مدول یکدست

در جبر همولوژی و هندسه جبری، یک مدول یکدست الگو:به انگلیسی روی حلقه ای چون $R$ یک $R$ -مدول $M$ است چنان که ضرب تانسور گیری از $M$ روی $R$ دقیق بودن دنباله ها را حفظ می کند. یک مدول را یکدست وفادار الگو:به انگلیسی گویند اگر با ضرب تانسور گیری از یک دنباله، دنباله دقیقی تولید شود اگر و تنها اگر دنباله اولیه خود دقیق باشد.

خاصیت یکدست بودن توسط الگو:Harvs در مقاله اش با عنوان هندسه جبری و هندسه تحلیلی معرفی شد.

تعریف

یک مدول $M$ روی حلقه ای چون $R$ را یکدست گویند اگر شرط ذیل ارضاء شود: برای هر نگاشت تزریقی (یک به یک) چون $ϕ : K \to L$ بین $R$ -مدول های $K$ و $K$ ، نگاشت:

K \otimes_{R} M \to L \otimes_{R} M

با ضابطه $k \otimes m \mapsto ϕ (k) \otimes m$ نیز یک به یک باشد.

به بیان دیگر، برای $R$ -مدول های $K$ و $L$ اگر $0 \to K \to L \to J \to 0$ یک دنباله دقیق باشد آنگاه $M$ مدول یکدست روی $R$ است اگر $0 \to K \otimes_{R} M \to L \otimes_{R} M \to J \otimes_{R} M \to 0$ نیز دنباله ای دقیق باشد.

همچنی این تعریف زمانی که $R$ لزوماً یک حلقه جابجایی نبوده و $M$ یک $R$ -مدول و $K$ و $L$ دو $R$ -مدول راست باشند نیز قابل اعمال کردن است. تنها تفاوتشان این است که $K \otimes_{R} M$ و $L \otimes_{R} M$ در حالت کلی $R$ -مدول نیستند، بلکه صرفاً گروه های آبلی می باشند.