نمایش مبدأ برای لگاریتم

[[پرونده:Binary logarithm plot with ticks.svg|بندانگشتی|نمودار لگاریتم در پایهٔ ۲ که محور xها (محور افقی) را در نقطهٔ ۱ قطع می‌کند، بالا می‌رود و به ترتیب از نقطه‌های (۲٬۱) و (۴٬۲) و (۸٬۳) عبور می‌کند. به ازای اعداد نزدیک صفر، منحنی لگاریتم به محور عمودی y بسیار نزدیک می‌شود ولی هرگز با آن مماس نمی‌شود یا آن را قطع نمی‌کند.]]

'''لُگاریتم'''<ref>{{یادکرد فرهنگستان|مصوب=لگاریتم|بیگانه=logarithm|بیگانه در فارسی=|حوزه=ریاضی|دفتر=نخست|بخش=فارسی|سرواژه=لگاریتم}}</ref> {{به انگلیسی|Logarithm}} یک عدد در یک پایه، برابر با [[توان (ریاضی)|توانی]] از پایه‌است که آن عدد را می‌دهد. برای نمونه لگاریتم ۱۰۰۰ در پایهٔ ۱۰، برابر با ۳ است. چون ۱۰ × ۱۰ × ۱۰ = ۱۰۰۰ یا به بیان کلی‌تر اگر'' x = b<sup>y</sup>'' باشد آنگاه لگاریتم ''x'' در پایهٔ ''b'' برابر با ''y'' خواهد بود و به زبان ریاضی آن را به صورت <math>\log_b (x) = y \,</math> نمایش می‌دهیم. مانند: <math>\log_{10} (1000) = 3 \,.</math>

لگاریتم نخستین بار از سوی [[جان نپر]] در اوایل سده ۱۷ میلادی به عنوان وسیله‌ای برای آسان‌تر کردن محاسبات، معرفی شد؛ که به سرعت از سوی دانشمندان و مهندسان پذیرفته شد و برای آسان‌تر کردن و سریع‌تر کردن محاسبه جدول‌های [[لگاریتم اعشاری]] و [[خطکش‌های لغزنده]] ایجاد شدند و مورد استفاده قرار گرفتند. تمامی این ابزارها بر پایهٔ این مفهوم که «لگاریتم [[حاصل‌ضرب|حاصل ضرب]] برابر است با مجموع لگاریتم‌ها»، ساخته شده بودند:
{{چپ‌چین}}
:<math> \log_a(xy) = \log_a (x) + \log_a (y). \,</math>
:<math> \log_2(32) = \log_2 (4) + \log_2 (8). \,</math>
{{پایان چپ‌چین}}
مفهوم امروزی لگاریتم از تلاش‌های [[لئونارد اویلر]] در قرن ۱۸ گرفته شده‌است؛ او توانست مفهوم لگاریتم را با مفهوم [[تابع نمایی]] پیوند دهد.

لگاریتم در پایهٔ ۱۰ را [[لگاریتم اعشاری]] می‌نامند که کاربرد بسیار زیادی در مهندسی دارد. لگاریتم در مبنای [[عدد e|ثابت e]] یا عدد نپر ≈ ۲٫۷۱۸ را [[لگاریتم طبیعی]] می‌نامند. این لگاریتم در [[ریاضیات محض]] به ویژه [[حساب دیفرانسیل و انتگرال]] بسیار کاربرد دارد. [[لگاریتم دو دویی]] نیز در مبنای ۲ نوشته می‌شود و کاربرد زیادی در [[علوم رایانه]] دارد.

به کمک مقیاس لگاریتمی، می‌توان اندازه‌های بسیار بزرگ را در ابعاد بسیار کوچکتری نشان داد برای نمونه [[دسی‌بل]] یکایی لگاریتمی است که برای نشان دادن [[فشار صدا]] و نسبت ولتاژ کاربرد دارد. در شیمی نیز [[پ هاش]] که معیاری برای نشان دادن میزان [[اسید]]ی بودن مایعات است در مقیاس لگاریتمی بیان می‌شود. همچنین لگاریتم در [[نظریه پیچیدگی محاسباتی|نظریهٔ پیچیدگی محاسباتی]] و در برخی شکل‌های هندسی مانند [[برخال]]ها کاربرد دارد. از دیگر کاربردهای آن می‌توان به [[فاصله (موسیقی)|فاصله در موسیقی]] و رابطه‌های شمارش [[عدد اول|اعداد اول]] اشاره کردهمچنین در محاسبه زمان اجرای الگوریتم‌های برنامه‌های کامپیوتری استفاده می‌شود.

[[توان (ریاضی)|تابع توان]] وارون تابع لگاریتم است و لگاریتم مختلط، تابع وارون [[تابع نمایی]] به کار رفته در [[عدد مختلط|اعداد مختلط]] است. [[لگاریتم گسسته]] نیز در [[رمزنگاری کلید عمومی]] استفاده می‌شود.

== انگیزهٔ اولیه و تعریف ==
انگیزهٔ ساخت لگاریتم، داشتن وارون [[توان (ریاضی)|تابع توان]] بوده‌است. برای نمونه، توان سوم ۲، ۸ است چون '''۸ = ۲ × ۲ × ۲ = ۲<sup>۳</sup>''' پس لگاریتم ۸ در پایهٔ ۲، ۳ می‌شود.

=== به توان رساندن ===
توان سوم عددی مانند ''b'' برابر است با ۳ بار ضرب ''b'' در خودش. حال اگر ''b'' به توان یک [[اعداد طبیعی|عدد طبیعی]] مانند ''n'' برسد به معنی ''n'' بار ضرب کردن ''b'' در خودش است که به صورت زیر نمایش می‌دهیم
{{چپ‌چین}}
:<math>b^n = \underbrace{b \times b \times \cdots \times b}_{n \text{ factors}}.</math>
{{پایان چپ‌چین}}
در صورتی که ''n'' عدد طبیعی نباشد، آنگاه ''b<sup>n</sup>'' جواب دیگری خواهد داشت. مانند ۱- که ''b<sup>-۱</sup>'' برابر معکوس ''b'' است. برای جزئیات بیشتر، شامل فرمول {{nowrap|''b''<sup>''m'' + ''n''</sup> <nowiki>=</nowiki> ''b''<sup>''m''</sup> · ''b''<sup>''n''</sup>}} [[توان (ریاضی)|توان]] را ببینید<ref>{{Citation|last1=Shirali| first1=Shailesh|title=A Primer on Logarithms|publisher=Universities Press|isbn=978-81-7371-414-6|year=2002|location=Hyderabad}}, esp. section 2</ref> یا یک رساله مقدماتی.

=== تعریف ===
لگاریتم عددی مانند ''y'' در پایهٔ ''b'' عبارت است از یافتن عددی که اگر ''b'' به توان آن عدد برسد برابر با ''y'' شود. به عبارت دیگر جواب ''x'' معادلهٔ زیر برابر با لگاریتم ''y'' در پایهٔ ''b'' خواهد بود.<ref name=autogenerated1>{{Citation|last1=Kate|first1=S.K.|last2=Bhapkar|first2=H.R.|title=Basics Of Mathematics|location=Pune|publisher=Technical Publications|isbn=978-81-8431-755-8|year=2009}}, chapter 1</ref>
{{چپ‌چین}}
: <math>b^x = y. \, </math>
{{پایان چپ‌چین}}
پایهٔ ''b'' باید یک عدد حقیقی [[مثبت]] و نامساوی ۱ باشد و ''y'' نیز باید یک عدد مثبت باشد.<ref name=autogenerated1/>
: <math>b^x = y. \, </math>

=== چند نمونه ===
;نمونهٔ یکم:
برای نمونه ۴ = (۱۶) log<sub>۲</sub> چون ۱۶ = ۲ × ۲ × ۲ × ۲ = ۲<sup>۴</sup>
;نمونهٔ دوم:
برای توان‌های منفی نیز لگاریتم معتبر است مانند:
{{چپ‌چین}}
:<math>\log_2 \!\left(\frac{1}{2} \right) = -1,\, </math>
{{پایان چپ‌چین}}
چون
{{چپ‌چین}}
: <math>2^{-1} = \frac 1 {2^1} = \frac 1 2.</math>
{{پایان چپ‌چین}}
;نمونهٔ سوم:
(۱۵۰) log<sub>۱۰</sub> تقریباً برابر است با ۲٫۱۷۶ عددی میان ۲ و ۳ چون ۱۵۰ خود عددی است میان ۱۰۰ = ۱۰<sup>۲</sup> و ۱۰۰۰ = ۱۰<sup>۳</sup> همچنین در هر پایه‌ای <math>\log_b (b) = 1</math> و <math>\log_b (1) = 0</math> چون به ترتیب: <math>b^{1} = b </math> و <math>b^{0} = 1 </math> است.

== قوانین لگاریتم ==
{{نوشتار اصلی|فهرست اتحادهای لگاریتمی}}
رابطه‌های مختلفی به عنوان قوانین لگاریتم وجود دارند که می‌توانند میان فرمول‌های لگاریتمی رابطه برقرار کنند.

=== ضرب، تقسیم، توان، ریشه ===
لگاریتم حاصل ضرب چند عدد برابر است با مجموع لگاریتم‌های تک تک آن عددها. لگاریتم نسبت دو عدد (تقسیم) برابر است با تفاضل لگاریتم آن دو عدد. لگاریتم توان ''p'' ام یک عدد برابر است با ''p'' برابر لگاریتم آن عدد. لگاریتم ریشهٔ ''p'' ام یک عدد برابر است با لگاریتم آن عدد تقسیم بر ''p''. جدول زیر قوانین لگاریتم را همراه با یک نمونه نشان داده‌است:
{{وسط‌چین}}
{| class="wikitable"
|-
!!! رابطه!! نمونه
|-
| ضرب || <cite id="labelLogarithmProducts"><math> \log_b(x y) = \log_b (x) + \log_b (y) \,</math></cite>|| <math> \log_3 (243) = \log_3(9 \times 27) = \log_3 (9) + \log_3 (27) = 2 + 3 = 5 \,</math>
|-
| تقسیم || <math>\log_b \!\left(\frac x y \right) = \log_b (x) - \log_b (y) \,</math>|| <math> \log_2 (16) = \log_2 \!\left (\frac{64}{4} \right) = \log_2 (64) - \log_2 (4) = 6 - 2 = 4</math>
|-
| توان || <cite id="labelLogarithmPowers"><math>\log_b(x^p) = p \log_b (x) \,</math></cite>|| <math> \log_2 (64) = \log_2 (2^6) = 6 \log_2 (2) = 6 \,</math>
|-
| ریشه || <math>\log_b \sqrt[p]{x} = \frac {\log_b (x)} p \, </math>|| <math> \log_{10} \sqrt{1000} = \frac{1}{2}\log_{10} 1000 = \frac{3}{2} = 1.5 </math>
|}
{{پایان}}

=== تغییر پایه ===
می‌توان <math> \log_b(x)</math> را به صورت غیرمستقیم با گرفتن لگاریتم ''x'' و ''b'' در یک پایهٔ دلخواه مانند ''k'' بدست آورد، به این ترتیب که:
{{چپ‌چین}}
:<math> \log_b(x) = \frac{\log_k(x)}{\log_k(b)}. \, </math>
{{پایان چپ‌چین}}
بیشتر ماشین حساب‌هایی که در دسترس اند لگاریتم را تنها در مبنای ۱۰ و [[عدد e|عدد نپر]]<ref>{{Citation | last1=Bernstein | first1=Stephen | last2=Bernstein | first2=Ruth | title=Schaum's outline of theory and problems of elements of statistics. I, Descriptive statistics and probability| publisher=[[مک‌گرا-هیل|McGraw Hill Financial]] | location=New York | series=Schaum's outline series | isbn=978-0-07-005023-5 | year=1999}}, p. 21</ref> محاسبه می‌کنند و لگاریتم در پایه‌های دیگر را به کمک رابطهٔ بالا محاسبه می‌کنند::
{{چپ‌چین}}
:<math> \log_b (x) = \frac{\log_{10} (x)}{\log_{10} (b)} = \frac{\log_{e} (x)}{\log_{e} (b)}. \,</math>
{{پایان چپ‌چین}}

همچنین اگر عددی مانند ''x'' و مقدار لگاریتم آن را در یک مبنای نامشخص ''b'' داشته باشیم <math> \log_b (x)</math> حال می‌توان مبنای نامشخص ''b'' را به ترتیب زیر محاسبه کرد:
{{چپ‌چین}}
: <math> b = x^\frac{1}{\log_b(x)}.</math>
{{پایان چپ‌چین}}

=== ۳ ویژگی مهم لگاریتم ===
# {{چپ‌چین}}
:<math> \log_a a =1 </math>
{{پایان چپ‌چین}}
# {{چپ‌چین}}
:<math> \log_a 1 =0 </math>
{{پایان چپ‌چین}}
# {{چپ‌چین}}
:<math> \log_a \frac{1}{a} =-1 </math>
{{پایان چپ‌چین}}

== پایه‌های ویژه ==
پایه‌های ویژهٔ لگاریتم عبارتند از ۱۰، ۲ و [[عدد e]] ([[عدد گنگ]]ی تقریباً برابر با ۲٫۷۱۸۲۸) در [[آنالیز ریاضی]] لگاریتم در پایهٔ عدد e بسیار کاربرد دارد، لگاریتم در پایهٔ ۱۰ را می‌توان بوسیلهٔ ماشین حساب‌های دستی که در اختیار است به آسانی محاسبه کرد:<ref>{{Citation|last1=Downing|first1=Douglas|title=Algebra the Easy Way|series=Barron's Educational Series|location=Hauppauge, N.Y.|publisher=Barron's|isbn=978-0-7641-1972-9|year=2003}}, chapter 17, p. 275</ref>
{{چپ‌چین}}
:<math>\log_{10}(10 x) = \log_{10}(10) + \log_{10}(x) = 1 + \log_{10}(x). \ </math>
{{پایان چپ‌چین}}
لگاریتم در پایهٔ ۱۰ را می‌توان به آسانی با شمردن تعداد [[رقم]]های یک عدد بدست آورد. برای نمونه (۱۴۳۰) log<sub>۱۰</sub> تقریباً برابر است با ۳٫۱۵ چون ۱۴۳۰ چهار رقم دارد پس لگاریتم آن در پایهٔ ۱۰ باید عددی میان ۳ و ۴ باشد. لگاریتم در پایهٔ ۲ در [[علوم رایانه]] مورد استفاده قرار می‌گیرد چون در آن از [[دستگاه اعداد دودویی]] استفاده می‌شود.

جدولی که در ادامه قرار داده شده‌است علامت‌هایی که برای نشان دادن تابع لگاریتم کاربرد دارند و جایی که هر نوع لگاریتم مورد استفاده قرار می‌گیرد را نشان داده‌است. در بسیاری موارد اگر بتوان از روی نوشته تشخیص داد تنها از نماد لگاریتم استفاده می‌کنند و از نوشتن پایهٔ آن خودداری می‌کنند. در جدول زیر نمادی ستون «نماد ISO» مربوط به پیشنهادی است که از سوی [[سازمان بین‌المللی استانداردسازی]]<ref>{{Citation| title = Guide for the Use of the International System of Units (SI)|author = B. N. Taylor|publisher = US Department of Commerce|year = 1995|url = http://physics.nist.gov/Pubs/SP811/sec10.html#10.1.2}}</ref> داده شده‌است. (ISO ۳۱–۱۱) <!-- به دلیل آنکه ویکی فارسی نمی‌تواند فرمول انگلیسی را بنویسد بقیهٔ متن انگلیسی ترجمه نشد و یک راست رفتم سراغ جدول. -->
{| class="wikitable" style="text-align:center; margin:1em auto 1em auto;"
|-
! scope="col"|پایهٔ ''b''
! scope="col"|نام گونهٔ لگاریتم
! scope="col"|ISO نماد در
! scope="col"|دیگر نمادها
! scope="col"|کاربرد
|-
! scope="row"|۲
| [[لگاریتم دودویی]] یا لگاریتم باینری
| lb(''x'')<ref name="gullberg">{{Citation|title = Mathematics: from the birth of numbers.|author = Gullberg, Jan|location=New York|publisher = W. W. Norton & Co|year = 1997|isbn=978-0-393-04002-9}}</ref>
| {{عبارت چپچین|ld(x), log(x)}}{{سخ}}(در علوم رایانه)، {{عبارت چپچین|lg(x)}}
| علوم رایانه: این لگاریتم پیشفرض در پایه ۲ بوده و در طراحی نرم‌افزار به‌ویژه بانک‌های اطلاعاتی مانند محاسبات آی‌پی۴ و ۶ و غیره کاربردهای بسیاری دارد، همچنین سخت‌افزار، [[نظریه اطلاعات|نظریهٔ اطلاعات]]
|-
! scope="row"|''e''
| [[لگاریتم طبیعی]]
| ln(''x'')<ref name="adaa" group="nb">Some mathematicians disapprove of this notation. In his 1985 autobiography, [[پل ریچارد هالموس]] criticized what he considered the "childish ln notation," which he said no mathematician had ever used.</ref><ref>{{Citation
|title = I Want to Be a Mathematician: An Automathography
|author = Paul Halmos
|publisher = Springer-Verlag
|location=Berlin, New York
|year = 1985
|isbn=978-0-387-96078-4
}}</ref>
نماد توسط [[اروینگ استرینگهام]]، ریاضی‌دان آمریکایی اختراع شد.<ref>{{Citation
|title = Uniplanar algebra: being part I of a propædeutic to the higher mathematical analysis
|author = Irving Stringham
|publisher = The Berkeley Press
|year = 1893
|page = xiii
|url = http://books.google.com/?id=hPEKAQAAIAAJ&pg=PR13&dq=%22Irving+Stringham%22+In-natural-logarithm&q=
}}</ref><ref>{{Citation|title = Introduction to Financial Technology|author = Roy S. Freedman|publisher = Academic Press|location=Amsterdam|year = 2006|isbn=978-0-12-370478-8|page = 59|url = http://books.google.com/?id=APJ7QeR_XPkC&pg=PA59&dq=%22Irving+Stringham%22+logarithm+ln&q=%22Irving%20Stringham%22%20logarithm%20ln}}</ref>
| {{عبارت چپچین|log(''x'')}}{{سخ}}(در ریاضی و بسیاری از [[زبان‌های برنامه‌نویسی]]<ref group="nb">برای نمونه [[C|زبان برنامه‌نویسی C]]، [[جاوا (زبان برنامه‌نویسی)|زبان برنامه‌نویسی جاوا]]، [[هسکل|زبان برنامه‌نویسی هسکل]] و [[بیسیک|زبان برنامه‌نویسی بیسیک]].</ref>)
| آنالیز ریاضی، فیزیک، شیمی{{سخ}}[[آمار]]، [[علم اقتصاد]]، و بعضی از زمینه‌های مهندسی
|-
! scope="row"|۱۰
| [[لگاریتم اعشاری]]
| {{عبارت چپچین|lg(''x'')}}
| {{عبارت چپچین|log(''x'')}}{{سخ}}(در مهندسی، زیست‌شناسی، اخترشناسی),
| در زمینه‌های گوناگون [[مهندسی]] (مانند [[دسی‌بل]])،{{سخ}}تهیه جدول لگاریتم و ماشین حساب‌های مهندسی
|}

== پیشینه ==
=== پیشینیان ===
[[ویراسنا]]، [[ریاضی‌دانان هندی|ریاضی‌دان هندی]] از کسانی بود که با مفهومی به نام ''ardhaccheda'' کار کرد. ''ardhaccheda'' یعنی تعداد دفعاتی که می‌توان ۲<sup>''n''</sup> را نصف کرد. برای نمونه برای توان‌های دقیق ۲ این کار برابر با لگاریتم گرفتن در مبنای ۲ بود؛ وی همچنین لگاریتم در پایهٔ دیگر اعداد صحیح مانند لگاریتم در پایهٔ ۳ (''trakacheda'') و در پایهٔ ۴ (''caturthacheda'') را نیز معرفی کرد.<ref>{{citation| contribution=History of Mathematics in India|title=Students' Britannica India: Select essays|editor-first=Dale|editor1-last=Hoiberg|editor3-first=Indu|editor2-last=Ramchandani|first=R. C.|last=Gupta|page=329|location=New Delhi|publisher=Popular Prakashan|year=2000| contribution-url=http://books.google.co.uk/books?id=-xzljvnQ1vAC&pg=PA329&lpg=PA329&dq=Virasena+logarithm&source=bl&ots=BeVpLXxdRS&sig=_h6VUF3QzNxCocVgpilvefyvxlo&hl=en&ei=W0xUTLyPD4n-4AatvaGnBQ&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=2&ved=0CBgQ6AEwATgK#v=onepage&q=Virasena%20logarithm&f=false}}</ref><ref>{{Citation|edition=3rd|year=1996|title=THE SHATKHANDAGAMA OF PUSHPADANTA AND BHOOTABAL|editor=Dr. Hiralal Jain|publisher=Jain Samskriti Samrakshaka Sangha|location=Solapur|url=http://www.jainworld.com/JWHindi/Books/shatkhandagama-4/02.htm|unused_data=Mathematics of Dhavala|accessdate=22 اوت 2011|archiveurl=https://web.archive.org/web/20110511032215/http://www.jainworld.com/JWHindi/Books/shatkhandagama-4/02.htm|archivedate=11 مه 2011|dead-url=yes}}, part 3-4-5, book 4</ref> [[مایکل استیفل]] در سال [[۱۵۴۴ میلادی]] در [[نورنبرگ]] ''Arithmetica integra'' را منتشر کرد، در این نوشته جدولی از اعداد صحیح و توان‌های ۲ داده شده بود، این جدول به عنوان نسخهٔ اولیهٔ جدول لگاریتم شمرده می‌شود.<ref>{{springer | title=Arithmetic | id= A/a013260 | last=Bukhshtab | first=A.A. | last2=Pechaev | first2=V.I.}}</ref><ref>{{Citation|title = Precalculus mathematics|author = Vivian Shaw Groza and Susanne M. Shelley|publisher = Holt, Rinehart and Winston|location=New York|year=1972|isbn=978-0-03-077670-0|page = 182|url = http://books.google.com/?id=yM_lSq1eJv8C&pg=PA182&dq=%22arithmetica+integra%22+logarithm&q=stifel}}</ref>

=== از نپر تا اویلر ===
[[پرونده:John Napier.jpg|بندانگشتی|[[جان نپر]] (۱۶۱۷–۱۵۵۰) بدست آورندهٔ روش لگاریتم‌گیری|alt=A baroque picture of a sitting man with a beard.]]
روش لگاریتم‌گیری در سال ۱۶۱۴ از سوی [[جان نپر]] در کتابی با عنوان ''Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio'' (توصیفی بر قانون شگفت‌انگیز لگاریتم) ارائه شد.<ref>{{Citation|author=Ernest William Hobson|title=John Napier and the invention of logarithms, 1614|year=1914|publisher=The University Press|location=Cambridge|url=http://www.archive.org/details/johnnapierinvent00hobsiala}}</ref> همچنین [[ژو بورجی]] {{به فرانسوی|Joost Bürgi}} نیز جداگانه روش لگاریتم‌گیری را پیدا کرده بود اما آن را شش سال پس از نپر منتشر کرد.<ref>{{Harvard citations
 |last1=Boyer|year=1991 |nb=yes |loc=Chapter 14, section "Jobst Bürgi"}}</ref>

نپر، با استفاده از روش تقسیم‌های متوالی توانسته بود عبارت <math>10^7 {(1-10^{-7})}^L \,</math> را به ازای ''L''های میان ۱ تا ۱۰۰ محاسبه کند. جواب این عبارت برای ۱۰۰ = ''L'' تقریباً برابر است با ۰٫۹۹۹۹۹ = ۱ - <sup>۵-</sup>۱۰ و <sup>۲۰</sup> ۰٫۹۹۵ ≈ ۰٫۹۹. این محاسبات که ۲۰ سال طول کشید، باعث شد تا او بتواند به ازای هر عدد ''N'' در بازهٔ ۵ تا ۱۰ میلیون، بتواند عدد ''L'' را پیدا کند که در رابطهٔ زیر صدق کند:
{{چپ‌چین}}
:<math>N=10^7 {(1-10^{-7})}^L. \,</math>
{{پایان چپ‌چین}}
نپر ابتدا نام «''عدد ساختگی''» را بر ''L'' نهاد ولی پس از مدتی واژهٔ «''لگاریتم''» ''logarithm'' را معرفی کرد و آن را بر عددی گذاشت که نمایندهٔ یک نسبت است: واژهٔ ''λόγος'' برابر ''[[لوگوس|logos]]'' به معنی «نسبت» است و واژهٔ ''ἀριθμός'' برابر ''arithmos'' به معنی «عدد» است. بوسیلهٔ عبارت زیر می‌توان مفهوم پیشین لگاریتم را با مفهوم امروزی لگاریتم طبیعی مرتبط کرد:<ref>{{Citation
| title = The Encyclopædia Britannica: a dictionary of arts, sciences, and general literature ; the R.S. Peale reprint,
| volume = 17
| edition = 9th
| author = William Harrison De Puy
| publisher = Werner Co.
| year = 1893
| page = 179
| url = http://babel.hathitrust.org/cgi/pt?seq=7&view=image&size=100&id=nyp.33433082033444&u=1&num=179
}}</ref><ref>{{پک|ایوز|۱۳۸۱|ک=آشنایی با تاریخ ریاضیات|ص=۶}}</ref>
{{چپ‌چین}}
:<math>L = \log_{(1-10^{-7})} \!\left(\frac{N}{10^7} \right) \approx 10^7 \log_{ \frac{1}{e}} \!\left(\frac{N}{10^7} \right) = -10^7 \log_e \!\left(\frac{N}{10^7} \right),</math>
{{پایان چپ‌چین}}
با تقریب خوبی داریم:
{{وسط‌چین}}
:<math>{(1-10^{-7})}^{10^7} \approx \frac{1}{e}. \,</math>
{{پایان}}
این دست‌آورد خیلی زود مورد تحسین گستردهٔ دیگران قرار گرفت، به همین دلیل با تلاش دانشمندانی چون [[بوناونتورا کاوالیری]] (Bonaventura Cavalieri) از ایتالیا، [[ادموند ونگت]] (Edmund Wingate) از فرانسه، زو فنگزوئو (Xue Fengzuo) از [[چین]] و… مفهوم لگاریتم همه جا فراگیر شد.<ref>{{Citation|last1=Maor|first1=Eli|title=E: The Story of a Number|publisher=[[انتشارات دانشگاه پرینستون|Princeton University Press]]|isbn=978-0-691-14134-3|year=2009}}, section 2</ref>

[[پرونده:1 over x integral.svg|هذلولی {{nowrap|''y'' {{=}} ۱/''x''}} (منحنی قرمز) و سطح زیر آن از ''x'' = ۱ تا ۶ (قسمت نارنجی رنگ).|بندانگشتی]]
در سال ۱۶۴۷ [[گرگوآر دو سن-ونسان]] توانست مفهوم لگاریتم را با یک چهارم [[هذلولی]] مرتبط کند، با فرض آنکه سطح <math>f(t)</math> زیر منحنی هذلولی به ازای ۱ = x تا t در رابطهٔ زیر صدق می‌کند:
{{چپ‌چین}}
:<math>f(tu) = f(t) + f(u). \,</math>
{{پایان چپ‌چین}}
لگاریتم طبیعی اولین بار از سوی [[نیکولاس مرکاتور]] در مقالهٔ ''Logarithmotechnia'' که در سال ۱۶۶۸ منتشر کرد، توضیح داده شد.<ref>{{Citation|author1=J. J. O'Connor|author2=E. F. Robertson |url=http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/HistTopics/e.html |title=The number e |publisher=The MacTutor History of Mathematics archive |date=2001-09 |accessdate=02/02/2009}}</ref> البته پیش از او جان اسپیدل که یک معلم ریاضی بود در سال ۱۶۱۹ جدولی از لگاریتم طبیعی را گردآوری کرده بود.<ref>{{Citation|last=Cajori |first=Florian |authorlink=Florian Cajori |title=A History of Mathematics|edition=5th|location=Providence, RI|publisher=AMS Bookstore |year=1991 |isbn=978-0-8218-2102-2|url=http://books.google.com/?id=mGJRjIC9fZgC&printsec=frontcover#v=onepage&q=speidell&f=false}}, p. 152</ref> در حدود سال ۱۷۳۰ [[لئونارد اویلر]] تابع نمایی و لگاریتم طبیعی را به گونهٔ زیر تعریف کرد:
{{چپ‌چین}}
:<math>e^x = \lim_{n \rightarrow \infty} (1+x/n)^n,</math>
:<math>\ln(x) = \lim_{n \rightarrow \infty} n(x^{1/n} - 1).</math>
{{پایان چپ‌چین}}
همچنین اویلر نشان داد که این دو تابع وارون یکدیگرند.<ref name="ReferenceA">{{Harvard citations
 |last1=Maor |year=2009 |nb=yes |loc=sections 1, 13}}</ref><ref>{{Citation |last1=Eves |first1=Howard Whitley |author1-link=Howard Eves |title=An introduction to the history of mathematics |publisher=Saunders |location=Philadelphia |edition=6th |series=The Saunders series |isbn=978-0-03-029558-4 |year=1992}}, section 9-3</ref><ref>{{Citation | last1=Boyer | first1=Carl B. | author1-link=Carl Benjamin Boyer | title=A History of Mathematics | publisher=[[جان وایلی و پسران|John Wiley & Sons]] | location=New York | isbn=978-0-471-54397-8 | year=1991}}, p. 484, 489</ref>

=== جدول لگاریتم، خط‌کش لغزان و کاربردها در گذشته ===
[[پرونده:Logarithms Britannica 1797.png|بندانگشتی|360px|متن سال ۱۷۹۷ [[دانشنامه بریتانیکا|دانشنامهٔ بریتانیکا]] در بارهٔ لگاریتم.]]
با ساده‌سازی محاسبات پیچیده، از لگاریتم می‌توان در دانش پیشرفته مانند [[اخترشناسی]]، [[نقشه‌برداری]]، هوانوردی و… کمک گرفت. [[پیر لاپلاس|پیر سیمون لاپلاس]] دربارهٔ لگاریتم گفته‌است:
{{نقل قول|وسیله‌ای ستودنی است که به کمک آن کار چند ماه به چند روز کاهش می‌یابد، عمر اخترشناسان را دو برابر می‌کند و از خطاهای کوچک می‌گذرد و از جمله‌های طولانی و جدانشدنی ریاضی بیزار است.}}<ref>{{Citation |last1=Bryant |first1=Walter W. |title=A History of Astronomy |url=http://www.forgottenbooks.org/ebooks/A_History_of_Astronomy_-_9781440057922.pdf |publisher=Methuen & Co |location=London |accessdate=22 اوت 2011 |archiveurl=https://web.archive.org/web/20111005190303/http://www.forgottenbooks.org/ebooks/A_History_of_Astronomy_-_9781440057922.pdf |archivedate=5 اکتبر 2011 |dead-url=yes}}, p. ۴۴</ref>

وسیلهٔ کلیدی که پیش از در دسترس قرار گرفتن [[ماشین حساب]] و رایانه برای محاسبهٔ لگاریتم از آن استفاده می‌شد و بوسیلهٔ آن بود که ارزش لگاریتم روشن شد، ''جدول لگاریتم'' بود.<ref>{{Citation | last1=Campbell-Kelly | first1=Martin | title=The history of mathematical tables: from Sumer to spreadsheets | publisher=[[انتشارات دانشگاه آکسفورد|Oxford University Press]] | series=Oxford scholarship online | isbn=978-0-19-850841-0 | year=2003}}, section 2</ref> چنین جدولی برای اولین بار بوسیلهٔ [[هنری بریگز]] در سال ۱۶۱۷ بلافاصله پس از ابتکار نپر ایجاد شد. پس از آن جدول‌های وسیع تر و دقیق تری نوشته شد. در این جدول‌ها مقدار <math>\log_b(x)</math> و <math> b ^x</math> برای هر عدد x در یک بازهٔ مشخص با دقت مشخص و برای پایه‌های مشخص (معمولاً پایهٔ ۱۰) نوشته شده بود. برای نمونه در اولین جدول بریگز، لگاریتم طبیعی اعداد صحیح میان ۱ تا ۱۰۰۰ با دقت ۸ رقم اعشار نوشته شده بود. از آنجایی که تابع <math>b^x</math> وارون <math>\log_b(x)</math> است به آن پادلگاریتم {{به انگلیسی|antilogarithm}} می‌گویند.<ref>{{Citation|editor1-last=Abramowitz|editor1-first=Milton|editor1-link=Milton Abramowitz|editor2-last=Stegun|editor2-first=Irene A.|editor2-link=Irene Stegun|title= Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables |publisher=[[Dover Publications]]|location=New York|isbn=978-0-486-61272-0|edition=10th|year=1972}}, section 4.7. , p. 89</ref> لگاریتم ضرب و تقسیم دو عدد را همیشه به صورت جمع و تفاضل لگاریتم‌های آن‌ها نشان می‌دادند. ضرب و تقسیم عبارت داخل لگاریتم را می‌توان بوسیلهٔ تابع پادلگاریتم یا خود جدول بدست آورد:
{{چپ‌چین}}
:<math> c d = b^{\log_b (c)} \ b^{\log_b (d)} = b^{\log_b (c) + \log_b (d)} \,</math>
{{پایان چپ‌چین}}
و
{{چپ‌چین}}
:<math>\frac c d = c d^{-1} = b^{\log_b (c) - \log_b (d)}. \,</math>
{{پایان چپ‌چین}}
زمانی که رایانه در دسترس نیست، جستجوی جدول‌های لگاریتم و استفاده از جمع و [[تفریق]] لگاریتم‌ها بسیار آسان‌تر از روش‌های ساده‌سازی مانند روش ''Prosthaphaeresis'' است. روش یاد شده بر پایهٔ [[فهرست اتحادهای مثلثاتی|اتحادهای مثلثاتی]] است. شمارش توان‌ها و [[ریشه عدد|ریشه‌های]] اعداد به انجام عمل ضرب و تقسیم و جستجوی جدول به ترتیب زیر کاهش یافته‌است:
{{چپ‌چین}}
:<math>c^d = b^{d \log_b (c)} \,</math>
{{پایان چپ‌چین}}
و
{{چپ‌چین}}
:<math>\sqrt[d]{c} = c^{\frac 1 d} = b^{\frac{1}{d} \log_b (c)}. \,</math>
{{پایان چپ‌چین}}
در بسیاری از جدول‌ها برای محاسبهٔ لگاریتم بخش اعشاری و بخش صحیح را از یکدیگر جدا می‌کردند<ref>{{Citation | last1=Spiegel | first1=Murray R. | last2=Moyer | first2=R.E. | title=Schaum's outline of college algebra | publisher=[[مک‌گرا-هیل]] | location=New York | series=Schaum's outline series | isbn=978-0-07-145227-4 | year=2006}}, p. 264</ref> مانند نمونهٔ زیر:
{{چپ‌چین}}
:<math>\log_{10}(3542) = \log_{10}(10 \times 354.2) = 1 + \log_{10}(354.2) \approx 1 + \log_{10}(354). \, </math>
{{پایان چپ‌چین}}
وسیلهٔ دیگری که برای شمارش لگاریتم کاربرد داشت، [[خط‌کش]] لغزان بود.
[[پرونده:Slide rule example2 with labels.svg|وسط|بندانگشتی|550px|شکل عمومی خط‌کش لغزان، در لبهٔ پایینی به لگاریتم ۲ می‌رسیم و با اضافه کردن فاصله از لبهٔ بالایی، لگاریتم ۳ به حاصل ضرب یعنی لگاریتم ۶ می‌رسیم. این خط‌کش‌ها چنان درجه‌بندی شده‌اند که گویی فاصلهٔ ۱ تا ''x'' ضریبی از لگاریتم ''x'' است. برای نمونه برای لگاریتم ۶، فاصله از لگاریتم ۱ (یعنی صفر) تا ۲ روی لبهٔ پایینی با فاصله از لگاریتم ۱ تا ۳ روی لبهٔ بالایی با هم جمع شد تا فاصله از لگاریتم ۱ تا ۶ را نتیجه دهد.]]
مدت کوتاهی پس از کشف لگاریتم از سوی نپر، [[ادموند گونتر]] خط‌کشی (معیاری) برای بدست آوردن لگاریتم ایجاد کرد که لغزان نبود و به کمک آن می‌شد لگاریتم‌ها را بدست آورد. پس از او [[ویلیام اوترد]] روش پیشرفته‌تری را پیشنهاد کرد که دارای یک جفت لگاریتم‌هایی بود که در دو لبهٔ خط‌کش قرار داده شده بود و با لغزاندن دو لبهٔ خط‌کش می‌شد لگاریتم مورد نظر را به دست آورد. تا سال ۱۹۷۰ این خط‌کش وسیلهٔ محاسبه‌گر مهمی برای مهندسان و دانشمندان بود؛ چون به کمک آن، با دقت کافی و بسیار سریع تر از جدول‌ها، می‌شد لگاریتم عدد را به دست آورد.<ref name="ReferenceA"/>

== ویژگی‌های ریاضی ==
مطالعهٔ بیشتر در بحث لگاریتم نیازمند مطرح کردن مفهوم ''[[تابع]]'' است. یک تابع مانند یک قانون عمل می‌کند که اگر یک عدد ورودی داشته باشد، در مقابل یک خروجی تولید می‌کند.<ref>{{Citation | last1=Devlin | first1=Keith | author1-link=Keith Devlin | title=Sets, functions, and logic: an introduction to abstract mathematics | publisher=Chapman & Hall/CRC | location=Boca Raton, Fla | edition=3rd | series=Chapman & Hall/CRC mathematics | isbn=978-1-58488-449-1 | year=2004}}, or see the references in [[تابع|function]]</ref> مانند تابع توان ''x'' ام عدد حقیقی ''b'' که به صورت زیر نوشته می‌شود:
{{چپ‌چین}}
:<math>f(x) = b^x. \, </math>
{{پایان چپ‌چین}}

=== تابع لگاریتم ===
برای درک تابع لگاریتم باید نشان داد که معادلهٔ زیر:
{{وسط‌چین}}
:<math>b^x = y \,</math>
{{پایان}}
دارای راه حل و جواب یکتای ''x'' است به شرطی که y بزرگتر از صفر باشد و ''b'' بزرگتر از صفر و نامساوی ۱ باشد. برای اثبات این مطلب باید از [[قضیه مقدار میانی|قضیهٔ مقدار میانی]] در [[حساب دیفرانسیل و انتگرال]] استفاده کرد. این قضیه نشان می‌دهد که اگر [[تابع پیوسته]]‌ای دو مقدار ''m'' و ''n'' را تولید کند، هر مقداری میان این دو عدد را نیز به دلیل پیوستگی می‌تواند تولید کند. یک تابع را زمانی پیوسته می‌دانیم که در هیچ نقطه‌ای ار آن «پرش» نداشته باشیم و بدون بلندکردن قلم از روی کاغذ بتوانیم خم آن را بکشیم.
می‌توان نشان داد که در تابع <math>f(x) = b^x \,</math> نیز همین ویژگی وجود دارد، برای هر y> ۰ که میان دو مقدار <math>f (x_0) \,</math> و <math>f (x_1) \,</math> به ازای x<sub>۰</sub> و x<sub>۱</sub> قرار داشته باشد طبق قضیهٔ مقدار میانی می‌توان یک ''x'' پیدا کرد که <math>f(x) = y \,</math> باشد؛ بنابراین برای معادلهٔ <math>y = b^x \,</math> یک جواب پیدا شد که می‌توان گفت تنها جواب این معادله‌است چون تابع f برای b> ۱ اکیداً صعودی و برای b میان ۰ و ۱ اکیداً نزولی است.<ref name=LangIV.2/>

جواب پیدا شده برای این معادله همان لگاریتم ''y'' در پایهٔ ''b'' است.

=== قرینه تابع لگاریتمی ===
اگر قرینه تابع <math>y=log_2 x</math> برابر با <math>y=log_2 {-x}</math> باشد نسبت به محور yها قرینه هم هستند.

اگر قرینه تابع <math>y=log_2 x</math> برابر با <math>y=-log_2 x</math> باشد نسبت به محور xها قرینه هم هستند.

=== تابع وارون ===
[[پرونده:Logarithm inversefunctiontoexp.svg|بندانگشتی|خم تابع لگاریتم (آبی) و خم تابع توانی (قرمز)]]
لگاریتم تابع توانی برای هر عدد ''x'' به صورت زیر نوشته می‌شود:
{{چپ‌چین}}
:<math>\log_b \left (b^x \right) = x \log_b(b) = x.</math>
{{پایان چپ‌چین}}
اگر پایهٔ توان و لگاریتم هر دو ''b'' باشد جواب نهایی رابطهٔ بالا قطعاً خود ''x'' خواهد بود. همچنین اگر عدد مثبت ''y'' را داشته باشیم، رابطهٔ زیر نیز برقرار خواهد بود:
{{چپ‌چین}}
:<math>b^{\log_b(y)} = y</math>
{{پایان چپ‌چین}}
بنابراین در هر دو صورت می‌توان دو تابع توانی و لگاریتم را [[ترکیب تابع|ترکیب کرد]] و دوباره به مقدار اولیه رسید. پس لگاریتم در پایهٔ ''b'' [[تابع معکوس|تابع وارون]] {{nowrap|''f''(''x'') {{=}} ''b''<sup>''x''</sup>}} است.<ref>{{Citation | last1=Stewart | first1=James | title=Single Variable Calculus: Early Transcendentals | publisher=Thomson Brooks/Cole |location=Belmont|isbn=978-0-495-01169-9 | year=2007}}, section 1.6</ref>

دو تابع وارون همواره با یکدیگر ارتباط دارند به این ترتیب که خم‌های آن‌ها قرینهٔ یکدیگر نسبت به خط y = x است (مانند شکل) همچنین در تابع <math>\log_b(x)</math> اگر ''x'' به سمت مثبت بی‌نهایت برود مقدار تابع لگاریتم نیز به ازای ''b> ۱'' به سمت مثبت بی‌نهایت خواهد رفت در این حال می‌گوییم تابع <math>\log_b(x)</math> اکیداً صعودی است. به ازای ''b <۱'' اگر ''x'' به سمت مثبت بی‌نهایت رود، مقدار تابع <math>\log_b(x)</math> به سمت منفی بی‌نهایت می‌رود. وقتی ''x'' به سمت صفر می‌رود مقدار تابع <math>\log_b(x)</math> برای ''b> ۱'' به سمت منفی بی‌نهایت می‌رود و برای ''b <۱'' به سمت مثبت بی‌نهایت می‌رود.

=== مشتق و پادمشتق ===
{{مرتبط|مشتق لگاریتم|مشتق‌گیری لگاریتمی}}
[[پرونده:Logarithm derivative.svg|بندانگشتی|۲۲۰|خم تابع لگاریتم طبیعی (سبز) و خط مماس با آن در نقطهٔ {{nowrap|''x'' {{=}} ۱٫۵}} (سیاه)|alt=A graph of the logarithm function and a line touching it in one point.]]
ویژگی‌های ریاضی یک تابع را می‌توان در تابع وارون آن نیز جستجو کرد.<ref name=LangIII.3>{{Citation|last1=Lang|first1=Serge|author1-link=Serge Lang|title=Undergraduate analysis|publisher=[[اشپرینگر ساینس+بیزینس مدیا|Springer Science+Business Media]]|location=Berlin, New York|edition=2nd|series=Undergraduate Texts in Mathematics|isbn=978-0-387-94841-6|mr=1476913|year=1997}}, section III.3</ref> پس چون {{nowrap begin}}''f''(''x'') = ''b''<sup>''x''</sup>{{nowrap end}} یک تابع پیوسته و مشتق‌پذیر است، می‌توان نتیجه گرفت که <math>log_b(y)</math> نیز همین ویژگی را دارد. یک تابع پیوسته مشتق‌پذیر است اگر هیچ نقطهٔ تیزی (نقطهٔ شکستگی) در آن وجود نداشته باشد. از آنجایی که می‌توان نشان داد که [[مشتق]] <math>f(x)</math> برابر با <math>ln(b)b^x</math> است، با استفاده از ویژگی‌های [[تابع نمایی]] و [[قاعده زنجیری|قاعدهٔ زنجیری]] به این نتیجه می‌رسیم که مشتق <math>log_b(x)</math> برابر است با:<ref name=LangIV.2>{{Harvard citations|last1=Lang|year=1997 |nb=yes|loc=section IV.2}}</ref><ref>{{cite web |work=Wolfram Alpha |title=Calculation of ''d/dx(Log(b,x))'' |publisher=[[ولفرم ریسرچ|Wolfram Research]] |accessdate=15 March 2011 |url=http://www.wolframalpha.com/input/?i=d/dx(Log(b,x)) |archiveurl=https://web.archive.org/web/20110718075346/http://www.wolframalpha.com/input/?i=d/dx(Log(b,x)) |archivedate=18 ژوئیه 2011 |dead-url=yes}}</ref>
{{چپ‌چین}}
:<math>\frac{d}{dx} \log_b(x) = \frac{1}{x\ln(b)}. </math>
{{پایان چپ‌چین}}
که این [[شیب]] [[خط مماس]] در نقطهٔ x بر خم <math>log_b(x)</math> است که برابر است با <math>\frac{1}{xln(b)} </math>. همچنین مشتق <math>ln(x)</math> برابر با <math>\frac{1}{x} </math> است که به این معنی است که پادمشتق <math>\frac{1}{x} </math> همان <math>ln(x) + C</math> است. اگر به جای ''x'' حالت کلی <math>f{x}</math> را در نظر بگیریم، در این حالت خواهیم داشت:
{{چپ‌چین}}
:<math>\frac{d}{dx} \ln(f(x)) = \frac{f'(x)}{f(x)}.</math>
{{پایان چپ‌چین}}
گاهی برای بدست آوردن مشتق تابع'' f'' از <math>ln(f(x))</math> استفاده می‌کنند که به این کار [[مشتق‌گیری لگاریتمی]] می‌گویند.<ref>{{Citation | last1=Kline | first1=Morris | author1-link=Morris Kline | title=Calculus: an intuitive and physical approach | publisher=[[Dover Publications]] | location=New York | series=Dover books on mathematics | isbn=978-0-486-40453-0 | year=1998}}, p. 386</ref> پادمشتق لگاریتم طبیعی <math>ln(x)</math> برابر است با:<ref>{{cite web |work=Wolfram Alpha |title=Calculation of ''Integrate(ln(x))'' |publisher=Wolfram Research |accessdate=15 March 2011 |url=http://www.wolframalpha.com/input/?i=Integrate(ln(x)) |archiveurl=https://web.archive.org/web/20110718075420/http://www.wolframalpha.com/input/?i=Integrate(ln(x)) |archivedate=18 ژوئیه 2011 |dead-url=yes}}</ref>
{{چپ‌چین}}
: <math>\int \ln(x) \,dx = x \ln(x) - x + C.</math>
{{پایان چپ‌چین}}
[[فهرست انتگرال تابع‌های لگاریتمی|رابطه‌های مرتبط]] با دیگر پایه‌های لگاریتم با استفاده از فرمول لگاریتم طبیعی که در بالا گفته شد بدست می‌آید.<ref>{{Harvard citations|editor1-last=Abramowitz|editor2-last=Stegun|year=1972 |nb=yes|loc=p. 69}}</ref>

=== بیان انتگرالی لگاریتم طبیعی ===
لگاریتم طبیعی ''t'' برابر است با [[انتگرال]] <math>\frac{1}{x} dx</math> از ۱ تا ''t'':
{{چپ‌چین}}
:<cite id=integral_naturallog><math>\ln (t) = \int_1^t \frac{1}{x} \, dx.</math></cite>
{{پایان چپ‌چین}}
به عبارت دیگر <math>ln (t)</math> برابر است با سطح میان محور ''x''ها و نمودار تابع <math>\frac{1}{x}</math> از ۱ = x تا <math>x=t</math> (شکل مقابل). این مطلب، از نتایج [[قضیه اساسی حسابان|قضیهٔ اساسی حسابان]] و اینکه مشتق <math>\ln (x)</math>، <math>\frac{1}{x}</math> است، می‌باشد. عبارت سمت راست این رابطه را می‌توان به عنوان تعریفی برای '''لگاریتم طبیعی''' در نظر گرفت. فرمول‌های ضرب و توان لگاریتمی را می‌توان از این تعریف نتیجه گرفت.<ref>{{Citation|last1=Courant|first1=Richard|title=Differential and integral calculus. Vol. I|publisher=[[جان وایلی و پسران|John Wiley & Sons]]|location=New York|series=Wiley Classics Library|isbn=978-0-471-60842-4|mr=1009558|year=1988}}, section III.6</ref> برای نمونه <math>\ln (tu)=\ln(t)+ \ln(u)</math> را می‌توان به صورت زیر نتیجه گرفت:
{{چپ‌چین}}
:<math> \ln(tu) = \int_1^{tu} \frac{1}{x} \, dx \ \stackrel {(1)} = \int_1^{t} \frac{1}{x} \, dx + \int_t^{tu} \frac{1}{x} \, dx \ \stackrel {(2)} = \ln(t) + \int_1^u \frac{1}{w} \, dw = \ln(t) + \ln(u).</math>
{{پایان چپ‌چین}}
بخش نخست تساوی انتگرال را به دو بخش جدا می‌شکند و بخش دوم تساوی، [[تغییر متغیر]] می‌دهد (<math>w = x/t</math>). در نگاره‌ای که در پایین نشان داده شده‌است، سطح زیر منحنی که برابر با انتگرال بالا است به دو ناحیهٔ آبی و زرد تقسیم شده‌است. در قسمت آبی همان‌طور که خم در جهت ''x'' کشیده شده (''t'' برابر شده) به همان اندازه هم در جهت عمودی دچار جمع شدگی شده‌است بنابراین سطح زیر منحنی سمت راست که انتگرال ''f''(''x'') = ۱/''x'' از ۱ تا ''u'' است با سطح زیر آن از ''t'' تا ''tu'' برابر است. پس روی شکل سمت چپ نشان داده شد که <math>\ln(tu)</math> یا سطح زیر منحنی برابر است با مجموع <math>\ln(t)</math> و <math>\ln(u)</math> (سطح زرد و آبی)

[[پرونده:Natural logarithm product formula proven geometrically.svg|بندانگشتی|وسط|500px|اثبات نموداری رابطهٔ ضرب در لگاریتم طبیعی.]]

رابطهٔ توان <math>\ln(t^r)=r \ln(t)</math> را نیز به همین ترتیب می‌توان اثبات کرد:
{{چپ‌چین}}
:<math>
\ln(t^r) = \int_1^{t^r} \frac{1}{x}dx = \int_1^t \frac{1}{w^r} \left(rw^{r - 1} \, dw\right) = r \int_1^t \frac{1}{w} \, dw = r \ln(t).
</math>
{{پایان چپ‌چین}}
در تساوی دوم تغییر متغیر <math>w=x^{\frac {1}{r}}</math> را داریم.

مجموع وارون‌های اعداد طبیعی:
{{چپ‌چین}}
:<math>1 + \frac 1 2 + \frac 1 3 + \cdots + \frac 1 n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k},</math>
{{پایان چپ‌چین}}
که [[سری هارمونی]] نام دارد، به لگاریتم طبیعی بسیار نزدیک است: هرگاه ''n'' به سمت [[بی‌نهایت (ریاضی)|بی‌نهایت]] برود، تفاضل زیر:
{{چپ‌چین}}
:<math>\sum_{k=1}^n \frac{1}{k} - \ln(n),</math>
{{پایان چپ‌چین}}
به عددی معروف به [[ثابت اویلر-مسکرونی]]، همگرا می‌شود. این ارتباط در تحلیل عملکرد الگوریتم‌هایی مانند [[مرتب‌سازی سریع]] کمک می‌کند.<ref>{{Citation|last1=Havil|first1=Julian|title=Gamma: Exploring Euler's Constant|publisher=[[انتشارات دانشگاه پرینستون|Princeton University Press]]|isbn=978-0-691-09983-5|year=2003}}, sections 11.5 and 13.8</ref>

== محاسبه ==
در بعضی موارد مانند ۳ = (۱۰۰۰) log<sub>۱۰</sub> محاسبهٔ لگاریتم بسیار آسان است. در حالت کلی لگاریتم را به کمک [[سری‌های توانی]] یا [[ابزار محاسباتی-هندسی|ابزارهای محاسباتی-هندسی]] یا به کمک بازیابی [[لگاریتم اعشاری|جدول لگاریتم]] که پیش از این محاسبه شده و دقت کافی دارد، محاسبه می‌کنند.<ref>{{Citation | last1=Muller | first1=Jean-Michel | title=Elementary functions | publisher=Birkhäuser Boston | location=Boston, MA | edition=2nd | isbn=978-0-8176-4372-0 | year=2006}}, sections 4.2.2 (p. 72) and 5.5.2 (p. 95)</ref><ref>{{Citation|author=Hart, Cheney, Lawson et al.|year=1968|publisher=John Wiley|location=New York|title=Computer Approximations|series=SIAM Series in Applied Mathematics}}, section 6.3, p. 105–111</ref> همچنین برای محاسبهٔ <math>lb(x)</math> می‌توان از [[الگوریتم لگاریتم‌های دودویی]] که به صورت [[بازگشتی]] و بر پایهٔ مربع‌های پشت هم از ''x''
عمل می‌کند استفاده کرد:
{{چپ‌چین}}
:<math>\log_2(x^2) = 2 \log_2 (x). \,</math>
{{پایان چپ‌چین}}
روش تقریبی [[روش نیوتن|نیوتن]] که یک روش تکرار شونده برای حل تقریبی معادلات است، می‌تواند برای بدست آوردن مقدار لگاریتم مفید باشد؛ چون تابع وارون لگاریتم، تابع نمایی با تقریب خوبی قابل محاسبه‌است.<ref>{{Citation|last1=Zhang|first1=M.|last2=Delgado-Frias|first2=J.G.|last3=Vassiliadis|first3=S.|title=Table driven Newton scheme for high precision logarithm generation|url=http://ce.et.tudelft.nl/publicationfiles/363_195_00326783.pdf|doi=10.1049/ip-cdt:19941268|journal=IEE Proceedings Computers & Digital Techniques|issn=1350-387|volume=141|year=1994|issue=5|pages=281–292|accessdate=2 سپتامبر 2011|archiveurl=https://web.archive.org/web/20120509081116/http://ce.et.tudelft.nl/publicationfiles/363_195_00326783.pdf|archivedate=9 مه 2012|dead-url=yes}}, section 1 for an overview</ref> در صورتی که تنها ابزار در دسترس ابزار جمع و [[دستگاه اعداد دودویی|اعداد پایهٔ دو]] باشد، می‌توان با جستجو در میان جدول '''[[CORDIC]]''' یا «روش رقم به رقم» روش‌های مناسبی برای محاسبهٔ لگاریتم پیدا کرد.<ref>{{Citation |url= |first=J. E.|last=Meggitt|title=Pseudo Division and Pseudo Multiplication Processes|journal=IBM Journal|month=April|year=1962|doi=10٫1147/rd.62٫0210}}</ref><ref>{{Citation |last=Kahan |first=W. |authorlink= William Kahan |title=Psuedo-Division Algorithms for Floating-Point Logarithms and Exponentials |date= May 20, 2001 |publisher= |journal= |doi=}}</ref>

<!-- متنی که ترجمه نشده‌است -->
<!-- From a theoretical point of view, the [[Gelfond–Schneider theorem]] asserts that logarithms usually take "difficult" values. The formal statement relies on the notion of [[algebraic number]]s, which includes all [[rational number]]s, but also numbers such as the [[square root of 2]] or
:<math>\sqrt{-5+\sqrt[3]{3 / 13}}.</math>
[[Complex number]]s that are not algebraic are called [[transcendental number|transcendental]];<ref>{{citation|title=Selected papers on number theory and algebraic geometry|volume=172|first1=Katsumi|last1=Nomizu|location=Providence, RI|publisher=AMS Bookstore|year=1996|isbn=978-0-8218-0445-2|page=21|url=http://books.google.com/books?id=uDDxdu0lrWAC&pg=PA21}}</ref> for example, π and ''e'' are such numbers. [[Almost all]] complex numbers are transcendental. Using these notions, the Gelfond–Scheider theorem states that given two algebraic numbers ''a'' and ''b'', log<sub>''b''</sub>(''a'') is either a transcendental number or a rational number ''p'' / ''q'' (in which case ''a''<sup>''q''</sup> = ''b''<sup>''p''</sup>, so ''a'' and ''b'' were closely related to begin with).<ref>{{Citation|last1=Baker|first1=Alan|author1-link=Alan Baker (mathematician)|title=Transcendental number theory|publisher=[[Cambridge University Press]]|isbn=978-0-521-20461-3|year=1975}}, p. 10</ref>
 -->

=== سری‌های توانی ===
==== سری تیلور ====
[[پرونده:Taylor approximation of natural logarithm.gif|بندانگشتی|سری تیلور. این پویانمایی مقدار سری تیلور را به ازای ۱۰ جملهٔ اول سپس جمله‌های ۹۹ و ۱۰۰ نشان داده‌است.]]
برای هر عدد حقیقی ''z'' که میان کوچکتر از ۲ و بزرگتر از صفر است رابطهٔ زیر برقرار است:<ref group="nb">The same series holds the principal value of the complex logarithm for complex numbers ''z'' satisfying <nowiki>|</nowiki>''z'' − ۱<nowiki>|</nowiki> <1.</ref><ref name=AbramowitzStegunp.68>{{Harvard citations|editor1-last=Abramowitz|editor2-last=Stegun|year=1972 |nb=yes|loc=p. 68}}</ref>
{{چپ‌چین}}
:<math>
\ln (z)  = (z-1) - \frac{(z-1)^2}{2} + \frac{(z-1)^3}{3} - \frac{(z-1)^4}{4} + \cdots
</math>
{{پایان چپ‌چین}}
با استفاده از روابط زیر <math>\ln (z)</math> را می‌توان دقیق‌تر بدست آورد:
{{چپ‌چین}}
:<math>
\begin{array}{lllll}
(z-1) & & \\
(z-1) & - & \frac{(z-1)^2}{2} & \\
(z-1) & - & \frac{(z-1)^2}{2} & + & \frac{(z-1)^3}{3} \\
\vdots &
\end{array}
</math>
{{پایان چپ‌چین}}
برای نمونه، تقریب سوم به ازای ''z'' = ۱٫۵ نتیجه برابر با ۰٫۴۱۶۷ خواهد بود که تقریباً ۰٫۱۱ بیشتر از ۰٫۴۰۵۴۶۵ = (۱٫۵) ln است. در حساب دیفرانسیل غیر پیشرفته، <math>\ln (z)</math> را به عنوان [[حد (ریاضی)|حد]] این نوع [[سری (ریاضیات)|سری‌ها]] در نظر می‌گیرند؛ که به آن [[بسط تیلور]] لگاریتم طبیعی به ازای ''z'' = ۱ می‌گویند.

==== دیگر سری‌های پرکاربرد ====
سری دیگر برپایهٔ [[تابع وارون هذلولی|تابع وارون تانژانت هذلولوی]] (وارون تانژانت هیپربولیک) است، این سری برای اعداد مختلط ''z'' با [[قسمت حقیقی|بخش حقیقی]]<ref name=AbramowitzStegunp.68/> مثبت است که به صورت زیر نوشته می‌شود:
{{چپ‌چین}}
:<math>
\ln (z) = 2\cdot\operatorname{artanh}\,\frac{z-1}{z+1} = 2 \left (\frac{z-1}{z+1} + \frac{1}{3}{\left(\frac{z-1}{z+1}\right)}^3 + \frac{1}{5}{\left(\frac{z-1}{z+1}\right)}^5 + \cdots \right),
</math>
{{پایان چپ‌چین}}
با استفاده از مفهوم جمع (سیگما) می‌توان این سری را به گونهٔ دیگری نوشت:
{{چپ‌چین}}
:<math>\ln (z) = 2\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{2n+1}\left(\frac{z-1}{z+1}\right)^{2n+1}.</math>
{{پایان چپ‌چین}}
این سری از سری تیلور که در بالا گفته شد گرفته می‌شود ولی خیلی زودتر از تیلور همگرا می‌شود. به ویژه زمانی که ''z'' عددی نزدیک ۱ باشد. برای نمونه برای ''z'' = ۱٫۵ سه جملهٔ اول سری دوم با خطایی برابر با <sup>۶-</sup>۱۰ × ۳ تقریباً می‌توان گفت تقریباً برابر با (۱٫۵)ln است. اینکه به ازای ''z''های نزدیک به ۱ سری زودتر همگرا می‌شود را می‌توان به کمک رابطهٔ زیر نشان داد:

فرض کنید ''تقریباً'' <math>y \approx \ln{z}</math> و رابطهٔ زیر را نیز داریم:
{{چپ‌چین}}
:<math>A = \frac z{\exp(y)}, \,</math>
{{پایان چپ‌چین}} می‌توان از دو سوی رابطهٔ بالا لگاریتم گرفت:
{{چپ‌چین}}
:<math>\ln (z)=y+\ln (A) \,</math>
{{پایان چپ‌چین}}
هرچه مقدار لگاریتم ''z'' دقیق‌تر باشد باید <math>\ln (A)</math> به صفر نزدیک تر باشد در نتیجه A به ۱ نزدیک‌تر است. مقدار ''A'' به کمک سری‌های [[تابع نمایی|نمایی]] محاسبه می‌شود که این سری‌ها، اگر ''y'' بزرگ نباشد، خیلی زود همگرا می‌گردند.

برای آسان‌تر کردن محاسبهٔ <math>\ln (z)</math> می‌توان آن را به مقدارهای کوچکتر خُرد کرد به این ترتیب که بگوییم a × 10<sup>b</sup> = z و لگاریتم آن را به صورت <math>\ln (z) = \ln (a) + b. \ln (10)</math> بنویسیم.

از روش مشابهی می‌توان استفاده کرد تا به کمک آن لگاریتم اعداد صحیح را بدست آورد:
{{چپ‌چین}}
:<math>\ln (n+1) = \ln(n) + 2\sum_{k=0}^\infty\frac{1}{2k+1}\left(\frac{1}{2 n+1}\right)^{2k+1}.</math>
{{پایان چپ‌چین}}
اگر لگاریتم عدد بزرگ ''n'' معلوم باشد، می‌توان لگاریتم ''n'' + ۱ را با همگرایی سریع سری بالا بدست آورد.

=== میانگین حسابی-هندسی ===
با کمک [[میانگین حسابی-هندسی]] می‌توان با دقت خوبی لگاریتم طبیعی عددی مانند ''x'' را بدست آورد. میزان تقریب آن برابر با <math>2^{-p}</math> است. این رابطه از سوی [[ریاضی‌دان|ریاضیدان]] آلمانی [[کارل فریدریش گاوس]] پیشنهاد شد.<ref>{{Citation |first1=T. |last1=Sasaki |first2=Y. |last2=Kanada |title=Practically fast multiple-precision evaluation of log(x) |journal=Journal of Information Processing |volume=5|issue=4 |pages=247–250 |year=1982 | url=http://ci.nii.ac.jp/naid/110002673332 | accessdate=30 March 2011}}</ref><ref>{{Citation |first1=Timm |last1=Ahrendt|title=Fast computations of the exponential function|publisher=Springer|location=Berlin, New York|series=Lecture notes in computer science|doi=10.1007/3-540-49116-3_28|volume=1564|year=1999|pages=302–312}}</ref>
{{چپ‌چین}}
:<math>\ln (x) \approx \frac{\pi}{2 M(1,2^{2-m}/x)} - m \ln (2).</math>
{{پایان چپ‌چین}}
در اینجا ''M'' نماد میانگین حسابی-هندسی است که از تکرار محاسبهٔ [[میانگین حسابی]] و ریشهٔ دوم ضرب دو عدد ([[میانگین هندسی]]) بدست می‌آید. همچنین ''m'' از راه انتخابی مانند زیر بدست می‌آید:
{{چپ‌چین}}
:<math>x \,2^m> 2^{p/2}. \, </math>
{{پایان چپ‌چین}}
هم میانگین حسابی-هندسی و هم ثابت‌های π و (۲)ln به کمک سری‌هایی که زود همگرا می‌شوند قابل محاسبه‌اند.

== کاربرد ==
[[پرونده:NautilusCutawayLogarithmicSpiral.jpg|بندانگشتی|چپ|یک مارپیچ لگاریتمی در پوستهٔ بدن [[ناتیلوس (آبزی)|آبزی ناتیلوس]].]]
مفهوم لگاریتم کاربردهای زیادی در بیرون و درون دنیای ریاضی دارد. برخی از پیشامدهای لگاریتم در طبیعت، بیشتر به مفهوم [[نامتغیر مقیاس]] مرتبط است. برای نمونه هر خانهٔ پوستهٔ بدن [[ناتیلوس (آبزی)|آبزی ناتیلوس]] تقریباً رونوشتی از خانهٔ کناری آن است که با یک ضریب ثابت مقیاس یافته‌است و یک [[مارپیچ لگاریتمی]] را ساخته‌است.<ref>{{Harvard citations
 |last1=Maor
 |year=۲۰۰۹
 |nb=yes
 |loc=p. 135
}}</ref> [[قانون بنفورد]] در توزیع شمارگان (رقم‌ها) را هم می‌توان با مفهوم [[نامتغیر مقیاس]] توضیح داد.<ref>{{Citation | last1=Frey | first1=Bruce | title=Statistics hacks | publisher=[[O'Reilly Media|O'Reilly]]|location=Sebastopol, CA| series=Hacks Series |url=http://books.google.com/?id=HOPyiNb9UqwC&pg=PA275&dq=statistics+hacks+benfords+law#v=onepage&q&f=false| isbn=978-0-596-10164-0 | year=2006}}, chapter 6, section 64</ref> همچنین مفهوم لگاریتم به بحث [[خودهمانند]]ی هم مرتبط است. برای نمونه پردازش لگاریتمی کمک می‌کند تا برای حل یک مسئله، نخست آن را به دو مسئلهٔ همانند کوچکتر بخش کنیم سپس جواب دو بخش را به هم پیوند دهیم.<ref>{{Citation | last1=Ricciardi | first1=Luigi M. | title=Lectures in applied mathematics and informatics | url=http://books.google.de/books?id=Cw4NAQAAIAAJ | publisher=Manchester University Press | location=Manchester | isbn=978-0-7190-2671-3 | year=1990}}, p. 21, section 1.3.2</ref> شکل‌های هندسی خودهمانند که در آن‌ها بخش‌هایی از شکل متناسب با سراسر آن است هم به لگاریتم وابسته‌اند. [[مقیاس لگاریتمی]] مقیاسی بسیار پرکاربردی برای بررسی کمّی تغییرات پدید آمده در مقدار اصلی است. افزون بر این چون تابع {{عبارت چپچین|log(x)}} رشد بسیار کندی دارد به ویژه برای ''x''های بزرگ می‌توان داده‌های علمی در بازه‌های بزرگ را به خوبی فشرده کرد. همچنین پیش می‌آید که در بسیاری از فرمول‌های علمی مانند [[معادله فنسک|معادلهٔ فنسک]]، [[معادله نرنست|معادلهٔ نرنست]] و… از ویژگی‌های لگاریتم بهره برد.

=== مقیاس لگاریتمی ===
{{نوشتار اصلی|مقیاس لگاریتمی}}
کمیت‌های علمی بیشتر به صورت لگاریتم کمیت‌های دیگر ارائه می‌شوند به عبارت دیگر برای نشان دادن آن‌ها از ''مقیاس لگاریتمی'' بهره برده می‌شود، برای نمونه [[دسی‌بل]] چنین است. برای نشان دادن تراز توان صداها در [[صداشناسی]]<ref>{{Citation|last1=Maling|first1=George C.|editor1-last=Rossing|editor1-first=Thomas D.|title=Springer handbook of acoustics|publisher=[[اشپرینگر ساینس+بیزینس مدیا|Springer Science+Business Media]]|location=Berlin, New York|isbn=978-0-387-30446-5|year=2007|chapter=Noise}}, section 23.0.2</ref> یا جذب نور در میدان طیف‌سنجی و [[نورشناسی]] یا در بیان [[نسبت سیگنال به نویز]] و توضیح میزان صداهای نامطلوب به [[سیگنال (مهندسی برق)|سیگنال‌های]] بامعنی به دسی‌بل نیاز است.<ref>{{Citation | last1=Tashev | first1=Ivan Jelev | title=Sound Capture and Processing: Practical Approaches | publisher=[[جان وایلی و پسران|John Wiley & Sons]] | location=New York | isbn=978-0-470-31983-3 | year=2009|url=http://books.google.com/books?id=plll9smnbOIC&pg=PA48#v=onepage&f=false}}, p. 48</ref> همانند آنچه گفته شد، نسبت سیگنال بالایی به نویز برای ارزیابی کیفیت صدا یا [[فشرده‌سازی تصویر]] بسیار کاربرد دارد که در آن هم از لگاریتم بهره برده می‌شود.<ref>{{Citation | last1=Chui | first1=C.K. | title=Wavelets: a mathematical tool for signal processing | publisher=[[Society for Industrial and Applied Mathematics]] | location=Philadelphia | series=SIAM monographs on mathematical modeling and computation | isbn=978-0-89871-384-8 | year=1997|url=http://books.google.com/books?id=N06Gu433PawC&pg=PA180#v=onepage&f=false}}, p. 180</ref>

لگاریتم با مفهوم [[ارتفاع (موسیقی)|ارتفاع]] و [[فاصله (موسیقی)|فاصله]] در موسیقی هم مرتبط است. در سامانهٔ ارتفاع‌هایی که همهٔ جفت نت‌ها، نسبت [[بسامد]] برابر دارند، نسبت بسامد تنها به فاصلهٔ میان دو ارتفاع بستگی دارد و نه به آن بسامد ویژه یا ارتفاع هر یک عدد نت. برای نمونه: [[لا (نت موسیقی)|نت لا]] بسامد ۴۴۰ [[هرتز]]ی دارد و نت سی بمل نیز دارای  بسامد ۴۶۶ هرتز است.

فاصله میان این دو نت یک نیم ارتفاع نام دارد. همچنان که میان نت سی بمل و [[سی (نت موسیقی)|نت سی]] با بسامد ۴۹۳ هرتز هم همین‌طور است. برپایهٔ آنچه گفته شد نسبت این بسامدها به صورت زیر است:
:<math>\frac{466}{440} \approx \frac{493}{466} \approx 1.059 \approx \sqrt[12]2.</math>
از این رو می‌توان از لگاریتم برای توضیح فاصله‌ها بهره برد: یک فاصله در نیم-ارتفاع با گرفتن لگاریتم نسبت بسامد در پایهٔ {{عبارت چپچین|۲<sup>۱/۱۲</sup>}} یا در پایهٔ ۲<sup>۱/۱۲۰۰</sup> اندازه‌گیری می‌شود. پایه دوم برای توصیف دقیق‌تر به کار می‌رود چرا که از آن برای temperamentهای نامساوی بهره گرفته می‌شود.<ref>{{Citation|last1=Wright|first1=David|title=Mathematics and music|location=Providence, RI|publisher=AMS Bookstore|isbn=978-0-8218-4873-9|year=2009}}, chapter 5</ref>

{| class="wikitable" style="text-align:center; margin:1em auto 1em auto;"
|-
||'''فاصله'''{{سخ}}(دو ارتفاعی که هم‌زمان نواخته می‌شوند)
||[[۷۲ tone equal temperament|ارتفاع ۱/۱۲]] {{audio|1_step_in_72-et_on_C.mid|اجرا}}
||نیم-ارتفاع {{audio|help=no|Minor_second_on_C.mid|اجرا}}
||[[سوم بزرگ|سوم بزرگ میانه]] {{audio|help=no|Just_major_third_on_C.mid|اجرا}}
||[[سوم بزرگ]] {{audio|help=no|Major_third_on_C.mid|اجرا}}
||[[ارتفاع سگان]] {{audio|help=no|Tritone_on_C.mid|اجرا}}
||[[هشتگان]] {{audio|help=no|Perfect_octave_on_C.mid|اجرا}}
|-
|| '''نسبت بسامد''' ''r''
|| <math>2^{\frac 1 {72}} \approx 1.0097</math>
|| <math>2^{\frac 1 {12}} \approx 1.0595</math>
|| <math>\tfrac 5 4 = 1.25</math>
|| <math>\begin{align} 2^{\frac 4 {12}} & = \sqrt[3] 2 \\ & \approx 1.2599 \end{align} </math>
|| <math>\begin{align} 2^{\frac 6 {12}} & = \sqrt 2 \\ & \approx 1.4142 \end{align} </math>
|| <math> 2^{\frac {12} {12}} = 2 </math>
|-
|| '''شمارهٔ نیم-ارتفاع‌های متناظر'''{{سخ}}<math>\log_{\sqrt[12] 2}(r) = 12 \log_2 (r)</math>
|| <math>\tfrac 1 6 \,</math>
|| <math>1 \,</math>
|| <math>\approx 3.8631 \,</math>
|| <math>4 \,</math>
|| <math>6 \,</math>
|| <math>12 \,</math>
|-
|| '''تعداد سنت‌های مرتبط'''{{سخ}}<math>\log_{\sqrt[1200] 2}(r) = 1200 \log_2 (r)</math>
|| <math>16 \tfrac 2 3 \,</math>
|| <math>100 \,</math>
|| <math>\approx 386.31 \,</math>
|| <math>400 \,</math>
|| <math>600 \,</math>
|| <math>1200 \,</math>
|}

=== نظریهٔ اعداد ===
لگاریتم طبیعی ارتباط نزدیکی با شمارش [[اعداد اول]] دارد. این مطلب موضوعی مهم در [[نظریه اعداد|نظریهٔ اعداد]] است. برای هر [[اعداد صحیح|عدد صحیح]] ''x'' شمار [[عدد اول|عددهای اول]] کوچکتر یا مساوی ''x'' را با {{عبارت چپچین|π(x)}} نمایش می‌دهند. [[نظریه اعداد اول|نظریهٔ اعداد اول]] می‌گوید که {{عبارت چپچین|π(x)}} تقریباً برابر است با:
:<math>\frac{x}{\ln(x)},</math>
با در نظر گرفتن این مطلب که برای ''x''هایی که به بی‌نهایت می‌رود نسبت {{عبارت چپچین|π(x)}} به کسر بالایی به یک نزدیک می‌شود.<ref>{{Citation|last1=Bateman|first1=P. T.|last2=Diamond|first2=Harold G.|title=Analytic number theory: an introductory course|publisher=[[World Scientific]]|location=New Jersey|isbn=978-981-256-080-3 |oclc=492669517|year=2004}}, theorem 4.1</ref> از این مطلب می‌توان نتیجه گرفت که احتمال اول بودن یک عدد دلخواه میان یک و ''x'' با وارون تعداد رقم‌های دهدهی ''x'' متناسب است. یک برآورد خیلی بهتر {{عبارت چپچین|π(x)}} با کمک انتگرال لگاریتمی زیر بدست می‌آید:
:<math> \mathrm{Li}(x) = \int_2^x \frac1{\ln(t)} \,dt. </math>
[[حدس ریمان]] یکی از کهن‌ترین [[حدس]]های ریاضی است که در مقایسهٔ {{عبارت چپچین|π(x)}} و {{عبارت چپچین|Li(x)}} کاربرد دارد.<ref>{{Harvard citations|last1=Bateman|first1=P. T.|last2=Diamond|year=۲۰۰۴|nb=yes |loc=Theorem 8.15}}</ref> [[نظریه اردوش-کاک|نظریهٔ اردوش-کاک]] به توضیح شمار عامل‌های اول می‌پردازد که در آن از مفهوم لگاریتم طبیعی کمک گرفته شده‌است.

لگاریتم ''n'' [[فاکتوریل]]، ''n''! = ۱ · ۲ ·... · ''n'' چنین است:
:<math> \ln (n!) = \ln (1) + \ln (2) + \cdots + \ln (n). \,</math>
از این برای بدست آوردن [[تقریب استرلینگ]]، یک تقریب {{عبارت چپچین|''n''!}} برای ''n''های بزرگ، استفاده می‌شود.<ref>{{Citation|last1=Slomson|first1=Alan B.|title=An introduction to combinatorics|publisher=[[انتشارات سی‌آرسی|CRC Press]]|location=London|isbn=978-0-412-35370-3|year=1991}}, chapter 4</ref>

== حالت کلی ==
[[پرونده:Complex number illustration multiple arguments.svg|بندانگشتی|شکل قطبی {{nowrap|''z {{=}} x + iy''}}. هم φ هم {{عبارت چپچین|φ'}} هر دو به ''z'' مربوط می‌شوند.]]
[[عدد مختلط]] ''a'' جواب معادلهٔ زیر، یک ''لگاریتم مختلط'' است.
:<math>e^a=z \,</math>
''z'' عددی مختلط است. یک عدد مختلط را به صورت ''z = x + iy'' نمایش می‌دهیم که ''x'' و ''y'' هر دو عددی حقیقی و ''i'' [[یکه موهومی|یکهٔ موهومی]] است. چنین عددی را می‌توان با یک نقطه بر روی [[صفحه مختلط|صفحهٔ مختلط]] نمایش داد (مانند روبرو). فرم قطبی نمایش دهندهٔ عدد ناصفر مختلط ''z'' است که [[قدر مطلق (ریاضی)|قدر مطلق]] آن برابر است با فاصلهٔ ''r'' تا مبدأ مختصات و زاویهٔ میان خط گذرا از ''z'' و مبدأ با محور ''x'' زاویهٔ مربوط به این عدد مختلط است. قدر مطلق ''z'' همان ''r'' است که برابر است با:
:<math>r=\sqrt{x^2+y^2}. \,</math>

چون φ' = φ + ۲π پس هم φ و هم 'φ هر دو زاویهٔ مربوط به ''z''اند. تنها یک φ است که در رابطهٔ {{nowrap|−π <φ}} صدق می‌کند که به آن آرگومان اصلی گفته می‌شود و به صورت {{عبارت چپچین|Arg(z)}} نمایش داده می‌شود.<ref>{{Citation|last1=Ganguly|location=Kolkata|first1=S.|title=Elements of Complex Analysis|publisher=Academic Publishers|isbn=978-81-87504-86-3|year=2005}}, Definition 1.6.3</ref> گاهی هم به صورت {{nowrap|۰ ≤ Arg(''z'') <2π}} تعریف می‌شود.<ref>{{Citation|last1=Nevanlinna|first1=Rolf Herman|author1-link=Rolf Nevanlinna|last2=Paatero|first2=Veikko|title=Introduction to complex analysis|location=Providence, RI|publisher=AMS Bookstore|isbn=978-0-8218-4399-4|year=2007}}, section 5.9</ref>

با بهره‌گیری از [[تابع‌های مثلثاتی]] سینوس و کسینوس یا [[فرمول اولر|شکل نمایی اعداد مختلط]] به ترتیب به رابطه‌های زیر می‌رسیم، ''r'' و φ را بالاتر تعریف کردیم:<ref>{{Citation|last1=Moore|first1=Theral Orvis|last2=Hadlock|first2=Edwin H.|title=Complex analysis|publisher=[[World Scientific]]|location=Singapore|isbn=978-981-02-0246-0|year=1991}}, section 1.2</ref>

:<math>\begin{array}{lll}z& = & r \left (\cos \varphi + i \sin \varphi\right) \\
& = & r e^{i \varphi}.
\end{array} \,
</math>
در آغاز معادله‌ای را بیان کردیم که در آن توان ''a'' ام ''e'' برابر با ''z'' می‌شد. با توجه به آنچه گفته شد، مقدار ''a'' برابر خواهد بود با:
:<math>a = \ln (r) + i (\varphi + 2 n \pi), \,</math>
در این رابطه، ''n'' هر [[عدد صحیح]]ی می‌تواند باشد.

== در آموزش و پرورش ایران ==
در [[آموزش در ایران|نظام آموزش و پرورش]] جدید که به کاربردی سازی محتوای دروس توجه دارد، لگاریتم در پایه یازدهم کتاب حسابان ۱ مطرح می شود.

== جستارهای وابسته ==

* [[رئوس مطالب لگاریتم]]

== یادداشت‌ها ==
{{پانویس|گروه=nb|۳۰em|۲}}

== پانویس ==
{{پانویس|۲|چپ‌چین=بله}}

== منابع ==
* {{یادکرد کتاب | نام خانوادگی =ایوز | نام =هاوارد و. | پیوند نویسنده = | عنوان =آشنایی با تاریخ ریاضیات | ترجمه =محمدقاسم وحیدی اصل | جلد =دوم | سال =۱۳۸۱ | ناشر =مرکز نشر دانشگاهی |مکان =تهران | شابک =۹۶۴-۰۱-۰۴۶۱-۲ | صفحه = | پیوند = | تاریخ بازبینی =}}

== پیوند به بیرون ==
* [http://mediasite.oddl.fsu.edu/mediasite/Viewer/?peid=003298f9a02f468c8351c50488d6c479 فیلم‌های آموزشی دربارهٔ لگاریتم] ایجاد شده از سوی کالین بایفلیت (''Colin Byfleet'')، بازبینی در ۱۲ سپتامبر ۲۰۱۱
* [https://web.archive.org/web/20070627125949/http://www.johnnapier.com/table_of_logarithms_001.htm تفسیری بر کار نپر در لگاریتم] ایجاد شده از سوی ادوارد رایت (''Edward Wright'')، بازبینی در ۱۲ سپتامبر ۲۰۱۱
* [https://web.archive.org/web/20131110025347/http://www.hsma.ir/post/95 محاسبه لگاریتم به صورت ذهنی]

{{ویکی‌انبار-رده|Logarithm}}
{{توابع ریاضی}}
{{داده‌های کتابخانه‌ای}}

[[رده:اختراع‌های اسکاتلندی]]
[[رده:توابع ریاضی]]
[[رده:عملیات دوتایی]]
[[رده:لگاریتم‌ها]]