نمایش مبدأ برای مشتق لی

در [[ریاضیات]] ٬ '''مشتق لی''' که به افتخار [[سوفوس لی]] نام‌گذاری شده است٬ تغییر یک [[میدان تانسوری]] ( در حالت کلی٬شامل [[میدان نرده‌ای]] و [[میدان برداری]] و [[یک-فرم]])را در جهت یک شارش یک [[میدان برداری]] دیگر به‌دست می‌دهد.<ref>[[Andrzej Trautman]] (2008), "Remarks on the history of the
notion of Lie differentiation", “Variations, Geometry and Physics”
in honour of Demeter Krupka’s sixty-fifth birthday
O. Krupková and D. J. Saunders (Editors)
Nova Science Publishers, pp. 297-302</ref><ref>Ślebodziński W. (1931), ''Sur les équations de Hamilton'', Bull. Acad. Roy. d. Belg. 17 (5) pp. 864-870</ref>
این تغییر در دستگاه ها مختصات مختلف ناوردا است و به همین دلیل مشتق لی بر روی هر [[منیفلد دیفرانسیل‌پذیر]] تعریف می‌شود.

==تعریف ==
===مشتق لی یک تابع===
چند تعریف برای مشتق لی یک تابع وجود دارد.
*می‌توان مشتق لی رابراساس تعریف میدان‌های برداری به عنوان عملگرهای دیفرانسیلی مرتبه اول تعریف کرد. با فرض تابع {{nowrap|1=ƒ : ''M'' → '''R'''}} و یک میدان برداری <math>X</math> تعریف شده روی ''M'' ٬ مشتق لی  <math> \mathcal{L}_X f</math> یک تابع در راستای میدان<math>X</math> با اعمال میدان به دست می‌آید.می‌توان آن را [[مشتق جهت‌دار]] <math>f</math> در راستای <math>X</math> پنداشت.ینابراین در یک نقطه {{nowrap|1=''p'' ∈ ''M''}} داریم:

::<math>(\mathcal{L}_{\!X} f)(p) \triangleq X_p(f) \triangleq (Xf)(p) </math>

:براساس تعریف مشتق‌گیری ٬می‌توان این مشتق را روی M چنین نیز نوشت:
::<math>(\mathcal{L}_{\!X} f)(p) \triangleq \operatorname{d}f_p\, (X_p)</math>

با انتخاب مختصات ''x''<sup>''a''</sup> و با نوشتن :<math>X=X^a\partial_a </math> که در آن <math>\partial_a = \frac{\partial}{\partial x^a}</math> بردارهای یکه برای دسته(باندل) مماس‌ها هستند٬ خواهیم داشت:

::<math>(\mathcal{L}_{\!X} f)(p) =X^a(p)(\partial_a f)(p)</math>.

===مشتق لی یک میدان برداری ===
ابتدا یک [[براکت لی]] از دو میدان برداری X و Y‌تعریف می‌کنیم. یک تعریف عبارت است از:

{{چپ‌چین}}
:<math>\mathcal{L}_X Y = [X,Y]</math>

{{پایان چپ‌چین}}
تعریف‌های دیگر چنین‌اند: ( <math>\Phi^X_{t}</math>  تبدیل شار(فلو)‌و d عملگر نگاشت مماس مشتق است) 
{{چپ‌چین}}
:<math>(\mathcal{L}_X Y)_x := \lim_{t \to 0}\frac{(\mathrm{d}\Phi^X_{-t}) Y_{\Phi^X_t(x)} - Y_x}t = \left.\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}\right|_{t=0} (\mathrm{d}\Phi^X_{-t}) Y_{\Phi^X_t(x)}</math>
:<math>\mathcal{L}_X Y := \left.\frac12\frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{dt}^2}\right|_{t=0} \Phi^Y_{-t} \circ \Phi^X_{-t} \circ \Phi^Y_{t} \circ \Phi^X_{t} = \left.\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}\right|_{t=0} \Phi^Y_{-\sqrt{t}} \circ \Phi^X_{-\sqrt{t}} \circ \Phi^Y_{\sqrt{t}} \circ \Phi^X_{\sqrt{t}}\,</math> <ref>{{cite book|author=Kolář, I., Michor, P., and Slovák, J.|year=1993|page=21}}</ref>

{{پایان چپ‌چین}}

==منابع ==
{{چپ‌چین}}
{{پانویس}}
{{پایان چپ‌چین}}

{{تانسورها}}
{{هندسه دیفرانسیل-خرد}}
[[رده:هندسه دیفرانسیل]]
[[رده:توپولوژی دیفرانسیل]]
[[رده:عملگرهای دیفرانسیلی]]
[[رده:تعمیم‌های مشتق]]