جانشینی مثلثاتی

الگو:حساب دیفرانسیل و انتگرال الگو:مثلثات جانشینی مثلثاتیالگو:انگلیسی در ریاضیات و در محاسبه انتگرال توابع به منظور ساده‌تر کردن توابع به کار می‌رود.مثلاً برای تبدیل عبارات رادیکالی و نمایی می‌توان از این تبدیل‌ها استفاده کرد.

• اگر انتگرال شامل عبارت a² − x² باشد:

$x=a\sin \theta$

و از اتحاد مثلثاتی زیر استفاده می کنیم:

$1-{\sin }^2\theta ={\cos }^2\theta .$

• اگر انتگرال شامل عبارت a² + x², باشد:

$x=a\tan \theta$

از اتحاد مثلثاتی زیر استفاده می کنیم:

$1+{\tan }^2\theta ={\sec }^2\theta .$

• گر انتگرال شامل عبارت x² − a², باشد:

$x=a\sec \theta$

از اتحاد مثلثاتی زیر استفاده می کنیم:

${\sec }^2\theta -1={\tan }^2\theta .$

چند نمونه

انتگرال‌های شامل g a² − x² در انتگرال زیر:

$\int \frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}$

می توان از روابط مثلثاتی زیر استفاده کرد:

$x=a\sin (\theta ),dx=a\cos (\theta )d\theta ,\theta =\arcsin \left(\frac{x}{a}\right)$

$\begin{array}{cc}\int \frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}& =\int \frac{a\cos (\theta )d\theta }{\sqrt{a^2-a^2{\sin }^2(\theta )}}=\int \frac{a\cos (\theta )d\theta }{\sqrt{a^2(1-{\sin }^2(\theta ))}}\\ & =\int \frac{a\cos (\theta )d\theta }{\sqrt{a^2{\cos }^2(\theta )}}=\int d\theta =\theta +C=\arcsin \left(\frac{x}{a}\right)+C\end{array}$

باید توجه داشت که در نمونه فوق باید همواره a> 0

نکته دیگر تغییر حدود انتگرال برای انتگرال‌های معین است.مثلاً اگر x از 0 تا a/2 تغییر کند،sin(θ) از 0 تا 1/2 تغییر می‌کند ،در نتیجه θ از 0 تا π/6 تغییر می‌کند:

$\underset{0}{\overset{a/2}{\int }}\frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}=\underset{0}{\overset{\pi /6}{\int }}d\theta =\frac{\pi }{6}.$