استقلال خطی

دو نمونه از بردارهای وابسته در فضای سه‌بعدی.

یک مجموعه بردار مستقل خطی

در جبر خطی، زیرمجموعه‌‌ای از بردارهای یک فضای برداری $V$ مانند $ℬ=\{v_1,\cdots ,v_n\}$ را وابستهٔ خطی گویند هر گاه یکی از بردارها در اسپن بقیه بردارها موجود باشد $v_n\in \mathrm{Span}\{v_1,\cdots ,v_{n-1}\}$. به عبارتی دیگر (طبق تعریف اسپن) یکی از بردارها را بتوان به صورت ترکیب خطی بردارهای دیگر بیان کرد $v_n=c_1{v}_1+\cdots +c_{n-1}{v}_{n-1}$.

اگر $ℬ$ وابستهٔ خطی نباشد می‌گوییم این بردارها استقلال خطی (به انگلیسی: Linear Independence) دارند یا مستقل خطی هستند.

تعریف

مجموعهٔ $ℬ$ را مستقل خطی می‌نامیم اگر تنها جواب معادلهٔ $c_1{v}_1+\cdots +c_n{v}_n=0$ جواب بدیهی $c_1=\cdots =c_n=0$ باشد.

در غیر این صورت به این مجموعه وابسته خطی می‌گوییم. به عبارتی دیگر اگر معادلهٔ $c_1{v}_1+\cdots +c_n{v}_n=0$ یک جواب غیربدیهی $\mathrm{\exists }{c}_i\ne 0$ داشته باشد وابسته خطی است. در این صورت به معادلهٔ مذکور رابطهٔ وابستگی خطی می‌گوییم. از این رابطه می‌توان هر بردار را بر حسب بردارهای دیگر به دست آورد: $v_n=(c_1{v}_1+\cdots +c_{n-1}{v}_{n-1})/c_n$

از این رابطه نتیجه می‌گیریم یکی از بردارها در اسپن بقیه بردارها وجود دارد: $v_n\in \mathrm{Span}\{v_1,\cdots ,v_{n-1}\}$ یا

$v_n\in \mathrm{Span}(ℬ\mathrm{\setminus }\{v_n\})$

نتایج و قضایا

یک مجموعهٔ یک‌عضوی بردار $ℬ=\{v\}$ را مستقل خطی می‌گوییم اگر و تنها اگر ناصفر باشد $v\ne 0$.

یک مجموعهٔ دوعضوی بردارها $ℬ=\{v_1,v_2\}$ را مستقل خطی می‌گوییم اگر و تنها اگر مضرب یکدیگر نباشند $v_1\ne c{v}_2$.

هر مجموعه‌ای شامل بردار صفر $0\in ℬ$ وابستهٔ خطی است.

مجموعهٔ بردارهای $ℬ=\{v_1,\cdots ,v_n\}$ با بیش از یک عضو وابستهٔ خطی است اگر و تنها اگر اندیسی مانند $k$ وجود داشته باشد که بردار $v_k$ با آن اندیس را بتوان به صورت ترکیب خطی $v_k=c_1{v}_1+\cdots +c_{k-1}{v}_{k-1}$ از بردارهای با اندیس قبل از آن بیان کرد $v_k\in \mathrm{Span}\{v_1,\cdots ,v_{k-1}\}$.

برای توابع

طبق تعریف مذکور اگر فضای برداری را مجموعهٔ تمام توابع فرض کنیم به تعریف استقلال خطی توابع می‌رسیم:

اگر بتوان مجموعهٔ ضرایبی مانند $\{b_1,b_2,\cdots ,b_n\}\ne \{0\}$ برای مجموعهٔ توابع $F=\{f_1(x),\cdots ,f_n(x)\}$ پیدا کرد که $b_1{f}_1+b_2{f}_2+\cdots +b_n{f}_n=0$ باشد (در یک دامنهٔ مشترک و پیوسته از آنها) در آن صورت مجموعهٔ توابع $F=\{f_1(x),\cdots ,f_n(x)\}$ مستقل خطی نیستند. در غیر این صورت $F$ را مستقل خطی می‌نامیم.

استفاده از یک قضیه

اگر توابع $F=\{f_1(x),\cdots ,f_n(x)\}$ (در یک دامنهٔ مشترک و پیوسته از آنها) همگی دارای مشتق تا مرتبهٔ $n-1$ اُم باشند و همچنین اگر $W[f_1,\cdots ,f_n](x)$ رونسکین این توابع باشد، این قضیه بیان می‌کند که:

توابع $F$ مستقل خطی اند اگر و تنها اگر بتوان یک $x_0$ پیدا کرد که $W[f_1,\cdots ,f_n](x_0)\ne 0$.

این مفهوم در موارد زیر کاربرد دارد:

• تعیین خطی بودن یک مجموعه بردارها-
• تعیین رتبه ماتریس
• بررسی ابعاد فضاهای بردار
• طراحی و تحلیل سیستم‌های خطی در مهندسی

جستارهای وابسته

• فضای برداری
• زیرفضای خطی
• پوشش خطی (اسپن)
• پایه‌های فضا
• بعد (فضای برداری)

منابع

• مقدمه‌ای بر ریاضیات کاربردی الگو:نشان زبان

• Strang, Gilbert (July 19, 2005), Linear Algebra and Its Applications (4th ed.), Brooks Cole, الگو:ISBN