تبدیل لاپلاس معکوس

اگر $F(s)$ تبدیل لاپلاس تابع $f(t)$ باشد یعنی $ℒ\{f(t)\}=F(s)$، آنگاه $f(t)$ را تبدیل لاپلاس معکوس $F(s)$ می‌نامند و به صورت $f(t)={ℒ}^{\mathcal{-}1}\{F(s)\}$ نمایش می‌دهند.

تبدیل لاپلاس معکوس را می‌توان با استفاده از انتگرال مختلط زیر که به انتگرال برومویچ یا انتگرال فوریه–ملین مشهور است محاسبه کرد:

$f(t)={ℒ}^{-1}\{F(s)\}=\frac{1}{2\pi i}\underset{T\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{\gamma -iT}{\overset{\gamma +iT}{\int }}{e}^{st}F(s)ds$

که در آن $F(s)$ یک تابع تحلیلی با متغیر مختلط $s$ و $\gamma$ یک ثابت حقیقی است. $\gamma$ به گونه‌ای انتخاب می‌شود که همهٔ نقاط تکین تابع $F(s)$ در سمت چپ خط $ℛℯ(s)=\gamma$ قرار بگیرند.

تبدیل لاپلاس معکوس همانند تبدیل لاپلاس یک تبدیل خطی است، یعنی:

${ℒ}^{\mathcal{-}1}\{\alpha F(s)+\beta G(s)\}=\alpha {ℒ}^{\mathcal{-}1}\{F(s)\}+\beta {ℒ}^{\mathcal{-}1}\{G(s)\}$

جستارهای وابسته

• قضیه مانده

منابع

• الگو:یادکرد کتاب
• الگو:یادکرد وب
• الگو:یادکرد کتاب
• الگو:یادکرد وب