر باریکه الگو:ریاضی.

محدوده ریلی و پارامتر هم‌کانونی

فاصله ریلی یا محدوده ریلی الگو:ریاضی با توجه به اندازه کمر باریکه گاوسی تعیین می‌شود:$$z_{\mathrm{R}}=\frac{\pi w_0^{2}n}{\lambda }.$$در اینجا الگو:Mvar طول موج نور و الگو:Mvar ضریب شکست است. در فاصله ای از کمر برابر با محدوده ریلی الگو:ریاضی، عرض الگو:Mvar باریکه الگو:ریاضی بزرگتر از آن است که در کانون الگو:ریاضی، کمر باریکه قرار دارد. این همچنین به این معنی است که شدت روی محور (الگو:ریاضی) یک نیمی از شدت اوج (در الگو:ریاضی) است. آن نقطه در امتداد باریکه نیز اتفاقاً جایی است که انحنای جبهه موج (الگو:ریاضی) بیشترین است.

فاصله بین دو نقطه الگو:ریاضی پارامتر هم‌کانونی یا عمق تمرکز باریکه نامیده می‌شود.

واگرایی باریکه

اگرچه دم یک تابع گاوسی در واقع هرگز به صفر نمی‌رسد، برای اهداف بحث زیر "لبه" یک باریکه شعاع در نظر گرفته می‌شود که الگو:ریاضی. اینجاست که شدت به الگو:ریاضی مقدار روی محور آن کاهش یافته‌است. اکنون برای الگو:ریاضی پارامتر الگو:ریاضی به صورت خطی با الگو:Mvar افزایش می‌یابد. این بدان معنی است که دور از کمر، باریکه "لبه" (به معنای بالا) مخروطی شکل است. زاویه بین آن مخروط (که الگو:ریاضی) و محور باریکه (الگو:ریاضی) واگرایی باریکه را مشخص می‌کند:$$\theta =\underset{z\to \mathrm{\infty }}{\lim }\arctan \left(\frac{w(z)}{z}\right).$$در حالت پیرامحوری، همان‌طور که در نظر گرفتیم، الگو:Mvar (بر حسب رادیان) تقریباً است.$$\theta =\frac{\lambda }{\pi n{w}_0}$$که در آن الگو:Mvar ضریب شکست محیطی است که باریکه در آن منتشر می‌شود و الگو:Mvar طول موج فضای آزاد است. سپس کل گستردگی زاویه ای باریکه واگرا، یا زاویه راس مخروط توصیف شده در بالا، با$$\mathrm{\Theta }=2\theta .$$سپس آن مخروط حاوی ۸۶ درصد از کل توان باریکه گاوسی است.

توان و شدت

توان از طریق دریچه

با باریکهی متمرکز بر دریچه، توان الگو:Mvar که از دایره‌ای به شعاع الگو:Mvar در صفحه عرضی در موقعیت الگو:Mvar می‌گذرد، است:$$P(r,z)=P_0[1-e^{-2r^2/w^2(z)}],$$دراینجا$$P_0=\frac{1}{2}\pi I_0{w}_0^2$$کل توان منتقل شده توسط باریکه است.

برای دایره ای با شعاع الگو:ریاضی، کسر توان منتقل شده از دایره برابر است با$$\frac{P(z)}{P_0}=1-e^{-2}\approx 0.865.$$به‌طور مشابه، حدود ۹۰٪ از توان باریکه از طریق یک دایره با شعاع الگو:ریاضی، ۹۵٪ از طریق یک دایره با شعاع الگو:ریاضی و ۹۹٪ از طریق یک دایره با شعاع الگو:ریاضی جریان می‌یابد.

شدت اوج

شدت اوج در فاصله محوری الگو:Mvar از کمر باریکه را می‌توان به عنوان حد توان محصور در دایره ای به شعاع الگو:Mvar محاسبه کرد که با کوچک شدن دایره بر مساحت دایره الگو:ریاضی تقسیم می‌شود:$$I(0,z)=\underset{r\to 0}{\lim }\frac{P_0[1-e^{-2r^2/w^2(z)}]}{\pi r^2}.$$محدودیت را می‌توان با استفاده از قاعده هوپیتال ارزیابی کرد:$$I(0,z)=\frac{P_0}{\pi }\underset{r\to 0}{\lim }\frac{[-(-2)(2r)e^{-2r^2/w^2(z)}]}{w^2(z)(2r)}=\frac{2P_0}{\pi w^2(z)}.$$

جستارهای وابسته

• باریکه بسلی
• باریکه توپات
• نمایه باریکه لیزر
• شبه اپتیک

منابع

• الگو:Cite journal
• الگو:Cite book
• الگو:Cite journal
• الگو:Cite journal
• الگو:Cite book Chapter 5, "Optical Beams," pp. 267.
• الگو:Cite arXiv
• الگو:Cite journal
• الگو:Cite book Chapter 3, "Beam Optics," pp. 80–107.
• الگو:Cite book Chapter 16.
• الگو:Cite book
• الگو:Cite book

پیوند به بیرون

• آموزش اپتیک باریکه گاوسی، نیوپورت