معادلات اویلر (دینامیک سیالات)

نمایی از ساختار معادلهٔ «ذرهٔ سیال تحت تأثیر نیروهای سطحی»

معادلات اویلر (Euler equations) در دینامیک سیالات، مدل ریاضی حاکم بر حرکات، جریانات، و دینامیک سیالات غیر لزج را نمایش می‌دهند. معادلهٔ اویلر می‌تواند هم در جریان تراکم پذیر و هم در جریان تراکم ناپذیر استفاده شود.

معادلات اویلر به فرم بقاء مؤلفات

نمایش به صورت معادلات دیفرانسیل:

$\begin{array}{cc}& \frac{\partial \rho }{\partial t}+\mathrm{\nabla }\cdot (\rho 𝐮)=0\\ & \frac{\partial \rho 𝐮}{\partial t}+\mathrm{\nabla }\cdot (𝐮\otimes (\rho 𝐮))+\mathrm{\nabla }p=0\\ & \frac{\partial E}{\partial t}+\mathrm{\nabla }\cdot (𝐮(E+p))=0,\end{array}$

که در اینجا:

• ρ عبارت است از چگالی جرم سیال،
• u بردار سرعت سیال است و مؤلفه‌های v, u، و w را داراست.
• E = ρ e + ½ ρ (u^۲ + v^۲ + w^۲ انرژی کل در حجم واحد است، e انرژی داخلی در جرم واحد، و p فشار سیال را نمایش می‌دهد.

شایان توجه است که معادلهٔ وسط در دستگاه معادلات اویلر برداری است و در حکم سه معادله برای سه مؤلفهٔ سرعت سیال کار می‌کند.

معادلهٔ وسط شامل واگرایی یک ضرب دو تایی است، و ممکن است نمایش آن به صورت اندیس‌دار (برای هر j از ۱ تا ۳) آشکارائی و وضوح بیشتری را دارا باشد.

الگو:وسط‌چین $\frac{\partial (\rho u_j)}{\partial t}+\sum _{i=1}^3\frac{\partial (\rho u_i{u}_j)}{\partial x_i}+\frac{\partial p}{\partial x_j}=0$ الگو:پایان

در این حال اندیس‌های i و j سه مؤلفه دکارتی را شامل هستند: (x۱ , x۲, x۳) = (x , y، z) و (u1 , u2, u۳) = (u , v، w)

معادلات فوق به صورت معادلات بقاء نمایش داده شده‌اند چرا که این قالب تأکید زیادتری بر روی مبادی فیزیکی دستگاه معادلات داشته و در اغلب موارد مناسب‌ترین فرم را جهت شبیه‌سازی‌های دینامیک محاسباتی سیالات عرضه می‌دارد.

معادله بقاء ممنتوم را به این صورت هم می‌توان نشان داد که فرم غیر بقاء آن است:

الگو:وسط‌چین $\rho (\frac{\partial }{\partial t}+𝐮\cdot \mathrm{\nabla })𝐮+\mathrm{\nabla }p=0$ الگو:پایان

جستارهای وابسته

• معادلات ناویه-استوکس
• دینامیک سیالات محاسباتی
• دینامیک گازها
• مهندسی مکانیک
• مهندسی هوا و فضا
• یادواره‌های لئونارد اویلر
• معادلات اویلر (دینامیک اجسام صلب)

منابع

• Batchelor, G. K. (1967). An Introduction to Fluid Dynamics. Cambridge University Press. الگو:ISBN.

اظهار نظر: این کتاب از جملهٔ مشهورترین مراجع کلاسیک جهت دینامیک سیالات است.

• روش‌های عددی برای حل معادلات اویلر در دینامیک سیالات الگو:نشان زبان