نمایش مبدأ برای قضیه مقدار میانگین برای انتگرال‌ها

بنابراین قضیه اگر تابع f بر بازهٔ [a,b] [[تابع پیوسته|پیوسته]] باشد آنگاه حداقل یک مقدار مانند c  متعلق به بازه بسته [a,b] وجود دارد که:
<math>f(c)=\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b} f(x)\, dx</math>

== اثبات ==

با توجه به فرض قضیه، چون تابع f بر بازه [a,b] [[تابع پیوسته|پیوسته]] است، مقدار مینیمم و ماکسیمم مطلق خود را (بر طبق [[قضیه اکسترمم]]) در این فاصله می‌گیرد، یعنی به ازای هر x در بازه [a,b]:
<math>m \le \ f(x) \le \ M \Rightarrow \int_{a}^{b} m \,dx \le \int_{a}^{b} f(x) \,dx \le \int_{a}^{b} M \,dx </math>
<math>m(b-a) \le \int_{a}^{b} f(x) \,dx \le \ M(b-a) \Rightarrow \ m \le \ (1/(b-a)) \int_{a}^{b} f(x) \,dx \le \ M </math>
حال اگر تابع f در این فاصله صعودی (نزولی) باشد آنگاه <math>x_0</math> و <math>x_1</math> در بازه <math>[a \le \ x_0 \le \ x_1 \le \ b]</math> وجود دارد که به ازای آنها مقادیر تابع به ترتیب مینیمم و ماکسیمم (ماکسیمم و مینیمم) می‌شود. 
یعنی:
<math>( 1/(b-a) \int_{a}^{b} f(x)\,dx - f(x_0) ) ( 1/(b-a) \int_{a}^{b} f(x) \,dx - f(x_1) ) <\ 0</math> 
که بر طبق [[قضیه بولتزانو]] وجود دارد حداقل یک مقدار مانند c در بازهٔ <math>[x_0,x_1]</math> که:
<math>f(c)=(1/(b-a)) \int_{a}^{b} f(x)\, dx</math>

== منابع ==
{{پانویس}}
* [[حساب دیفرانسیل و انتگرال]] (جلد دوم)، نوشته مسعود نیکوکار و بهمن عرب‌زاده، انتشارات آزاده، ۱۳۸۴.

[[رده:قضیه‌های ریاضی]]