ثابت کاتالان

در ریاضیات، ثابت کاتالان الگو:Mvar تعریف می‌شود با

$G=\beta (2)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{(2n+1{)}^2}=\frac{1}{1^2}-\frac{1}{3^2}+\frac{1}{5^2}-\frac{1}{7^2}+\frac{1}{9^2}-\cdots ,$

که الگو:Mvar تابع بتا دیریکله است. مقدار عددی آن تقریباً الگو:OEIS است:

الگو:ریاضی

معلوم نیست که الگو:Mvar عدد گنگ باشد، چه رسد به متعالی. الگو:Mvar «را بی‌شک اساسی‌ترین ثابتی خوانده‌اند که گنگ و تعالی بودن آن (اگرچه شدیداً مشکوک باشد) ثابت نشده‌است».

ثابت کاتالان به نام اوژن شارل کاتالان نامگذاری شد، وی سری سریعاً-همگرا را برای محاسبه آن پیدا کرد و در سال ۱۸۶۵ خاطرات آن را منتشر کرد.

کاربرد

در توپولوژی بعد-پایین، ثابت کاتالان ۱/۴ حجم یک هشت وجهی ایده‌آل هذلولی و در نتیجه ۱/۴ حجم هذلولی مکمل پیوند وایتهد است. ۱/۸ حجم مکمل حلقه‌های بورومین است.

در مکانیک‌های آماری و ترکیبیاتی، این امر در ارتباط با شمارش کاشی‌کاری‌های دومینو، درختان پوشا، و چرخه‌های همیلتونی نمودارهای شبکه ایجاد می‌شود.

در نظریه اعداد، ثابت کاتالان در یک فرمول حدس زده شده برای تعداد مجانب اعداد اول شکل $n^2+1$ ظاهر می‌شود مطابق حدس هاردی و لیتل‌وود اف. با این حال، این که حتی بی‌نهایت از اعداد اول این شکل وجود دارد، این یک مسئله حل نشده‌است (یکی از مشکلات لاندائو).

ثابت کاتالان همچنین در محاسبه پخش جرم کهکشانهای مارپیچی ظاهر می‌شود.

ارقام شناخته شده

در طول دهه‌های گذشته تعداد ارقام شناخته شده ثابت کاتالان الگو:Mvar به طرز چشمگیری افزایش یافته‌است. این امر هم به دلیل افزایش عملکرد رایانه‌ها و هم به دلیل پیشرفت‌های الگوریتمی است.

تعداد ارقام اعشار شناخته شده از ثابت کاتالان الگو:Mvar

تاریخ	رقم اعشار	محاسبه انجام شده توسط
۱۸۳۲	۱۶	توماس کلاوزن
۱۸۵۸	۱۹	کارل یوهان دانیلسون تپه
۱۸۶۴	۱۴	اوژن شارل کاتالان
۱۸۷۷	۲۰	جیمز دبلیوال گلیشر
۱۹۱۳	۳۲	جیمز دبلیوال گلیشر
۱۹۹۰	الگو:Val	گِرِگ جی. فی
۱۹۹۶	الگو:Val	گِرِگ جی. فی
۱۴ اوت ۱۹۹۶	الگو:Val	گِرِگ جی. فی و سیمون پلوف
۲۹ سپتامبر ۱۹۹۶	الگو:Val	توماس پاپانیکولائو
۱۹۹۶	الگو:Val	توماس پاپانیکولائو
۱۹۹۷	الگو:Val	پاتریک دمیشل
۴ ژانویه ۱۹۹۸	الگو:Val	خاویر گوردون
۲۰۰۱	الگو:Val	خاویر گوردون و پاسکال سبا
۲۰۰۲	الگو:Val	خاویر گوردون و پاسکال سبا
اکتبر ۲۰۰۶	الگو:Val	شیگرو کوندو و استیو پالیارلو
اوت ۲۰۰۸	الگو:Val	شیگرو کوندو و استیو پالیارلو
۳۱ ژانویه ۲۰۰۹	الگو:Val	الکساندر جی و ریموند چان
۱۶ آوریل ۲۰۰۹	الگو:Val	الکساندر جی و ریموند چان
۷ ژوئن ۲۰۱۵	الگو:Val	رابرت جی ستتی
۱۲ آوریل ۲۰۱۶	الگو:Val	رون واتکینز
۱۶ فوریه ۲۰۱۹	الگو:Val	تیزین هانسلمان
۲۹ مارس ۲۰۱۹	الگو:Val	مایک آ و ایان کاترس
۱۶ ژوئیه ۲۰۱۹	الگو:Val	سونگمین کیم
۱۶ ژوئیه ۲۰۱۹	الگو:Val	رابرت رینولدز

جستارهای وابسته

• مقادیر خاص تابع زتا ریمان
• ثابت ریاضی

بیشتر خواندن

• الگو:Cite journal
• الگو:Cite conference
• الگو:Cite journal
• الگو:Cite journal

پیوند به بیرون

• الگو:Cite web
• الگو:Cite web (Provides over one hundred different identities).
• الگو:Cite web (Provides a graphical interpretation of the relations)
• الگو:Cite web (Provides the first 300,000 digits of Catalan's constant)
• الگو:Citation
• الگو:Cite web
• الگو:Cite web
• الگو:MathWorld
• الگو:WolframFunctionsSite
• الگو:Springer