توزیع پیشین جفری

در احتمالات بیزی توزیع پیشین جفری الگو:به انگلیسی یک احتمال پیشین است که متناسب با ریشه دوم دترمینان اطلاع فیشر است:

$p\left(\overrightarrow{\theta }\right)\propto \sqrt{\det ℐ\left(\overrightarrow{\theta }\right)}.$

تغییر پارامتر

تک متغیره

برای تغییر یک پارامتر اگر بخواهیم

$p(\phi )\propto \sqrt{I(\phi )}$

را از

$p(\theta )\propto \sqrt{I(\theta )}$

بدست آوریم، با استفاده از قانون تغییر متغیرها داریم:

$\begin{array}{cc}p(\phi )& =p(\theta )\left|\frac{d\theta }{d\phi }\right|\propto \sqrt{I(\theta ){\left(\frac{d\theta }{d\phi }\right)}^2}=\sqrt{\mathrm{E}\left[{\left(\frac{d\ln L}{d\theta }\right)}^2\right]{\left(\frac{d\theta }{d\phi }\right)}^2}\\ & =\sqrt{\mathrm{E}\left[{\left(\frac{d\ln L}{d\theta }\frac{d\theta }{d\phi }\right)}^2\right]}=\sqrt{\mathrm{E}\left[{\left(\frac{d\ln L}{d\phi }\right)}^2\right]}=\sqrt{I(\phi )}.\end{array}$

چند متغیره

برای تغییر متغیر چندین متغیر نیز مشابه همین عمل می کنیم:

$\begin{array}{cc}p(\overrightarrow{\phi })& =p(\overrightarrow{\theta })|\det \frac{\partial {\theta }_i}{\partial {\phi }_j}|\\ & \propto \sqrt{\det I(\overrightarrow{\theta }){\det }^2\frac{\partial {\theta }_i}{\partial {\phi }_j}}\\ & =\sqrt{\det \frac{\partial {\theta }_k}{\partial {\phi }_i}\det \mathrm{E}\left[\frac{\partial \ln L}{\partial {\theta }_k}\frac{\partial \ln L}{\partial {\theta }_l}\right]\det \frac{\partial {\theta }_l}{\partial {\phi }_j}}\\ & =\sqrt{\det \mathrm{E}\left[\sum _{k,l}\frac{\partial {\theta }_k}{\partial {\phi }_i}\frac{\partial \ln L}{\partial {\theta }_k}\frac{\partial \ln L}{\partial {\theta }_l}\frac{\partial {\theta }_l}{\partial {\phi }_j}\right]}\\ & =\sqrt{\det \mathrm{E}\left[\frac{\partial \ln L}{\partial {\phi }_i}\frac{\partial \ln L}{\partial {\phi }_j}\right]}=\sqrt{\det I(\overrightarrow{\phi })}.\end{array}$

منابع

• الگو:یادکرد ژورنال