اتوکوواریانس

اتوکوواریانس یا خودهم‌وردایی فرایند تصادفی حقیقی$X(t)$٬ به صورت کوواریانس متغیر تصادفی با انتقال زمانی یافته‌ی همان متغیر تعریف می‌شود.اتوکوواریانس را می‌توان معیاری از میزان شباهت سیگنال با انتقال‌یافته‌ی خودش دانست. اگر میانگین فرایند ٬برابر $E[X_t]={\mu }_t$ باشد آن‌گاه اتوکوواریانس می‌شود:

$C_{XX}(t,s)=E[(X_t-{\mu }_t)(X_s-{\mu }_s)]=E[X_t{X}_s]-{\mu }_t{\mu }_s.$

که در آن $E$ عملگر امید ریاضیست.

فرایندهای ایستا

اگر فرایند ایستا باشد٬آن‌گاه برای همه‌ی مقادیر $t$ و $s$:

${\mu }_t={\mu }_s=\mu$

و

$C_{XX}(t,s)=C_{XX}(s-t)=C_{XX}(\tau )$

که در آن $\tau =s-t$ مقدار زمانی است که سیگنال شیفت داده‌شده‌است.در نتیجه اتوکواریانس می‌شود:

$C_{XX}(\tau )=E[(X(t)-\mu )(X(t+\tau )-\mu )]$

$=E[X(t)X(t+\tau )]-{\mu }^2$

$=R_{XX}(\tau )-{\mu }^2,$

که ٬از دیدگاه پردازش سیگنال ٬ $R_{XX}$ همان خودهمبستگی است.

ضریب خودهمبستگی

با تقسیم اتوکواریانس بر واریانس ٬ ضریب خودهمبستگی به دست می‌آید:

$c_{XX}(\tau )=\frac{C_{XX}(\tau )}{{\sigma }^2}.$

جستارهای وابسته

• خودهمبستگی