ماتریس وندرموند

ماتریس وندرموند الگو:به انگلیسی در جبر خطی به ماتریس‌هایی گویند که دارای یک تصاعد هندسی در هر سطر به صورت زیر هست :

$V=\left[\begin{array}{ccccc}1& {\alpha }_1& {\alpha }_1^2& \dots & {\alpha }_1^{n-1}\\ 1& {\alpha }_2& {\alpha }_2^2& \dots & {\alpha }_2^{n-1}\\ 1& {\alpha }_3& {\alpha }_3^2& \dots & {\alpha }_3^{n-1}\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 1& {\alpha }_m& {\alpha }_m^2& \dots & {\alpha }_m^{n-1}\end{array}\right]$

یا می‌توان گفت : $V_{i,j}={\alpha }_i^{j-1}$

برای یک ماتریس مربع داریم : $\det (V)=\prod _{1\le i<j\le n}({\alpha }_j-{\alpha }_i).$

دلیل نام‌گذاری

این ماتریس به نام یابنده آن الکساندر تئوفیل وندرموند الگو:به انگلیسی نام گذاری گشته است .

ویژگی

دترمینان ماتریس مربع بنا به فرمول لایب‌نیتز : $\det (V)=\sum _{\sigma \in S_n}\mathrm{sgn}(\sigma )\prod _{i=1}^n{\alpha }_i^{\sigma (i)-1},$

که S_n یک جایگشت از $\{1,\dots ,n\}$ و $\mathrm{sgn}(\sigma )$ توازن یک جایگشت σ هست. که اثبات می‌گردد برابر است با : $\sum _{\sigma \in S_n}\mathrm{sgn}(\sigma )\prod _{i=1}^n{\alpha }_i^{\sigma (i)-1}=\prod _{1\le i<j\le n}({\alpha }_j-{\alpha }_i)$

کاربرد

این ماتریس در زمینه‌های زیر کاربرد دارد :

• ماتریس وندرموند یک چند جمله‌ای را در یک مجموعه‌ای از نقاط ارزیابی می‌کند.این ماتریس ضرایب یک چند جمله‌ای

$a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+\cdots +a_{n-1}{x}^{n-1}$ را به مقدارهایی که چندجمله‌ای در نقطه ${\alpha }_i.$ اتفاق بیفتد تبدیل می‌کند. برای نقاط متمایز ، تبدیل از ضرایب به مقدارها تناظر یک به یک هست و به همین ترتیب مشکل درون یابی چند جمله‌ای قابل حل است.

• در چند فرم از تصحیح خطای رید-سالامون
• برای تبدیل گسسته فوریه
• در فرمول فروبونیوس

منابع

• Vandermonde matrix
• الگو:یادکرد-ویکی