معادلات فریدمان

الگو:کیهان‌شناسی فیزیکی الگو:نسبیت عام معادلات فریدمانالگو:انگلیسی از حل معادلات میدان اینشتین برای متریک فریدمان-لومتر-رابرتسون-واکر می‌توان به راحتی معادلات انبساط جهان همگن و ایزوله با چگالی انرژی $\rho$ و چگالی فشار $p$ را بر حسب عامل مقیاس و مشتقات مرتبه اول و دوم آن نسبت به زمان به دست آورد. این کار اولین بار توسط الکساندر فریدمان در سال ۱۹۲۲ انجام گردید و معادلات مشابهی با انحنای فضایی منفی در سال ۱۹۲۴ توسط وی ارائه شد. دو معادله مستقل فضایی و زمانی فریدمان به ترتیب عبارتند از

$\frac{{\dot{a}}^2+k{c}^2}{a^2}=\frac{8\pi G\rho +\mathrm{\Lambda }{c}^2}{3}$

$\frac{\ddot{a}}{a}=-\frac{4\pi G}{3}(\rho +\frac{3p}{c^2})+\frac{\mathrm{\Lambda }{c}^2}{3}$

که در آن $H\equiv \frac{\dot{a}}{a}$ به پارامتر هابل و G ثابت گرانشی نیوتن و Λ ثابت کیهان شناسی و c سرعت نور نام دارند. اغلب می‌توان با ارتباط بین پارامتر هابل و عامل مقیاس این معادلات را با پارامتر هابل بازنویسی کرد

$H^2=\frac{8\pi G}{3}\rho -\frac{k{c}^2}{a^2}$

$\dot{H}+H^2=-\frac{4\pi G}{3}(\rho +\frac{3p}{c^2}).$

به $\frac{k}{a^2}$ انحنای فضایی گفته می‌شود که به ترتیب برای k=+۱ جهان با انحنای مثبت (بسته) و k=-۱ جهان با انحنای منفی (باز) و k=۰ جهان با انحنای صفر (تخت) خواهد بود. در این معادلات اسکالر ریچی به صورت $R=\frac{6}{a^2}(\ddot{a}a+{\dot{a}}^2+k{c}^2)$ محاسبه می‌شود. اگر از معادله اول فریدمان نسبت به زمان مشتق بگیریم و از معادله دوم نیز استفاده کنیم با صرف نظر از ثابت کیهان شناسی داریم

$\dot{\rho }=-3H(\rho +\frac{p}{c^2}),$

جستارهای وابسته

• معادلات میدان اینشتین
• مشتق هموردا
• متریک فریدمان-لومتر-رابرتسون-واکر
• عامل مقیاس
• ثابت کیهان شناسی

منابع

• Friedman, A (1922). "Über die Krümmung des Raumes". Z. Phys. 10 (1): 377–386. Bibcode 1922ZPhy...10..377F. (German) (English translation in: Friedman, A (1999). "On the Curvature of Space". General Relativity and Gravitation 31 (12): 1991–2000. Bibcode 1999GReGr..31.1991F.)
• Friedmann, A (1924). "Über die Möglichkeit einer Welt mit konstanter negativer Krümmung des Raumes". Z. Phys. 21 (1): 326–332. Bibcode 1924ZPhy...21..326F. (German) (English translation in: Friedmann, A (1999). "On the Possibility of a World with Constant Negative Curvature of Space". General Relativity and Gravitation 31 (12): 2001–2008. Bibcode 1999GReGr..31.2001F .)
• Ray A d'Inverno, Introducing Einstein's Relativity, الگو:ISBN.
• Rees, M. , Just Six Numbers, (2000) Orion Books, London, p. 81, p. 82