توزیع گاوسی معکوس تعمیم‌یافته

توزیع گاوسی معکوس تعمیم‌یافته (GIG : Generalized Inverse Gaussian) در نظریه احتمال و آمار یک توزیع پیوسته با سه پارامتر است. تابع چگالی احتمال این توزیع به صورت زیر است:

$f(x)=\frac{(a/b{)}^{p/2}}{2K_p(\sqrt{ab})}{x}^{(p-1)}{e}^{-(ax+b/x)/2},x>0,$

که $K_p$یک تابع بسل اصلاح شده از نوع دوم است، a و b مقادیری مثبت و p یک پارامتر حقیقی است. این توزیع به طور گسترده‌ای در زمین‌آمار، زبانشناسی آماری، دانش مالی و سرمایه‌گذاری و غیره استفاده میشد.

مشخصات

مجموع

بارندورف-نیلسن (O. Barndorff-Nielsen) و هالگرین (C. Halgreen) اثبات کردند که توزیع GIG بی‌نهایت تقسیم‌پذیر است.

آنتروپی

آنتروپی توزیع GIG به صورت زیر داده میشود:

$\begin{array}{cc}H=\frac{1}{2}\log \left(\frac{b}{a}\right)& +\log \left(2K_p\left(\sqrt{ab}\right)\right)-(p-1)\frac{{\left[\frac{d}{d\nu }{K}_{\nu }\left(\sqrt{ab}\right)\right]}_{\nu =p}}{K_p\left(\sqrt{ab}\right)}\\ & +\frac{\sqrt{ab}}{2K_p\left(\sqrt{ab}\right)}(K_{p+1}\left(\sqrt{ab}\right)+K_{p-1}\left(\sqrt{ab}\right))\end{array}$

توزیع‌های مرتبط

توزیع گاوسی معکوس و توزیع گاما حالت‌های خاصی از توزیع گاوسی معکوس تعمیم‌یافته با $p=-1/2$ و $b=0$ هستند.

به طور دقیق‌، یک توزیع گاوسی معکوس با فرم

$f(x;\mu ,\lambda )={\left[\frac{\lambda }{2\pi x^3}\right]}^{1/2}\exp \frac{-\lambda (x-\mu {)}^2}{2{\mu }^{2}x}$

یک توزیع گاوسی معکوس تعمیم‌یافته با $a=\lambda /{\mu }^2$، $b=\lambda$ و $p=-1/2$ است.

یک توزیع گاما با فرم

$g(x;\alpha ,\beta )={\beta }^{\alpha }\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(\alpha )}{x}^{\alpha -1}{e}^{-\beta x}$

یک توزیع گاوسی معکوس تعمیم‌یافته با $a=2\beta$، $b=0$ و $p=\alpha$ است.

یک توزیع گاما معکوس، یک توزیع گاوسی معکوس تعمیم‌یافته با $a=0$ و $p<0$ است.

یک توزیع هایپربولیک، یک توزیع گاوسی معکوس تعمیم‌یافته با $p=0$ است.

کاربرد‌های احتمالی

1) توزیع GIG به عنوان قانونی برای کسر‌های مسلسل

$X$ و $Y$ را دو متغیر تصادفی مستقل از هم در نظر بگیرید به طوری که $X>0$ و $Y\sim \gamma (p,\frac{a}{2})$ برای $p,a>0$. در این صورت داریم $X=d\frac{1}{Y+X}$ اگر و فقط اگر $X\sim GIG(-p,a,a)$.

$X$، $Y_1$ و $Y_2$ را سه متغیر تصادفی مستقل از هم در نظر بگیرید به طوری که $X>0$، $Y_1\sim \gamma (p,\frac{b}{2})$ و $Y_2\sim \gamma (p,\frac{a}{2})$ برای $p,a,b>0$. در این صورت داریم $X=d\frac{1}{Y_1+\frac{1}{Y_2+X}}$ اگر و فقط اگر $X\sim GIG(-p,a,b)$.

به طور کلی اگر $(Y_i{)}_{i\ge 1}$ یک دنباله از متغیر تصادفی‌های مستقل از هم باشد به طوری که $ℒ(Y_{2i-1})=ℒ(Y_1)=\gamma (\lambda ,\frac{b}{2})$ و $ℒ(Y_{2i})=ℒ(Y_2)=\gamma (\lambda ,\frac{a}{2})$ برای $i\ge 1$، آنگاه داریم:

$ℒ\left(\frac{1}{Y_1+\frac{1}{Y_2+\frac{1}{Y_3+{}^{{.}_{{.}_{.}}}}}}\right)=GIG(-\lambda ,a,b)$.

2) خاصیت Matsumoto-Yor

دو متغیر تصادفی مثبت و مستقل از هم $X$ و $Y$ را در نظر بگیرید به طوری که $X\sim GIG(-p,a,b)$ و $Y\sim \mathrm{\Gamma }(p,\frac{a}{2})$ برای $p,a,b>0$. خاصیت Matsumoto-Yor بیان می‌کند که متغیر تصادفی‌های $U=\frac{1}{X+Y}$ و $V=\frac{1}{X}-\frac{1}{X+Y}$ از هم مستقل هستند.

مثال‌هایی از کاربرد توزیع گاوسی معکوس تعمیم‌یافته

• Jorgensen در سال 1982 ثابت کرد که توزیع GIG فیت مناسب‌تری نسبت به توزیع نمایی در داده های مورد استفاده در موارد زیر است:
  • فواصل زمانی بین خرابی‌های پی‌در‌پی تجهیزات تهویه‌ی هوا در هواپیمای بوئینگ 720
  • فواصل زمانی بین ضربان‌ها در یک فیبر عصبی
  • فواصل زمانی بین رد شدن وسایل نقلیه از یک نقطه
• Iyengar و Liao در سال 1997: فعالیت عصبی؛ مقایسه بین فیت توزیع GIG و فیت توزیع نرمال لگاریتمی.
• Chebana et al در سال 2010: کاربرد در وقایع مفرط هیدرولوژیکی

منابع

• Gérard Letac and Vanamamalai Seshadri، A characterization of the generalized inverse Gaussian distribution by continued fractions، Probability Theory and Related Fields, Vol 62 (1983)، pp. 485-489 الگو:Doi