نمایش مبدأ برای ماتریس وندرموند

'''ماتریس وندرموند''' {{به انگلیسی|Vandermonde matrix}} در [[جبر خطی]] به ماتریس‌هایی گویند که دارای یک [[تصاعد هندسی]] در هر سطر به صورت زیر هست :

:<math>V=\begin{bmatrix}
1 & \alpha_1 & \alpha_1^2 & \dots & \alpha_1^{n-1}\\
1 & \alpha_2 & \alpha_2^2 & \dots & \alpha_2^{n-1}\\
1 & \alpha_3 & \alpha_3^2 & \dots & \alpha_3^{n-1}\\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots &\vdots \\
1 & \alpha_m & \alpha_m^2 & \dots & \alpha_m^{n-1}
\end{bmatrix}</math>

یا می‌توان گفت : <math>V_{i,j} = \alpha_i^{j-1} \, </math>

برای یک ماتریس مربع داریم : <math>\det(V) = \prod_{1\le i<j\le n} (\alpha_j-\alpha_i). </math>

== دلیل نام‌گذاری ==
این ماتریس به نام یابنده آن الکساندر تئوفیل وندرموند {{به انگلیسی| Alexandre-Théophile Vandermonde}} نام گذاری گشته است .

== ویژگی ==

[[دترمینان]] ماتریس مربع بنا به فرمول لایب‌نیتز : <math> \det(V) = \sum_{\sigma \in S_n} \sgn(\sigma) \prod_{i = 1}^n \alpha_i^{\sigma(i)-1}, </math>

که ''S''<sub>''n''</sub> یک جایگشت از <math>\{1,\ldots,n\}</math> و <math>\sgn(\sigma)</math> توازن یک جایگشت ''σ'' هست. که اثبات می‌گردد برابر است با :
<math>\sum_{\sigma \in S_n} \sgn(\sigma) \prod_{i = 1}^n \alpha_i^{\sigma(i)-1}=\prod_{1\le i<j\le n} (\alpha_j-\alpha_i) </math>

== کاربرد ==
این ماتریس در زمینه‌های زیر کاربرد دارد :
* ماتریس وندرموند یک [[چندجمله‌ای|چند جمله‌ای]] را در یک مجموعه‌ای از نقاط ارزیابی می‌کند.این ماتریس ضرایب یک چند جمله‌ای 
<math>a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_{n-1}x^{n-1}</math> را به مقدارهایی که چندجمله‌ای در نقطه <math>\alpha_i.</math> اتفاق بیفتد تبدیل می‌کند. برای نقاط متمایز ، تبدیل از ضرایب به مقدارها [[تابع یک‌به‌یک|تناظر یک به یک]] هست و به همین ترتیب مشکل [[درون یابی]] چند جمله‌ای قابل حل است.
* در چند فرم از [[تصحیح خطای رید-سالامون]]
* برای [[تبدیل گسسته فوریه]]
* در فرمول فروبونیوس

== منابع ==
* [http://www.math.umn.edu/~garrett/m/algebra/notes/17.pdf Vandermonde matrix]
* {{یادکرد-ویکی

|پیوند=http://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Vandermonde_matrix&oldid=606463369

|عنوان=Vandermonde matrix

|زبان=انگلیسی

|بازیابی= ۲۵ مه ۲۰۱۴}}
{{پانویس}}
{{ماتریس‌ها}}
[[رده:جبر خطی عددی]]
[[رده:دترمینان]]
[[رده:ماتریس‌ها]]