نمایش مبدأ برای معادله‌ی دیراک در فضا-زمان خمیده

{{نظریه میدان کوانتومی}}

در [[ریاضی فیزیک]]، '''معادله دیراک در فضازمان منحنی''' تعمیم [[معادله دیراک]] از فضازمان تخت ([[فضای مینکوفسکی]]) به فضازمان منحنی یا یک خمینهٔ کلی لورنتسی است.

== فرمول بندی ریاضی ==
=== فضا-زمان ===
به‌طور خیلی کلی می‌توان معادله را بر روی خمینهٔ <math>M</math> یا یک خمینهٔ شبه ریمانی <math>(M,\mathbf{g})</math>، تعریف کرد اما برای سادگی خود را به یک خمینهٔ شبه ریمانی با مشخصهٔ <math>(- + + +)</math> محدود می‌کنیم. در [[نمادگذاری نمایه انتزاعی]]<nowiki/>متریک به صورت <math>\mathbf{g}</math> ، یا <math>g_{ab}</math> نوشته می‌شود.

=== میدان‌های قابی ===
ما از یک مجموعه وربین یا همان میدان‌های قابی <math>\{e_\mu\} = \{e_0,e_1,e_2,e_3\}</math> استفاده می‌کنیم، که مجموعه ای از میدان‌های برداری هستند (که لزوماً به صورت کلی بر روی <math>M</math> تعریف نشده‌است). معادله تعیین‌کننده آنها عبارت است از:

: <math>g_{ab}e_\mu^a e_\nu^b = \eta_{\mu\nu}.</math>

وربین یک قاب موضعی و ساکن را تعریف می‌کند که به ماتریس‌های گامای ثابت اجازه می‌دهد روی هر نقطهٔ فضازمان عمل کنند.

در زبان هندسی دیفرانسیل، وربین معادل بخشی از کلاف قابی است، و بنابراین یک کلاف تاری (trivialization) موضعی از کلاف قابی را تعریف می‌کند.

=== پیوستگی اسپین ===
برای نوشتن معادله دیراک در فضای خمیده به پیوستگی اسپین نیاز داریم که به پیوستگی یک‌شکلی (form-1) نیز معروف است. میدان‌های قاب دوگان <math>\{e^\mu\}</math> رابطه تعریف شدهٔ زیر را دارد:

: <math>e^\mu_a e^a_\nu = \delta^\mu{}_\nu.</math>

بنابراین پیوستگی یک‌شکلی عبارت است از:

: <math>\omega^\mu{}_{\nu a} := e^\mu_b\nabla_a e^b_\nu</math>

که<math>\nabla_a</math> یک [[مشتق هموردا]] یا به‌طور معادل انتخابی از [[التصاق آفین|اتصاق]] روی کلاف قاب است که اغلب به عنوان [[التصاق لوی-چیویتا|اتصاق لوی چیویتا]] در نظر گرفته می‌شود.

== منابع ==
{{پانویس}}
* {{cite journal |year=2013|author=M. Arminjon, F. Reifler|title=Equivalent forms of Dirac equations in curved spacetimes and generalized de Broglie relations|arxiv=1103.3201|doi=10.1007/s13538-012-0111-0|volume=43|issue=1–2|journal=Brazilian Journal of Physics|pages=64–77|bibcode=2013BrJPh..43...64A|s2cid=38235437}}
* {{cite journal|year=2010 |author=M.D. Pollock |title=on the dirac equation in curved space-time |url=http://www.actaphys.uj.edu.pl/fulltext?series=Reg&vol=41&page=1827 |journal=Acta Physica Polonica B |volume=41 |issue=8 |page=1827 |url-status=live}}
* {{cite book|title=Einstein's Unification|author=J.V. Dongen|page=117|publisher=Cambridge University Press|year=2010|url=https://books.google.com/books?id=T8Fde0u_XyIC&dq=Dirac+equation+in+curved+spacetime&pg=PA117|isbn=978-0-521-88346-7}}
* {{cite book|title=Quantum Field Theory in Curved Spacetime: Quantized Fields and Gravity|author=L. Parker, D. Toms|page=227|publisher=Cambridge University Press|year=2009|url=https://books.google.com/books?id=5nNuGMBBTjMC&q=L.+Parker,+D.+Toms+(2009).+Quantum+Field+Theory+in+Curved+Spacetime:+Quantized+Fields+and+Gravity|isbn=978-0-521-87787-9}}
* {{cite book|title=Aspects of Quantum Field Theory in Curved Spacetime|author=S.A. Fulling|publisher=Cambridge University Press|year=1989|url=https://books.google.com/books?id=Zo5_3cmtFEUC&dq=Dirac+equation+in+curved+spacetime&pg=PA223|isbn=0-521-37768-4}}

[[رده:اسپینورها]]
[[رده:فرمیون‌ها]]
[[رده:معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی]]
[[رده:معادله دیراک]]
[[رده:نظریه میدان کوانتومی]]