حساب مالیاوین

حساب مالیاوین نظریه‌ای در نظریه احتمالات است که حساب وردش را از تابع‌های قطعی به فرآیندهای کاتوره‌ای می گستراند. از این روی به آن حساب وردش کاتوره‌ای نیز می توان گفت. این حساب اولین بار توسط پاول مالیویان ارایه شد.

این نظریه که با معادلات دیفرانسیل تصادفی سر و کار دارد، کاربردهایی در جستارهای کنترل بهینه تصادفی و ریاضیات مالی دارد.

انگیزه

کارکردوار F وابسته به فرایند وینر را درنظر بگیرید. اگر این کارکردوار تابع g باشد، متداول است تا وردش آن را ( $δ_{g} F$ ) به یاری رابطه زیر حساب کرد: $δ_{g} F = \frac{1}{ϵ} [F (g + ϵ h) - F (g)], ϵ \to 0$ اما این وردش همیشه وجود ندارد، برای همین به حساب وردش دیگری نیاز پیدا می‌شود.

مشتق مالیاوین و قضیه‌های وابسته

مشتق مالیاوین بگونه ای تعریف می شود تا تغییرات را نسبت به فرآیند وینر بسنجد. طبیعی است که برای $\int_{0}^{t} h_{s} d w_{s}$ مشتق مالیاوین برابر با h باشد؛ (در سنجش با مشتق عادی از $\int_{0}^{t} h_{s} d s$ که برابر $h_{t}$ است). بنابراین اگر مشتق مالیاوین نسبت به فرایند وینر در زمان s را با $D_{s}$ نشان دهیم، از روی تعریف داریم. $D_{s} \int_{0}^{T} h_{t} d w_{t} = h_{s} 𝟙_{[0, T]} (s)$ بنابراین $D_{s} [.]$ تعییرات یک متغیر کاتوره‌ای را نسبت به فرایند وینر اندازه‌گیری می کند. همچنین توجه کنید که $D_{s} w_{t} = D_{s} \int_{0}^{t} w_{r} d r = 1_{[0, t]} (s)$ .

مشتق‌گیری زنجیره‌ای: می توان برطبق قاعده زنجیره ای مشتق مالیاوین از کارکردوار وینر F را که در آن

F (W (h_{1}), W (h_{2}), \dots, W (h_{n})), W (h_{i}) = \int_{0}^{T} h_{i, s} d w_{s}

بصورت زیر داشت:

D_{s} F = \sum_{i = 1}^{n} \frac{\partial F}{\partial x_{i}} D_{s} W (h_{i}) = \sum_{i = 1}^{n} \frac{\partial F}{\partial x_{i}} h_{i, s} 1_{[0, T]} (s), (A 1)

قضیه انتگرال‌گیری پاره‌ای (قضیه دوگان): برای کارکردوارِ وینر

F = F (\int_{0}^{T} h_{s} d w_{s})

داریم:

E {F \int_{0}^{T} g_{s} d w_{s}} = E {⟨ D_{s} F, g_{s} ⟩}, (A 2)

که در آن

⟨ h_{s}, g_{s} ⟩ = \int_{0}^{t} h_{s} g_{s} d s

.

اثبات: $E {⟨ D_{s} F, g_{s} ⟩} = E {\int_{0}^{T} D_{s} F g_{s} d s} = E {\int_{0}^{T} F_{x} h_{s} g_{s} d s} = E {F_{x} \int_{0}^{T} h_{s} g_{s} d s} = E {F_{x} (\int_{0}^{T} h_{s} d w_{s})} \int_{0}^{T} h_{s} g_{s} d s$ $\overset{(1)}{=} E {F_{x} (\int_{0}^{T} h_{s} d w_{s})} E {\int_{0}^{T} h_{s} d w_{s} \int_{0}^{T} g_{s} d w_{s}} \overset{(2)}{=} E {F (\int_{0}^{T} h_{s} d w_{s}) \int_{0}^{T} g_{s} d w_{s}}$ که برای (1) از قاعده ایزومتری استفاده شد و برای (2) از لم Stein بهره گرفته شد که برپایه آن برای x , y که توزیع گاوسی با میانگین صفر داشته باشند داریم: $E {f (x) y} = E {f^{'} (x)} E {x y}$ .

مشتق مالیاوین از فرایند پراکنش (diffusion process):

اگر فرایند پراکنش $X = (x_{t})_{t \in [0, T]}$ از معادله دیفرانسیل کاتوره‌ای (SDE) $d x_{t} = a (x_{t}, t) d t + b (x_{t}, t) d w_{t}$ تولید شده باشد. آنگاه داریم: $D_{s} x_{t} = b (x_{s}, s) + \int_{s}^{t} a_{x} (x_{τ}, τ) D_{s} x_{τ} d τ + \int_{s}^{t} b_{x} (x_{τ}, τ) D_{s} x_{τ} d w_{τ}, s \in [0, T], (A 3)$ $D_{t} x_{t} = b (x_{t}, t)$ که درنتیجه آن به یک SDE وردشی خطی می رسیم. از آنجا که معادله بالا خطی است، حل آن بصورت زیر است: $D_{s} x_{t} = b (x_{s}, s) \exp (\int_{s}^{t} b_{x} (x_{τ}, τ) d w_{τ} + \int_{s}^{t} (a_{x} (x_{τ}, τ) - \frac{1}{2} b_{x} (x_{τ}, τ)^{2}) d τ), (A 4)$ اثبات:

از آنجا که $D_{s} [.]$ حساسیت نسبت به $w_{s}$ را می سنجد، رابطه SDE را بصورت $x_{t} = \underset{first term}{\underset{⏟}{\int_{0}^{s} a (x_{τ}, τ) d τ + \int_{0}^{s} b (x_{τ}, τ) d w_{τ}}} + \underset{second term}{\underset{⏟}{\int_{s}^{t} a (x_{τ}, τ) d τ + \int_{s}^{t} b (x_{τ}, τ) d w_{τ}}}$ باز می نویسیم. حال توجه کنید که مشتق مالیاوین $D_{s} [.]$ از جمله اول صفر است چون هیچ وابستگی ای به $w_{s}$ ندارد. حال با کاربستِ قاعده زنجیره ای و اینکه $D_{s} \int h_{t} d w_{t} = h_{s}$ داریم: $D_{s} x_{t} = \int_{s}^{t} a_{x} (x_{τ}, τ) D_{s} x_{τ} d τ + \int_{s}^{t} b_{x} (x_{τ}, τ) D_{s} x_{τ} d w_{τ} + b (x_{s}, s)$

قضیه ای از آنالیز پریشیدیگی: اگر x یک فرایند پراکنش از

d x_{t} = a (x_{t}, t) d t + b (x_{t}, t) d w_{t}

باشد،

h = (h_{s})_{s \in [0, t]}

یک تابع مشتق‌پذیر و

W = (w_{s})_{s \in [0, t]}

فرایند وینر، در اینصورت داریم:

\frac{1}{ϵ} (x_{t} (W + ϵ h) - x_{t} (W)) \to ⟨ D_{s} x_{t}, {h_{s}}^{'} ⟩, a s ϵ \to 0, (A 5)

که در آن

x_{t} (W + ϵ h)

پریشیدگی

x_{t}

نسبت به فرایند وینر می باشد.

اثبات: گیریم $y_{t} : = \frac{1}{ϵ} (x_{t} (W + ϵ h) - x_{t} (W))$ ، آنگاه داریم $x_{t} (W + ϵ h) = x_{t} (W) + ϵ y_{t}$ ، پس می توان داشت: $d y_{t} = \frac{1}{ϵ} (d x_{t} (W + ϵ h) - d x_{t} (W))$ از طرف دیگر

$d x_{t} (W + ϵ h_{t}) = d x_{t} + ϵ d y_{t} = a (x_{t} + ϵ y_{t}, t) d t + b (x_{t} + ϵ y_{t}, t) d (w_{t} + ϵ h_{t}) = a (x_{t} + ϵ y_{t}, t) d t + b (x_{t} + ϵ y_{t}, t) (d w_{t} + ϵ {h_{t}}^{'} d t)$ که می توان نتیجه گرفت:

$d y_{t} = \frac{1}{ϵ} (d x_{t} (W + ϵ h) - d x_{t} (W)) = \frac{1}{ϵ} (ϵ a_{x} y_{t} d t + ϵ b_{x} y_{t} d w_{t} + b (x_{t} + ϵ y_{t}) {h_{t}}^{'} d t) = (a_{x} y_{t} + b {h_{t}}^{'}) d t + b_{x} y_{t} d w_{t}, a s ϵ \to 0$

از طرف دیگر گیریم $z_{t} : = ⟨ D_{s} x_{t}, {h_{s}}^{'} ⟩ = \int_{0}^{t} D_{s} x_{t} {h_{s}}^{'} d s$ ، در نتیجه داریم: $d z_{t} = D_{t} x_{t} h'_{t} d t + \int_{0}^{t} d (D_{s} x_{t}) {h_{s}}^{'} d s = b {h_{t}}^{'} d t + \int_{0}^{t} (a_{x} D_{s} x_{t} d t + b_{x} D_{s} x_{t} d w_{t}) h'_{s} d s = b {h_{t}}^{'} t d t + a_{x} z_{t} d t + b_{x} z_{t} d w_{t}$ بنابراین دیده می شود که $z_{t}$ و $y_{t}$ هردو از یک SDE یکسان پیروی می کنند، حال از آنجا که $z_{0} = y_{0} = 0$ ، پس نتیجه می شود که $y_{t}$ و $z_{t}$ برابرند.

از این قضیه نتیجه می شود که پریشیدن (اختلال) فرایند وینر به فرایند پراکنشی می انجامد که با مشتق مالیاون رابطه دارد.

نتیجه: از روابط (A2) و (A5) می توان نتیجه گرفت که: $\frac{1}{ϵ} (E {x_{t} (W + ϵ \int_{0}^{t} h_{t} d t)} - E {x_{t} (W)}) \to E {x_{t} (W) \int_{0}^{t} h_{s} d w_{s}}, a s ϵ \to 0, (A 6)$ نتیجه: از رابطه (A5)، با قرار دادن $h'_{s} = δ (s - r)$ ،داریم: $\frac{1}{ϵ} (x_{t} (W + ϵ 1_{[r, T]}) - x_{t} (W)) = D_{r} x_{t}, a s ϵ \to 0$ که تعریفی دیگر برای مشتق مالیاوین بدست می دهد.

رابطه Clark-Ocone-Haussman: این رابطه در ارتباط با قضیه بازنمود مارتینگل می باشد. بطور ویژه برای کارکردوار وینر

F (\int_{0}^{t} h_{s} d w_{s})

داریم:

F = E {F} + \int_{0}^{t} E {D_{s} F | ℱ_{s}} d w_{s}

که در آن

ℱ_{s} = σ ((w_{t})_{t \in [0, s]})

فیلتراسیون طبیعی از فرایند وینر است.

اثبات: از روی بازنمود مارتینگل می دانیم که: $F = E {F} + \int_{0}^{t} m_{s} d w_{s}$ ، نیز به یاری رابطه (A2) داریم: $E {F \int_{0}^{t} g_{s} d w_{s}} \overset{(1)}{=} E {⟨ D_{s} F, g_{s} ⟩} = E {E {F} \int_{0}^{t} g_{s} d w_{s}} + E {\int_{0}^{t} m_{s} d w_{s} \int_{0}^{t} g_{s} d w_{s}} \overset{(2)}{=} 0 + E {\int_{0}^{t} m_{s} g_{s} d s}$ که برای (1) از رابطه A2 و برای (2) از قاعده ایزومتری استفاده شد. در نتیجه: $\int_{0}^{t} E {m_{s} g_{s}} d s = E {\int_{0}^{t} D_{s} F g_{s} d s} = \underset{(*)}{\underset{⏟}{\int_{0}^{t} E {E {D_{s} F | ℱ_{s}} g_{s} d s}}}$ و در نتیجه $m_{s} = E {D_{s} F | ℱ_{s}}$ . توجه شود که رابطه (*) در بالا، از این جهت بدین صورت نوشته شد که $m_{s}$ باید حتما یک فرایند $ℱ_{s}$ -سازگار (adapted- $ℱ_{s}$ ) باشد. درنتیجه نمی توان نتیجه گرفت که $m_{s} = D_{s} F$ چراکه $D_{s} F$ لزوما سازگار نیست.

ارتباط با قضیه گیرسانوف

فرض کنید تعریف کنیم $ϕ (t) = \int_{0}^{t} h_{s} d s$ ، آنگاه طبق قضیه گیرسانوف (Girsanov) خواهیم داشت: $E {x (W + ϵ ϕ (t))} = E {x (W) \exp (- \frac{1}{2} ϵ^{2} \int_{0}^{t} h_{s}^{2} d s + ϵ \int_{0}^{t} h_{s} d w_{s})}$ آنگاه خواهیم داشت: $\lim_{ϵ \to 0} \frac{1}{ϵ} (E {x (W + ϵ ϕ (t))} - E {x (W)}) = E {x (W) \int_{0}^{t} h_{s} d w_{s}}$ در نتیجه با توجه به رابطه (A5) خواهیم داشت: $E {⟨ D_{s} x_{t}, h_{s} ⟩} = E {x (W) \int_{0}^{t} h_{s} d w_{s}}$ که اثباتی دیگر از رابطه (A2) می باشد.

حساب مالیاوین

انگیزه

مشتق مالیاوین و قضیه‌های وابسته

ارتباط با قضیه گیرسانوف

منوی ناوبری

جستجو