نمایش مبدأ برای قضیه پیک

[[پرونده:Pick-theorem.png|چپ|بندانگشتی|{{Color|red|{{math|''i'' {{=}} 7}}}}, {{Color|green|{{math|''b'' {{=}} ۸}}}}, {{ریاضی|''A'' {{=}} {{color|red|''i''}} + {{sfrac|{{color|green|''b''}}|2}} − ۱ {{=}} ۱۰}}]]
[[پرونده:Coprime-lattice.svg|چپ|بندانگشتی|300x300پیکسل| The triangle with vertices at the lower left, lower right, and upper right points has {{ریاضی|''i'' {{=}} 12}} and {{ریاضی|''b'' {{=}} 14}}, giving by Pick's theorem {{ریاضی|''A'' {{=}} ''i'' + {{sfrac|''b''|2}} − ۱ {{=}} 18}}; this is confirmed by the triangle area formula {{Nowrap|{{sfrac|۱|۲}} × base × height}} = {{Nowrap|{{sfrac|1|2}} × ۹ × ۴}} = ۱۸.]]
چند ضلعی ای را بر روی نقاط صفحهٔ نقطه گذاری شده با فاصلهٔ مساوی می‌سازیم.یا به عبارت دیگر مختصات رئوس چند ضلعی [[عدد صحیح|عددی صحیح]] است.'''قضیهٔ پیک''' فرمولی است که با آن می‌توان مساحت چنین چند ضلعی ای را محاسبه کرد. این فرمول کار محاسبه را راحت می‌کند زیرا مساحت را بر اساس تعداد نقاط داخلی و تقاط روی محیط چند ضلعی می‌دهد.

برای محاسبهٔ مساحت یک چند ضلعی به مساحت {{Mvar|A}} و نقاط داخلی {{Mvar|i}} و نقاط مرزی {{Mvar|b}} (نقاط روی اضلاع یا رئوس) فرمول زیر را داریم:<ref>{{Cite journal|last=Trainin|first=J.|date=November 2007|title=An elementary proof of Pick's theorem|url=https://archive.org/details/sim_mathematical-gazette_2007-11_91_522/page/536|journal=[[Mathematical Gazette]]|volume=91|issue=522|pages=536–540|doi=10.1017/S0025557200182270}}</ref>

: <math>A = i + \frac{b}{2} - 1.</math>

در مثال نشان داده شده هفت نقطه داخل چند ضلعی و هشت نقطه روی محیط آن قرار دارند ({{ریاضی|''i'' {{=}} ۷}} و {{ریاضی|''b'' {{=}} ۸}})پس:

{{Mvar|A}} = 7 + {{Sfrac|۸|۲}} − ۱ = ۷ + ۴ − ۱ = ۱۰

پس مساحت ۱۰ واحد مربع است.

قضیهٔ پیک تنها برای چندضلعی‌های ساده صادق است و برای چند ضلعی‌هایی که خود را قطع می‌کنند یا دارای حفره می‌باشند باید آن‌ها را به چند ضلعی‌های ساده تبدیل کرد و بعد مساحت را حساب کرد زیرا این فرمول مستقیماً روی چند ضلعی‌های غیر ساده درست عمل نمی‌کند.<ref name=":0">{{Cite web|url=https://documents.kenyon.edu/math/GarbettJSenEx2011.pdf|title=Lattice Point Geometry: Pick's Theorem and Minkowski's Theorem, Senior Exercise in Mathematics|last=Garbett|first=Jennifer|date=November 18, 2010|archive-url=https://web.archive.org/web/20170829044759/http://documents.kenyon.edu/math/GarbettJSenEx2011.pdf|archive-date=29 Aug 2017|url-status=}}</ref><ref>{{Cite journal|last=Belyaev|first=Alexander|last2=Fayolle|first2=Pierre-Alain|date=2019-08-08|title=Counting Parallel Segments: New Variants of Pick's Area Theorem|journal=The Mathematical Intelligencer|language=en|volume=41|issue=4|pages=1–7|doi=10.1007/s00283-019-09921-8|issn=0343-6993|doi-access=free}}</ref>

این فرمول اولین بار توسط [[گئورگ الکساندر پیک]] بیان شد. او در سال ۱۸۹۹ این فرمول را بیان کرد.<ref>{{cite journal|last=Pick|first=Georg|year=1899|title=Geometrisches zur Zahlenlehre|url=https://www.biodiversitylibrary.org/item/50207#page/327|journal=Sitzungsberichte des deutschen naturwissenschaftlich-medicinischen Vereines für Böhmen "Lotos" in Prag|series=(Neue Folge)|volume=19|pages=311–319|jfm=33.0216.01}} [http://citebank.org/node/47270 CiteBank:47270]</ref> با کمک [[چهار وجهی ریو]] نشان داده‌اند که قضیهٔ پیک هیچ مشابهی در [[فضای سه‌بعدی|فضای سه بعدی]] ندارد. (فرمولی که با دانستن نقاط داخلی چند وجهی و نقاط روی سطح آن بتوان حجم آن چند وجهی را حساب کرد)

با این وجود [[Ehrhart polynomials]] تعمیمی از قضیهٔ پیک است که به فضاهایی با بعد بیشتر مربوط می‌شود.

== اثبات ==
قضیه را با استفاده از [[استقرا]] اثبات می‌کنیم. چند ضلعی {{mvar|P}} و مثلث {{mvar|T}} را در نظر بگیرید به طوریکه {{mvar|P}} و {{mvar|T}}یک ضلع مشترک داشته باشند؛ و قضیه برای هر دو به تنهایی درست باشد.

می خولهیم نشان دهیم قضیه برای [[چندضلعی]] (که با اضافه کردن {{mvar|T}} به {{mvar|P}} به وجود می‌آید) نیز درست است.

از آنجایی که {{mvar|P}} و {{mvar|T}} یک ضلع مشترک دارند پس نقاط داخلی برابر می‌شود با نقاط داخلی {{mvar|P}} و {{mvar|T}} به اضافهٔ نقاط روی ضلع مشترک منهای دو (که آن دو نقطه نقاط ایتدا و انتهای ضلع مشترک هستند که روی مرز {{mvar|PT}} قرار می‌گیرند) پس:<ref>{{cite book|last1=Beck|first1=Matthias|last2=Robins|first2=Sinai|date=2007|title=Computing the Continuous Discretely: Integer-point enumeration in polyhedra|title-link=Computing the Continuous Discretely|series=[[Undergraduate Texts in Mathematics]]|location=New York|publisher=Springer-Verlag|isbn=978-0-387-29139-0|mr=2271992|at=ch. 2}}</ref>

: <math>i_{PT} = i_P + i_T + (c - 2)</math>

و همین‌طور:

: <math>b_{PT} = b_P + b_T - 2(c - 2) - 2.</math>

با ساده کردن عبارات بالا به نتایج زیر می‌رسیم:

: <math>i_P + i_T = i_{PT} - (c - 2)</math>

و

: <math>b_P + b_T = b_{PT} + 2(c - 2) + 2.</math>

از آنجایی که ما فرض کرده بودیم قضیه برای مثلث {{mvar|T}} و چند ضلعی {{mvar|P}} درست است پس:

: <math>\begin{align}
A_{PT} &= A_P + A_T\\
&= \left(i_P + \frac{b_P}{2} - 1\right) + \left(i_T + \frac{b_T}{2} - 1\right)\\
&= i_P + i_T + \frac{b_P + b_T}{2} - 2\\
&= i_{PT} - (c - 2) + \frac{b_{PT} + 2(c - 2) + 2}{2} - 2\\
&= i_{PT} + \frac{b_{PT}}{2} - 1.
\end{align}</math>

و نتیجه می‌گیریم قضیه برای {{mvar|PT}} نیز برقرار است پس به حکم کلی زیر می‌رسیم:

اگر قضیه برای چندضلعی ساخته شده با {{mvar|n}} مثلث درست باشد برای چند ضلعی ساخته شده با {{math|''n'' + 1}} مثلث نیز درست است؛ و واضح است که هر چند ضلعی را می‌توان به چند مثلث افراز کرد. برای اتمام اثبات استقرایی باید نشان دهیم که قضیه روی هر مثلثی نیز صادق است. این قسمت از اثبات را نیز با مراحل زیر انجام می‌دهیم.
* اثبات می‌کنیم فرمول برای [[مربع واحد]] درست است. (طول و عرض راس‌های مربع باید عدد صحیح باشد)
* سپس اثبات می‌کنیم که فرمول برای هر مستطیل با اضلاع موازی با محورها نیز درست است.
* حالا با نصف کردن مستطیل از قطرش و تبدیل آن به مثلث قائم الزاویه اثبات می‌کنیم که قضیه برای مثلث‌های قائم الزاویه نیز درست است.
* حالا با توجه به این که هر مثلث با شرایط قضیه را می‌توان به چند [[مثلث قائم‌الزاویه|مثلث قائم الزاویه]] تبدیل کرد ثابت می‌کنیم قضیه برای هر مثلثی صادق است.

و بدین ترتیب قضیه اثبات می‌شود.

== جستارهای وابسته ==
* [[Integer points in convex polyhedra]]
* [[Steinhaus longimeter]]
* [[Farey sequence]]

== منابع ==
{{پانویس}}

== پیوند به بیرون ==
* [http://www.cut-the-knot.org/ctk/Pick.shtml Pick's Theorem (Java)] at cut-the-knot
* [https://web.archive.org/web/20150413062040/http://www.mcs.drexel.edu/~crorres/Archimedes/Stomachion/Pick.html Pick's Theorem]
* [http://www.geometer.org/mathcircles/pick.pdf Pick's Theorem proof] by Tom Davis
* [http://demonstrations.wolfram.com/PicksTheorem/ Pick's Theorem] by Ed Pegg, Jr. , the Wolfram Demonstrations Project.
* Weisstein, Eric W. "Pick's Theorem". MathWorld.

[[رده:چندضلعی‌ها]]
[[رده:قضایای هندسه مسطحه]]
[[رده:مساحت]]
[[رده:هندسه تحلیلی]]
[[رده:هندسه دیجیتال]]
[[رده:هندسه مسطحه اقلیدسی]]