تبدیل هنکل

از testwiki

نسخهٔ تاریخ ۱۲ دسامبر ۲۰۲۳، ساعت ۰۳:۲۷ توسط imported>InternetArchiveBot (Add 2 books for ویکی‌پدیا:تأییدپذیری (20231211)) #IABot (v2.0.9.5) (GreenC bot)

(تفاوت) → نسخهٔ قدیمی‌تر | نمایش نسخهٔ فعلی (تفاوت) | نسخهٔ جدیدتر ← (تفاوت)

پرش به ناوبری پرش به جستجو

تبدیل هنکل الگو:به انگلیسی در ریاضیات یک تبدیل انتگرالی است که اولین بار توسط هرمن هنکل، ریاضی‌دان آلمانی مطرح شد. این تبدیل با نام تبدیل فوریه-بسل نیز شناخته شده‌است.

تبدیل هنکل تبدیلی است که تابع $f (r)$ را به صورت یک مجموع وزن‌دار از بی‌نهایت تابع بسل نوع اول $J_{ν} (k r)$ در نظر می‌گیرد. توابع بسل به‌کار رفته در این مجموع، همگی از مرتبه $ν$ هستند اما در عامل اندازه $k$ در محور $r$ متفاوت‌اند. ضریب ضروری $F_{v}$ برای هر تابع بسل در عبارت مجموع، که تابعی از عامل اندازه یا همان $k$ است، تابع تبدیل‌شده را تشکیل می‌دهد.

تعریف

تابع هنکل مرتبه $ν$ برای تابع $f (r)$ به صورت زیر تعریف می‌شود: الگو:وسط‌چین $F_{ν} (k) = \int_{0}^{\infty} f (r) J_{ν} (k r) r d r$ الگو:پایان وسط‌چین

که در آن $J_{ν}$ تابع بسل نوع اول از مرتبه $ν$ است با شرط $ν \geq - 1 / 2$ .

معکوس

معکوس تبدیل هنکل تابع $F_{ν} (k)$ نیز به صورت زیر تعریف می‌شود: الگو:وسط‌چین $f (r) = \int_{0}^{\infty} F_{ν} (k) J_{ν} (k r) k d k$ الگو:پایان وسط‌چین

تبدیل هنکل توابع رایج

در جدول زیر تبدیل هنکل مرتبه صفر برای تعدادی ار توابع رایج آمده‌است:^[۱]

$f (r)$	$F_{0} (k)$
الگو:چپ‌چین $1$ الگو:پایان چپ‌چین	الگو:چپ‌چین $δ (k) / k$ الگو:پایان چپ‌چین
الگو:چپ‌چین $1 / r$ الگو:پایان چپ‌چین	الگو:چپ‌چین $1 / k$ الگو:پایان چپ‌چین
الگو:چپ‌چین $r$ الگو:پایان چپ‌چین	الگو:چپ‌چین $- 1 / k^{3}$ الگو:پایان چپ‌چین
الگو:چپ‌چین $r^{3}$ الگو:پایان چپ‌چین	الگو:چپ‌چین $9 / k^{5}$ الگو:پایان چپ‌چین
الگو:چپ‌چین $r^{m}$ الگو:پایان چپ‌چین	الگو:چپ‌چین $\frac{2^{m + 1} Γ (m / 2 + 1)}{k^{m + 2} Γ (- m / 2)}$ الگو:پایان چپ‌چین الگو:سخ الگو:راست‌چین (قسمت صحیح m باید بین $- 2$ و $- 1 / 2$ باشد) الگو:پایان راست‌چین
الگو:چپ‌چین $\frac{1}{\sqrt{r^{2} + z^{2}}}$ الگو:پایان چپ‌چین	الگو:چپ‌چین $\frac{e^{- k \| z \|}}{k} = \sqrt{\frac{2 \| z \|}{π k}} K_{- 1 / 2} (k \| z \|)$ الگو:پایان چپ‌چین
الگو:چپ‌چین $\frac{1}{r^{2} + z^{2}}$ الگو:پایان چپ‌چین	الگو:چپ‌چین $K_{0} (k z)$ الگو:پایان چپ‌چین الگو:سخ الگو:راست‌چین (z می‌تواند هر عدد مختلطی باشد) الگو:پایان راست‌چین
الگو:چپ‌چین $e^{i a r} / r$ الگو:پایان چپ‌چین	الگو:چپ‌چین $i / \sqrt{a^{2} - k^{2}} (a > 0, k < a)$ الگو:پایان چپ‌چین
الگو:چپ‌چین الگو:پایان چپ‌چین	الگو:چپ‌چین $1 / \sqrt{k^{2} - a^{2}} (a > 0, k > a)$ الگو:پایان چپ‌چین
الگو:چپ‌چین $e^{- a^{2} r^{2} / 2}$ الگو:پایان چپ‌چین	الگو:چپ‌چین $\frac{e^{- k^{2} / 2 a^{2}}}{a^{2}}$ الگو:پایان چپ‌چین
الگو:چپ‌چین $- r^{2} f (r)$ الگو:پایان چپ‌چین	الگو:چپ‌چین $\frac{d^{2} F_{0}}{d k^{2}} + \frac{1}{k} \frac{d F_{0}}{d k}$ الگو:پایان چپ‌چین

در جدول زیر نیز تبدیل هنکل مرتبه $ν$ برای توابع پرکاربرد آمده است:

$f (r)$	$F_{ν} (k)$
الگو:چپ‌چین $r^{s}$ الگو:پایان چپ‌چین	الگو:چپ‌چین $\frac{Γ (\frac{1}{2} (2 + ν + s))}{Γ (\frac{1}{2} (ν - s))} \frac{2^{s + 1}}{k^{s + 2}}$ الگو:پایان چپ‌چین
الگو:چپ‌چین $r^{ν - 2 s} Γ (s, r^{2} h)$ الگو:پایان چپ‌چین	الگو:چپ‌چین $\frac{1}{2} {(\frac{k}{2})}^{2 s - ν - 2} γ (1 - s + ν, \frac{k^{2}}{4 h})$ الگو:پایان چپ‌چین
الگو:چپ‌چین $e^{- r^{2}} r^{ν} U (a, b, r^{2})$ الگو:پایان چپ‌چین	الگو:چپ‌چین $\frac{Γ (2 + ν - b)}{2 Γ (2 + ν - b + a)} {(\frac{k}{2})}^{ν} e^{- \frac{k^{2}}{4}}_{1} F_{1} (a, 2 + a - b + ν, \frac{k^{2}}{4})$ الگو:پایان چپ‌چین
الگو:چپ‌چین $- r^{2} f (r)$ الگو:پایان چپ‌چین	الگو:چپ‌چین $\frac{d^{2} F_{ν}}{d k^{2}} + \frac{1}{k} \frac{d F_{ν}}{d k} - \frac{ν^{2}}{k^{2}} F_{ν}$ الگو:پایان چپ‌چین

جستارهای وابسته

منابع

الگو:پانویس الگو:چپ‌چین

الگو:پایان چپ‌چین

↑ الگو:یادکرد کتاب

برگرفته از «https://fa.wiki.beta.math.wmflabs.org/w/index.php?title=تبدیل_هنکل&oldid=2816»

تبدیل‌های انتگرالی