قانون واریانس کلی

در نظریهٔ احتمال قانون واریانس کلی الگو:به انگلیسی بیان می کند که اگر X و Y متغیرهای تصادفی در فضای احتمال یکسان باشند و واریانس Y دارای مقدار محدود باشد در اینصورت داریم

Var (Y) = E (Var (Y ∣ X)) + Var (E (Y ∣ X)) .

اثبات

از تعریف واریانس داریم

Var [Y] = E [Y^{2}] - E [Y]^{2}

که بر اساس قانون امید ریاضی کل برابر است با

= E [E [Y^{2} | X]] - E {[E [Y | X]]}^{2}

می‌توان جمله اول از عبارت فوق را بر اساس واریانس آن بازنویسی کرد:

= E [Var [Y | X] + E [Y | X]^{2}] - E [E [Y | X]]^{2}

و جمع عبارات داخل امیدریاضی را تبدیل به جمع دو امید ریاضی کرد:

= E [Var [Y | X]] + (E [E [Y | X]^{2}] - E [E [Y | X]]^{2})

و در نهایت داریم:

= E [Var [Y | X]] + Var [E [Y | X]]

تعمیم درجه های بالاتر

تعمیم قضیه فوق به گشتاور مرکزی درجه سه به صورت زیر است:

μ_{3} (Y) = E (μ_{3} (Y ∣ X)) + μ_{3} (E (Y ∣ X)) + 3 cov (E (Y ∣ X), var (Y ∣ X)) .

منابع

الگو:پانویس

الگو:Cite book (Problem 34.10(b))

قانون واریانس کلی

اثبات

تعمیم درجه های بالاتر

منابع

منوی ناوبری

جستجو