اجتماع (نظریه مجموعه‌ها)

اجتماع دو مجموعه:
$A\cup B$

اجتماع سه مجموعه:
$A\cup B\cup C$

اجتماع A، B، C، D، و E برابر همه چیز بجز مساحت سفید است.

در نظریه مجموعه‌ها، اجتماع الگو:به انگلیسی که با نماد ∪ نشان‌داده می‌شود، برای یک گردآورد از مجموعه‌ها برابر مجموعه همه عناصر در آن گردآورد است. این عمل یکی از عملیات بنیادین است که از طریق آن می‌توان مجموعه‌ها را ترکیب کرد و با هم مرتبط نمود. یک الگو:Visible anchor به اجتماع مجموعه‌های صفر ($0$) اشاره دارد و طبق تعریف برابر مجموعه تهی است.

اصل موضوع اجتماع

اگر S مجموعه‌ای از مجموعه‌ها باشد (یعنی S یک رده باشد)، مجموعه‌ای مانند C یافت می‌شود که همه اعضای S زیرمجموعه آن باشند. یعنی برای هر $A\in S$ داشته باشیم $A\subseteq C$.

اجتماع همه اعضای S که آن را با $\bigcup S$ یا $\bigcup _{A\in S}A$ نشان می‌دهیم به‌صورت زیر تعریف می‌شود:

$\bigcup S:=\bigcup _{A\in S}A:=\{x\in C:\mathrm{\exists }A\in S,x\in A\}$

مجموعه بالا طبق اصل تصریح وجود دارد و با استفاده از اصل موضوع گسترش می‌توان نشان داد که یکتاست. برای دو مجموعه دلخواه A و B، $\bigcup \{A,B\}$ را با $A\cup B$ نشان می‌دهیم و می‌خوانیم "A اجتماع B". اجتماع سه مجموعه B، A و C را با $A\cup B\cup C$،... و اجتماع n مجموعه $A_1,A_2,\cdots ,A_n$ را با $A_1\cup A_2\cup \cdots \cup A_n$ نمایش می‌دهیم. می‌توان نشان داد که

$A_1\cup A_2\cup \cdots \cup A_n=(A_1\cup A_2\cup \cdots \cup A_{n-1})\cup A_n$

خواص اجتماع

مهم‌ترین ویژگی $A\cup B$ این است که هم A و هم B زیرمجموعه آن هستند. فی‌الواقع $A\cup B$ کوچک‌ترین مجموعه‌ایست که این ویژگی را دارد.

اگر اشتراک دو مجموعه A و B را با $A\cap B$ نشان دهیم، به ازای هر B، A و C داریم:

$A\cup A=A$

$A\cup B=B\cup A$

$A\cup \varphi =\varphi \cup A=A$

$(A\cup B)\cup C=A\cup (B\cup C)$

$A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)$

$A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)$

جستارهای وابسته

• اشتراک (مجموعه)

منابع

• Enderton, H. B. Elements of Set Theory, 2nd edition, ACADEMIC Press, Inc., 1977.

الگو:نظریه مجموعه‌ها