نمایش مبدأ برای مشتق کل

{{حساب دیفرانسیل و انتگرال|موضوع=دیفرانسیل}}

در [[حساب دیفرانسیل و انتگرال]]، عبارت '''مشتق کل''' یا '''مشتق تام''' یا '''مشتق کامل''' برای چند مفهوم مختلف به‌کار می‌رود:

{{سخ}}مشتق کل یک تابع <math>f</math> با چندین [[متغیر (ریاضی)|متغیر]]، برای نمونه <math>t</math>، <math>x</math>، <math>y</math> و... نسبت به یکی از متغیرهایش مانند <math>t</math> با [[مشتق پاره‌ای]] آن (<math>\partial</math>) نسبت به آن متغیر متفاوت است. برای محاسبهٔ مشتق کل یک تابع <math>f</math> نسبت به <math>t</math>، فرض نمی‌شود که متغیرهای دیگر ثابت‌اند در حالی‌که <math>t</math> تغییر می‌کند. در عوض، اجازه داده می‌شود که متغیرهای دیگر هم به <math>t</math> وابسته باشد. مشتق کل، این وابستگی‌های غیرمستقیم را هم در نظر می‌گیرد تا نشان‌دهندهٔ وابستگی کلی تابع <math>f</math> نسبت به <math>t</math> باشد. برای مثال، مشتق کل <math>f(t,x,y)</math> نسبت به <math>t</math> به‌صورت زیر محاسبه می‌شود:<ref>{{یادکرد وب|عنوان=Total Derivative|نشانی=http://mathworld.wolfram.com/TotalDerivative.html|ناشر=MathWorld|تاریخ بازبینی=۷ دسامبر ۲۰۱۲|زبان=انگلیسی}}</ref> 
:<math>\frac{\operatorname df}{\operatorname dt}=\frac{\partial f}{\partial t} \frac{\operatorname dt}{\operatorname dt} + \frac{\partial f}{\partial x} \frac{\operatorname dx}{\operatorname dt} + \frac{\partial f}{\partial y} \frac{\operatorname dy}{\operatorname dt}.</math>
که به‌صورت زیر ساده می‌شود:
:<math>\frac{\operatorname df}{\operatorname dt}=\frac{\partial f}{\partial t} + \frac{\partial f}{\partial x} \frac{\operatorname dx}{\operatorname dt} + \frac{\partial f}{\partial y} \frac{\operatorname dy}{\operatorname dt}.</math>
با ضرب‌کردن رابطهٔ بالا در دیفرانسیل <math>\operatorname dt</math>:
:<math>{\operatorname df}=\frac{\partial f}{\partial t}\operatorname dt + \frac{\partial f}{\partial x} \operatorname dx + \frac{\partial f}{\partial y} \operatorname dy.</math>
نتیجه، تغییر جزئی <math>\operatorname df</math> در مقدار تابع <math>f</math> خواهد بود. با توجه به اینکه تابع <math>f</math> به متغیر <math>t</math> وابسته است، بخشی از این تغییر ناشی از [[مشتق پاره‌ای]] <math>f</math> نسبت به <math>t</math> خواهد بود. با این حال، بخشی از این تغییر هم ناشی از مشتق‌های پاره‌ای تابع <math>f</math> نسبت به متغیرهای <math>x</math> و <math>y</math> خواهد بود.

{{سخ}}مشتق کل می‌تواند به یک [[عملگر دیفرانسیلی]] مانند عملگر زیر اشاره کند:
:<math>\frac{\operatorname d}{\operatorname dx}= \frac{\partial }{\partial x}+\sum_{j=1}^k \frac{\operatorname dy_j}{\operatorname dx}\frac{\partial }{\partial y_j},</math>
که مشتق کل یک تابع را (در این مثال نسبت به <math>x</math>) محاسبه می‌کند.
* مشتق کل، می‌تواند به دیفرانسیل کامل <math>\operatorname df</math> یک تابع، چه در زبان سنتی مقادیر جزئی و چه در زبان مدرن [[فرم دیفرانسیلی|فرم‌های دیفرانسیلی]] اشاره کند.

{{سخ}}یک دیفرانسیل به فرم
:<math>\sum_{j=1}^k f_j(x_1,\dots, x_k) \operatorname d{x_j}</math>
مشتق کل یا ''مشتق دقیق'' نامیده می‌شود اگر دیفرانسیل یک تابع باشد. این هم می‌تواند به صورت مقادیر جزئی یا با استفاده از فرم‌های دیفرانسیلی و [[مشتق خارجی]] تعبیر شود.

{{سخ}} مشتق کل به‌عنوان نام دیگر ''مشتق به عنوان یک [[نگاشت خطی]]'' به‌کار می‌رود. به‌عنوان مثال، اگر <math>f</math> یک تابع مشتق‌پذیر از <math>\mathbb{R}^n </math> به <math>\mathbb{R}^m </math> باشد، سپس مشتق کل <math>f</math> در <math>x \in \mathbb{R}^n </math>، یک نگاشت خطی از <math>\mathbb{R}^n </math> به <math>\mathbb{R}^m </math> خواهد بود که ماتریس آن، [[ماتریس ژاکوبی]] <math>f</math> در <math>x</math> است.

{{سخ}} مشتق کل به‌عنوان مترادف [[گرادیان]] که مشتق یک تابع از <math>\mathbb{R}^n </math> به <math>\mathbb{R} </math> است، به‌کار می‌رود.

{{سخ}} مشتق کل، گاهی اوقات به‌عنوان مترادف [[مشتق مادی]] (<math>\frac{D\mathbf{u}}{Dt}</math>) در [[مکانیک شاره‌ها]] به‌کار می‌رود.

== پانویس ==
{{پانویس}}

[[رده:آنالیز ریاضی]]
[[رده:حساب دیفرانسیل]]
[[رده:حسابان چندمتغیره]]
[[رده:عملگرهای دیفرانسیلی]]
[[رده:مکانیک لاگرانژی]]