معادله‌ی دیراک در فضا-زمان خمیده

در ریاضی فیزیک، معادله دیراک در فضازمان منحنی تعمیم معادله دیراک از فضازمان تخت (فضای مینکوفسکی) به فضازمان منحنی یا یک خمینهٔ کلی لورنتسی است.

فرمول بندی ریاضی

فضا-زمان

به‌طور خیلی کلی می‌توان معادله را بر روی خمینهٔ $M$ یا یک خمینهٔ شبه ریمانی $(M,𝐠)$، تعریف کرد اما برای سادگی خود را به یک خمینهٔ شبه ریمانی با مشخصهٔ $(-+++)$ محدود می‌کنیم. در نمادگذاری نمایه انتزاعیمتریک به صورت $𝐠$ ، یا $g_{ab}$ نوشته می‌شود.

میدان‌های قابی

ما از یک مجموعه وربین یا همان میدان‌های قابی $\{e_{\mu }\}=\{e_0,e_1,e_2,e_3\}$ استفاده می‌کنیم، که مجموعه ای از میدان‌های برداری هستند (که لزوماً به صورت کلی بر روی $M$ تعریف نشده‌است). معادله تعیین‌کننده آنها عبارت است از:

$g_{ab}{e}_{\mu }^a{e}_{\nu }^b={\eta }_{\mu \nu }.$

وربین یک قاب موضعی و ساکن را تعریف می‌کند که به ماتریس‌های گامای ثابت اجازه می‌دهد روی هر نقطهٔ فضازمان عمل کنند.

در زبان هندسی دیفرانسیل، وربین معادل بخشی از کلاف قابی است، و بنابراین یک کلاف تاری (trivialization) موضعی از کلاف قابی را تعریف می‌کند.

پیوستگی اسپین

برای نوشتن معادله دیراک در فضای خمیده به پیوستگی اسپین نیاز داریم که به پیوستگی یک‌شکلی (form-1) نیز معروف است. میدان‌های قاب دوگان $\{e^{\mu }\}$ رابطه تعریف شدهٔ زیر را دارد:

$e_a^{\mu }{e}_{\nu }^a={\delta }^{\mu }{}_{\nu }.$

بنابراین پیوستگی یک‌شکلی عبارت است از:

${\omega }^{\mu }{}_{\nu a}:=e_b^{\mu }{\mathrm{\nabla }}_a{e}_{\nu }^b$

که${\mathrm{\nabla }}_a$ یک مشتق هموردا یا به‌طور معادل انتخابی از اتصاق روی کلاف قاب است که اغلب به عنوان اتصاق لوی چیویتا در نظر گرفته می‌شود.

منابع

• الگو:Cite journal
• الگو:Cite journal
• الگو:Cite book
• الگو:Cite book
• الگو:Cite book