نمایش مبدأ برای واریانس

'''وردایی'''<ref>{{یادکرد فرهنگستان|مصوب=وردایی، واریانس|بیگانه=variance|بیگانه در فارسی=|حوزه=آمار، ریاضی|دفتر=ششم|بخش=فارسی|سرواژه=وردایی}}</ref> یا '''واریانس''' {{به انگلیسی|Variance}} در [[نظریه احتمالات]] و [[آمار]]، نوعی [[سنجش‌های پراکندگی|سنجش پراکندگی]] است.

مقدار واریانس با میانگین‌گیری از مربع فاصله مقدار محتمل یا مشاهده شده با [[امید ریاضی|مقدار مورد انتظار]] محاسبه می‌شود. در مقایسه با [[میانگین]] می‌توان گفت که میانگین مکان توزیع را نشان می‌دهد، در حالی که واریانس مقیاسی است که نشان می‌دهد که داده‌ها حول میانگین چگونه پخش شده‌اند. واریانس کمتر بدین معنا است که انتظار می‌رود که اگر نمونه‌ای از توزیع مزبور انتخاب شود مقدار آن به میانگین نزدیک باشد. [[یکا]]ی واریانس مربع یکای کمیت اولیه می‌باشد. [[ریشه دوم]] واریانس که [[انحراف معیار]] نامیده می‌شود دارای واحدی یکسان با متغیر اولیه است.

'''واریانس''' یا '''وردایی''' عددی است که نشان می‌دهد چگونه یک سری داده حول [[میانگین|مقدار میانگین]] پخش می‌شوند. برای تعریف واریانس اگر فرض کنیم که متغیر تکی <math>X</math> دارای توزیع <math>p(x)</math> است و متوسط توزیع جمعیت آن را با <math>\mu</math> نشان دهیم آنگاه واریانس این جمعیت به صورت زیر تعیین می‌شود:
{{وسط‌چین}}
<math>Var(X) = \sigma^{2} \equiv \left\langle (X-\mu)^{2} \right\rangle </math>
{{پایان}}

حال اگر یک توزیع مجزا داشته باشیم که هر مجموعه داده در آن، دارای [[احتمال]] <math>p(x)</math> باشد، واریانس به صورت زیر محاسبه می‌شود:
{{وسط‌چین}}
<math>\sigma^{2} = \sum_{i=1}^{N}p(x_{i})(x_{i} - \mu)^{2}</math>
{{پایان}}

اما در بیشتر موارد توزیع حاکم بر داده‌ها مشخص نیست در این حالت واریانس را به صورت زیر تخمین می‌زنیم:

{{وسط‌چین}}
<math>S^{2}_{N}\equiv \frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}(x_{i}-\overline{x})^{2}</math>
{{پایان}}
در این رابطه <math>\overline{x}</math> [[میانگین]] ([[امید ریاضی]]) داده‌هاست که خود از رابطهٔ زیر حساب می‌شود:
{{وسط‌چین}}
:<math>\overline{x} = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^N x_i = \frac{x_1+x_2+\cdots+x_N}{N}</math>
{{پایان}}
البته باید توجه داشت که تخمین فوق یک تخمین دقیق و بدون خطا برای واریانس نیست لذا برای از بین بردن این خطا در تخمین از واریانس تصحیح شده‌استفاده می‌کنیم که به صورت زیر تعریف می‌گردد
{{وسط‌چین}}
<math>S^{2}_{N-1}\equiv \frac{1}{N-1}\sum_{i=1}^{N}(x_{i}-\overline{x})^{2}</math>
{{پایان}}

== تعریف ==
اگر <math>\mu= \operatorname{E}(X)</math>، [[امید ریاضی]] ([[میانگین]]) [[متغیر تصادفی|متغیر کاتوره‌ای]] <math>X</math> باشد، آنگاه واریانس <math>X</math> برابر خواهد بود با:
{{وسط‌چین}}
:<math>\begin{align}\operatorname{Var}(X)
 &= \operatorname{E}[(X - \mu)^2] \\&= \operatorname{E}[X^2 - 2\mu X + \mu^2] \\
 &= \operatorname{E}[X^2] - 2\mu\,\operatorname{E}[X] + \mu^2 \\&= \operatorname{E}[X^2] - 2\mu^2 + \mu^2 \\&= \operatorname{E}[X^2] - \mu^2 \\&= \operatorname{E}[X^2] - (\operatorname{E}[X])^2.
 \end{align}</math>
{{پایان}}برای به خاطر سپردن راحت‌تر این فرمول گفته‌می‌شود واریانس برابر است با «[[میانگین]] مجذور، منهای مجذور میانگین». واریانس متغیر کاتوره‌ای ''X'' را معمولاً با Var(''X''){{چر}} یا <math>\scriptstyle\sigma_X^2</math> یا به صورت ساده‌تر σ<sup>2</sup> (تلفظ می‌شود [[سیگما]]-دو) نمایش می‌دهند.

=== حالت گسسته ===
اگر <math>X</math>یک متغیر کاتوره‌ای با [[تابع جرم احتمال]] به این شکل باشد <math>x_1 \mapsto p_1, x_2 \mapsto p_2, \ldots, x_n \mapsto p_n</math> آنگاه واریانس آن به این شکل محاسبه می‌شود.
{{وسط‌چین}}
: <math>\operatorname{Var}(X) = \sum_{i=1}^n p_i\cdot(x_i - \mu)^2,</math>
{{پایان}}

عبارت پیشین با معادله پایین معادل است:
{{وسط‌چین}}
: <math>\operatorname{Var}(X) = \left(\sum_{i=1}^n p_i x_i ^2\right) - \mu^2,</math>
{{پایان}}

در اینجا <math>\mu </math> [[امید ریاضی]] <math>X</math> است.
{{وسط‌چین}}
: <math>\mu = \sum_{i=1}^n p_i x_i. </math>
{{پایان}}

واریانس <math>n</math>مقدار که از لحاظ احتمال با یکدیگر برابرند با عبارت پایین برابر خواهد بود:
{{وسط‌چین}}
: <math> \operatorname{Var}(X) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (x_i - \mu)^2, </math>
{{پایان}}

در اینجا <math>\mu</math> میانگین <math>n</math>داده‌است:
{{وسط‌چین}}
: <math>\mu = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i .</math>
{{پایان}}

البته واریانس این <math>n</math> داده را بدون در نظرگرفتن میانگین آن‌ها هم می‌شود به شکل پایین محاسبه کرد:<ref>{{cite conference|authors=Yuli Zhang, Huaiyu Wu, Lei Cheng|date=June 2012|title=Some new deformation formulas about variance and covariance|conference=Proceedings of 4th International Conference on Modelling, Identification and Control(ICMIC2012)|pages=987–992}}</ref>
{{وسط‌چین}}
: <math> \operatorname{Var}(X) = \frac{1}{n^2} \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \frac{1}{2}(x_i - x_j)^2 = \frac{1}{n^2}\sum_i \sum_{j>i} (x_i-x_j)^2. </math>
{{پایان}}

=== حالت پیوسته ===
{{وسط‌چین}}
:<math>\begin{align}
   \operatorname{Var}(X) = \sigma^2 &= \int (x-\mu)^2 f(x) \, dx \\[4pt]
     &= \int x^2f(x)\,dx -2\mu\int xf(x)\,dx + \int \mu^2 f(x)\,dx \\[4pt]
     &= \int x^2 \,dF(x) - 2 \mu \int x \,dF(x) + \mu^2 \int \,dF(x) \\[4pt]
     &= \int x^2 \,dF(x) - 2 \mu \cdot \mu + \mu^2 \cdot 1 \\[4pt]
     &= \int x^2 \,dF(x) - \mu^2,
 \end{align}</math>
{{پایان}}
در اینجا میانگین یا <math>\mu</math> به این شکل محاسبه می‌شود:
{{وسط‌چین}}
:<math>\mu = \int x \, f(x) \, dx\,, </math>
{{پایان}}

== خواص ==

:واریانس همیشه نامنفی است:
{{وسط‌چین}}
:: <math>\operatorname{Var}(X)\ge 0.</math>{{سخ}}
{{پایان}}
:واریانس متغیر کاتوره‌ای ثابت همیشه صفر است به این معنی که:
{{وسط‌چین}}
:: <math>P(X=a) = 1 \iff \operatorname{Var}(X)= 0.</math>{{سخ}}
{{پایان}}
:اگر به متغیر کاتوره‌ای مقداری ثابت اضافه شود در واریانس متغیر کاتوره‌ای جدید تغییری ایجاد نمی‌شود:
{{وسط‌چین}}
:: <math>\operatorname{Var}(X+a)=\operatorname{Var}(X).</math>{{سخ}}
{{پایان}}
:اگر متغیر کاتوره‌ای در مقداری ثابت ضرب شود، واریانس متغیر کاتوره‌ای جدید در مربع مقدار ثابت قبلی ضرب می‌شود:
{{وسط‌چین}}
:: <math>\operatorname{Var}(aX)=a^2\operatorname{Var}(X).</math>{{سخ}}
{{پایان}}
:واریانس [[ترکیب خطی]] دو متغیر کاتوره‌ای به این شکل محاسبه می‌شود:
{{وسط‌چین}}
:: <math>\operatorname{Var}(aX+bY)=a^2\operatorname{Var}(X)+b^2\operatorname{Var}(Y)+2ab\, \operatorname{Cov}(X,Y),</math>
:: <math>\operatorname{Var}(aX-bY)=a^2\operatorname{Var}(X)+b^2\operatorname{Var}(Y)-2ab\, \operatorname{Cov}(X,Y),</math>{{سخ}}
{{پایان}}
:به صورت کلی واریانس جمع <math>N</math> متغیر کاتوره‌ای به شکل پایین محاسبه می‌شود:
{{وسط‌چین}}
:: <math>\operatorname{Var}\left(\sum_{i=1}^N X_i\right)=\sum_{i,j=1}^N\operatorname{Cov}(X_i,X_j)=\sum_{i=1}^N\operatorname{Var}(X_i)+\sum_{i\ne j}\operatorname{Cov}(X_i,X_j).</math>{{سخ}}
{{پایان}}
:واریانس ترکیب خطی <math>N</math> متغیر کاتوره‌ای به شکل پایین محاسبه میشود:
{{وسط‌چین}}
:: <math>
\begin{align}
\operatorname{Var}\left( \sum_{i=1}^N a_iX_i\right) &=\sum_{i,j=1}^{N} a_ia_j\operatorname{Cov}(X_i,X_j) \\
&=\sum_{i=1}^N a_i^2\operatorname{Var}(X_i)+\sum_{i\not=j}a_ia_j\operatorname{Cov}(X_i,X_j)\\
& =\sum_{i=1}^N a_i^2\operatorname{Var}(X_i)+2\sum_{1\le i<j\le N}a_ia_j\operatorname{Cov}(X_i,X_j).
\end{align}
</math>{{سخ}}
{{پایان}}
:اگر [[کوواریانس]] این متغیرهای کاتوره‌ای نسبت به هم صفر باشد یعنی <math>\operatorname{Cov}(X_i,X_j)=0\ ,\ \forall\ (i\ne j) ,</math> آنگاه:
{{وسط‌چین}}
:: <math>\operatorname{Var}\left(\sum_{i=1}^N X_i\right)=\sum_{i=1}^N\operatorname{Var}(X_i).</math>
{{پایان}}

== مثال ==

=== تاس ===
اگر یک تاس داشته باشیم که احتمال آمدن هر عدد <math>\frac{1}{6}</math> باشد، آنگاه امید ریاضی تاس با <math>\frac{(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6)}{6}</math>  برابر خواهد بود و واریانس تاس می‌شود:
{{وسط‌چین}}
: <math>\begin{align}
   \operatorname{Var}(X) &= \sum_{i=1}^6 \frac{1}{6}\left(i - \frac{7}{2}\right)^2 \\[5pt]
   &= \frac{1}{6}\left((-5/2)^2 + (-3/2)^2 + (-1/2)^2 + (1/2)^2 + (3/2)^2 + (5/2)^2\right) \\[5pt]
   &= \frac{35}{12} \approx 2.92.
 \end{align}</math>
{{پایان}}

به صورت کلی‌تر اگر یک متغیر گسسته کاتوره‌ای داشته باشیم که <math>n</math> مقدار بگیرد و احتمال هر کدام از این مقادیر <math>\frac{1}{n}</math> باشد، واریانس متغیر کاتوره‌ای ما برابر خواهد بود با: {{سخ}}
{{وسط‌چین}}
: <math>\begin{align}
   \operatorname{Var}(X) &= \operatorname{E}(X^2)-(\operatorname{E}(X))^2 \\[5pt]
   &= \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n i^2 - \left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n i\right)^2 \\[5pt]
   &= \frac{(n + 1)(2n + 1)}{6} - \left(\frac{n + 1}{2}\right)^2 \\[4pt]
   &= \frac{n^2 - 1}{12}.
 \end{align}</math>
{{پایان}}

=== [[توزیع طبیعی|توزیع نرمال]] ===
توزیع نرمال با تابع چگالی احتمال <math>
f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^2}} e^{ -\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2} }
</math> و پارامترهای <math>\mu </math> و <math>\sigma</math> به شکل زیر محاسبه می‌شود: 

{{وسط‌چین}}
: <math>
\operatorname{Var}(X) = \int_{-\infty}^\infty \frac{x^2}{\sqrt{2\pi \sigma^2}} e^{ -\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2} } \, dx - \mu^2 = \sigma^2
</math>
{{پایان}}

=== [[توزیع نمایی]] ===
توزیع نمایی با تابع چگالی احتمال <math>f(x) = \lambda e^{-\lambda x}</math> و پارامتر <math>\lambda</math> به شکل زیر محاسبه می‌شود، در این محاسبه <math>\mu = \lambda^{-1}</math>:
{{وسط‌چین}}
<math>\operatorname{Var}(X) = \int_0^\infty x^2 \lambda e^{-\lambda x} \, dx - \mu^2 = \lambda^{-2}</math>
{{پایان}}

=== [[توزیع پواسون]] ===
توزیع پواسون با تابع چگالی احتمال <math>{\displaystyle p(k)={\frac {\lambda ^{k}}{k!}}e^{-\lambda}}</math> و پارامتر <math>\lambda</math> به شکل زیر محاسبه می‌شود، در این محاسبه <math>\mu = \lambda</math>:
{{وسط‌چین}}
<math> \operatorname{Var}(X) = \left(\sum_{k=0}^\infty k^2 \frac{\lambda^k}{k!} e^{-\lambda}\right) - \mu^2 = \lambda</math>
{{پایان}}

=== [[توزیع دوجمله‌ای]] ===
توزیع دوجمله‌ای با تابع چگالی احتمال <math>p(k) = {n\choose k}p^k(1-p)^{n-k}</math>  و پارامتر <math>n</math> و  <math>p</math> به شکل زیر محاسبه می‌شود، در این محاسبه <math>\mu = np</math>:
{{وسط‌چین}}
<math> \operatorname{Var}(X) = \left(\sum_{k=0}^n k^2 {n\choose k}p^k(1-p)^{n-k}\right) - \mu^2 = np(1-p)</math>
{{پایان}}

== واژه‌شناسی ==
[[فرهنگستان زبان و ادب فارسی|فرهنگستان زبان فارسی]]، '''وردیدن''' از ریشه باستانی ورت (ورتیدن)، را بجای فعل to vary برگزیده است و از این فعل مشتقات '''[[وردایی]]''' (variance)،'''وردش''' (variation)، '''وردا''' (variant)، [[هم‌وردا]] (covariant)، [[هم وردایی]] (covariance)، [[ناوردا]] (invariant)، [[ناوردایی]] (invariance)، [[پادوردا]] (contravariance) را برساخته است.

== تخمین واریانس یک تابع ==
برای تخمین واریانس یک تابع از [[بسط تیلور]] آن به صورت پایین استفاده می‌کنند:{{وسط‌چین}}
<math>\operatorname{Var}\left[f(X)\right]\approx \left(f'(\operatorname{E}\left[X\right])\right)^2\operatorname{Var}\left[X\right]</math>
{{پایان}}

== جستارهای وابسته ==
* [[انحراف معیار]]
* [[امید ریاضی]]
* [[کوواریانس]]
* [[چولگی]]
* [[کشیدگی (آمار)|کشیدگی]] ([[کشیدگی (آمار)|کورتزیس]])

== منابع ==
page ۱۱۷٬۴۳ introduction to probabilities models by Sheldon M.Ross
{{پانویس}}
{{یادکرد-ویکی
|پیوند= http://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Variance&oldid=189198177
|عنوان= Variance
|زبان=انگلیسی
|بازیابی=۲۲ فوریه ۲۰۰۸
}}
{{آمار}}
{{داده‌های کتابخانه‌ای}}
{{نظریه توزیع‌های احتمال}}
[[رده:آمار توصیفی]]
[[رده:انحراف و پراکندگی آماری]]
[[رده:تحلیل داده]]
[[رده:گشتاور (ریاضی)]]
[[رده:نظریه احتمالات]]
[[رده:نظریه توزیع‌های احتمالی]]