نمایش مبدأ برای قضیه اندیس عطیه-سینگر

{{Short description|نتیجه ریاضیاتی در هندسه دیفرانسیل}}
{{Infobox mathematical statement|name=قضیه اندیس عطیه-سینگر|image=|caption=|field=[[هندسه دیفرانسیل]]|conjectured by=|conjecture date=|first proof by=[[مایکل عطیه]] و [[ایسادور سینگر]]|first proof date=۱۹۶۳|open problem=|known cases=|implied by=|equivalent to=|generalizations=|consequences=[[Chern–Gauss–Bonnet theorem|قضیه چرن-گاو-بونت]]{{سخ}}[[Grothendieck–Riemann–Roch theorem|قضیه گروتندیک-ریمان-رخ]]{{سخ}}[[Hirzebruch signature theorem|قضیه علامت هیرزبروخ]]{{سخ}}[[Rokhlin's theorem|قضیه روخلین]]}}
در [[هندسه دیفرانسیل]]، '''قضیه اندیس عطیه-سینگر''' {{انگلیسی|Atiyah-Singer Index Theorem}}، توسط [[مایکل عطیه]] و [[ایسادور سینگر]] اثبات شد.{{sfn|Atiyah|Singer|1963}} این قضیه بیان می‌دارد که برای یک [[عملگر بیضوی|عملگر دیفرانسیل بیضوی]] روی یک منیفلد فشرده، '''اندیس تحلیلی''' (مربوط به بعد فضای جواب‌ها) برابر با '''اندیس توپولوژیکی''' (که برحسب داده‌های توپولوژیکی تعریف می‌شود) است. این قضیه، بسیاری از قضایای دیگری چون قضیه چرن-گاوس-بونت و قضیه ریمان-رخ را به عنوان حالت‌های خاص دربر گرفته و کاربردهایی در [[فیزیک نظری]] دارد.{{sfn|Hamilton|2020|p=۱۱}}

== تاریخچه ==
مسئله اندیس برای عملگرهای دیفرانسیلی بیضوی، توسط [[ایزرائیل گلفاند]] مطرح شد.{{sfn|Gel'fand|1960}} او متوجه ناوردای هموتوپی این اندیس شده و در مورد فرمولی برای آن به کمک [[خاصیت توپولوژیکی|ناورداهای توپولوژیکی]] طرح سؤال نمود. برخی از مثال‌های انگیزه‌بخش شامل قضیه ریمان-رخ و تعمیم آن یعنی قضیه هیرزبروخ-ریمان-رخ و قضیه علامت هیرزبروخ است. [[فردریش هیرزبروخ]] و [[آرمند بورل]] یکپارچگی Â-گونای (Â genus) یک منیفلد اسپینی را اثبات نموده و عطیه پیشنهاد کرد که این یکپارچگی را می‌توان توضیح داد، به شرطی که اندیس [[عملگر دیراک]] باشد (که توسط عطیه و سینگر در ۱۹۶۱ میلادی مجدداً کشف شد).

قضیه عطیه-سینگر در ۱۹۶۳ میلادی اعلام شد.{{sfn|Atiyah|Singer|1963}} طرح کلی اثبات آن در این اعلامیه ترسیم شده بود، در حالی که هیچگاه توسط آن‌ها منتشر نشد، با این حال در کتاب پالیس ظاهر شده‌است.{{sfn|Palais|1965}} همچنین طرح کلی این اثبات در سمینار کارتان-شوارتز به سال‌های ۱۹۶۳–۱۹۶۴ میلادی نیز پدیدار شده‌است.{{sfn|Cartan-Schwartz|1965}} این سمینار در پاریس و همزمان با سمیناری به رهبری ریچارد پالیس در [[دانشگاه پرینستون]] برگزار شد. آخرین سخنرانی در پاریس توسط عطیه و در مورد منیفلدهای مرزدار صورت پذیرفت. اولین اثبات منتشر نشده‌شان،{{sfn|Atiyah|Singer|1968a}} نظریه کوبوردیسم از اولین اثبات را با K-نظریه (نظریه کا) جایگزین کرده و از آن جهت ارائه تعمیم‌های مختلفی در سلسله مقالات دیگر استفاده نمودند.{{sfnmp|1a1=Atiyah|1a2=Singer|2a1=Atiyah|2a2=Singer|3a1=Atiyah|3a2=Singer|4a1=Atiyah|4a2=Singer|1y=1968a|2y=1968b|3y=1971a|4y=1971b}}
* '''۱۹۶۵:''' [[سرگئی نوویکوف]] نتایجش در مورد ناوردایی توپولوژیکی رده‌های پونتریجینِ گویا روی منیفلدهای هموار را منتشر نمود.{{sfn|Novikov|1965}}
* نتایج روبیون کیربی و لارن سی. سیبنمن،{{sfn|Kirby|Siebenmann|1969}} در ترکیب با مقاله [[رنه تام]]،{{sfn|Thom|1956}} وجود رده‌های پونتریجین گویا روی منیفلدهای توپولوژیکی را اثبات کردند.
* '''۱۹۶۹:''' مایکل عطیه در این سال، عملگرهای بیضوی مجرد را بر روی فضاهای متریک دلخواه تعریف می‌کند. عملگرهای بیضوی مجرد در نظریه کاسپاروف و هندسه دیفرانسیل ناجابجایی کن (Connes)، نقش مهمی پیدا کردند.{{sfn|Atiyah|1970}}
* '''۱۹۷۱:''' ایسادور سیگر برنامه جامعی برای توسعه‌های آینده از نظریه اندیس پیشنهاد می‌دهد.{{sfn|Singer|1971}}
* '''۱۹۷۲:''' گنادی جی. کاسپاروف، اثر خود را در ارتباط با تحقق K-همولوژی (همولوژی کا) توسط عملگرهای بیضوی مجرد را منتشر می‌کند.{{sfn|Kasparov|1972}}
* '''۱۹۷۳:''' عطیه، رائول بات و ویجی پاتودی، اثبات جدیدی برای قضیه اندیس ارائه نمودند{{sfn|Atiyah|Bott|Patodi|1973}} که در آن از [[معادله گرما|معادله گرمای]] توصیف شده در مقاله ای توسط ملروز،{{sfn|Melrose|1993}} استفاده شده‌است.
* '''۱۹۷۷:''' [[دنیس سالیوان]]، قضیه خود در ارتباط با وجود و یکتایی ساختارهای لیپشیتز و شبه-همدیس روی منیفلدهای توپولوژیکی از بعدی غیر از ۴ را بنا نهاد.{{sfn|Sullivan|1979}}
* '''۱۹۸۳:''' ازرا گتزر{{sfn|Getzler|year=۱۹۸۳}} از ایده‌های ادوارد ویتن{{sfn|Witten|1982}} و لوئیس آلوارز-گاوم ایده گرفت و اثبات کوتاهی از قضیه اندیس موضعی برای عملگرهایی که موضعاً [[عملگر دیراک|عملگرهای دیراک]] اند ارائه نمود؛ این اثبات، بسیاری از حالت‌های مفید را پوشش می‌داد.
* '''۱۹۸۳:''' نیکولا تلمن اثبات کرد که اندیس‌های تحلیلی از عملگرهای علامتی که مقادیرشان در [[کلاف برداری|کلاف‌های برداری]] قرار دارند، ناورداهای توپولوژیکی می‌باشند.{{sfn|Teleman|1983}}
* '''۱۹۸۴:''' تلمن قضیه اندیس را بر روی منیفلدهای توپولوژیکی مستقر می‌سازد.{{sfn|Teleman|1984}}
* '''۱۹۸۶:''' [[الن کن]]، مقاله بنیادینش را در ارتباط با [[هندسه ناجابجایی]] منتشر می‌کند.{{sfn|Connes|1986}}
* '''۱۹۸۹:''' سایمون کی. دونالدسون و سولیوان، نظریه یانگ-میلز در مورد منیفلدهای شبه-همدیس از بعد ۴ را مطالعه می‌کند. آنها بر روی فرم‌های دیفرانسیلی از درجه ۲، عملگر علامت <math>S</math> تعریف نمودند.{{sfn|Donaldson|Sullivan|1989}}
* '''۱۹۹۰:''' کن (Connes) و هنری موسکوویچ، فرمول اندیس موضعی را در بستر هندسه ناجابه‌جایی اثبات نمودند.{{sfn|Connes|Moscovici|1990}}
* '''۱۹۹۴:''' کن (Connes)، سالیوان و تلمن، قضیه اندیس را برای عملگرهای علامت روی منیفلدهای شبه-همدیس اثبات نمودند.{{sfn|Connes|Sullivan|Teleman|1994}}

== ارجاعات ==
{{پانویس|چپ‌چین=بله|2}}

== منابع ==
مقالات عطیه در جلدهای ۳ و ۴ از مجموعه آثارش گردآوری شده‌است،{{harvs|last=Atiyah|year1=1988a|year2=1988b}}
{{چپ‌چین}}
{{refbegin|2}}
* {{citation|last=Atiyah|first=M. F.|author-link=مایکل عطیه|chapter=Global Theory of Elliptic Operators|title=Proc. Int. Conf. on Functional Analysis and Related Topics (Tokyo, 1969)|year=1970|publisher=University of Tokio|zbl=0193.43601}}
* {{citation|last=Atiyah|first=M. F.|author-link=مایکل عطیه|chapter=Elliptic operators, discrete groups and von Neumann algebras|title=Colloque "Analyse et Topologie" en l'Honneur de Henri Cartan (Orsay, 1974)|pages=43–72|series=Asterisque|volume=32–33|publisher=Soc. Math. France, Paris|year=1976|mr=0420729}}
* {{citation|first1=M. F.|last1=Atiyah|author1-link=مایکل عطیه|first2=G. B.|last2=Segal|author2-link=Graeme Segal|title=The Index of Elliptic Operators: II|journal=Annals of Mathematics|series=Second Series|volume=87|issue=3|year=1968|pages=531–545|doi=10.2307/1970716|jstor=1970716}} This reformulates the result as a sort of Lefschetz fixed point theorem, using equivariant K-theory.
* {{citation|last1=Atiyah|first1=Michael F.|author1-link=مایکل عطیه|last2=Singer|first2=Isadore M.|author2-link=ایسادور سینگر|title=The Index of Elliptic Operators on Compact Manifolds|journal=Bull. Amer. Math. Soc.|volume=69|pages=422–433|year=1963|doi=10.1090/S0002-9904-1963-10957-X|issue=3|doi-access=free}} An announcement of the index theorem.
* {{citation|last1=Atiyah|first1=Michael F.|author1-link=مایکل عطیه|last2=Singer|first2=Isadore M.|author2-link=ایسادور سینگر|title=The Index of Elliptic Operators I|journal=Annals of Mathematics|volume=87|pages=484–530|year=1968a|doi=10.2307/1970715|issue=3|jstor=1970715}} This gives a proof using K-theory instead of cohomology.
* {{citation|last1=Atiyah|first1=Michael F.|author1-link=مایکل عطیه|last2=Singer|first2=Isadore M.|author2-link=ایسادور سینگر|title=The Index of Elliptic Operators III|journal=[[Annals of Mathematics]]|series=Second Series|volume=87|issue=3|year=1968b|pages=546–604|doi=10.2307/1970717|jstor=1970717}} This paper shows how to convert from the K-theory version to a version using cohomology.
* {{citation|last1=Atiyah|first1=Michael F.|author1-link=مایکل عطیه|last2=Singer|first2=Isadore M.|author2-link=ایسادور سینگر|title=The Index of Elliptic Operators IV|journal=[[Annals of Mathematics]]|series=Second Series|volume=93|issue=1|year=1971a|pages=119–138|doi=10.2307/1970756|jstor=1970756}} This paper studies families of elliptic operators, where the index is now an element of the K-theory of the space parametrizing the family.
* {{citation|last1=Atiyah|first1=Michael F.|author1-link=مایکل عطیه|last2=Singer|first2=Isadore M.|author2-link=ایسادور سینگر|title=The Index of Elliptic Operators V|journal=[[Annals of Mathematics]]|series=Second Series|volume=93|issue=1|year=1971b|pages=139–149|doi=10.2307/1970757|jstor=1970757}}. This studies families of real (rather than complex) elliptic operators, when one can sometimes squeeze out a little extra information.
* {{citation|first1=M. F.|last1=Atiyah|author1-link=مایکل عطیه|first2=R.|last2=Bott|author2-link=Raoul Bott|title=A Lefschetz Fixed Point Formula for Elliptic Differential Operators|journal=Bull. Am. Math. Soc.|volume=72|year=1966|pages=245–50|doi=10.1090/S0002-9904-1966-11483-0|issue=2|doi-access=free}}. This states a theorem calculating the Lefschetz number of an endomorphism of an elliptic complex.
* {{citation|first1=M. F.|last1=Atiyah|author1-link=مایکل عطیه|first2=R.|last2=Bott|author2-link=Raoul Bott|title=A Lefschetz Fixed Point Formula for Elliptic Complexes: I|journal=Annals of Mathematics|series=Second series|volume=86|issue=2|year=1967|pages=374–407|doi=10.2307/1970694|jstor=1970694}} and {{citation|first1=M. F.|last1=Atiyah|first2=R.|last2=Bott|title=A Lefschetz Fixed Point Formula for Elliptic Complexes: II. Applications|journal=[[Annals of Mathematics]]|series=Second Series|volume=88|issue=3|year=1968|pages=451–491|doi=10.2307/1970721|jstor=1970721}} These give the proofs and some applications of the results announced in the previous paper.
* {{citation|last1=Atiyah|journal=Invent. Math.|bibcode=1973InMat..19..279A|issue=4|mr=0650828|doi=10.1007/BF01425417|pages=279–330|year=1973|volume=19|title=On the heat equation and the index theorem|first1=M.|author3-link=Vijay Kumar Patodi|first3=V. K.|last3=Patodi|author2-link=Raoul Bott|first2=R.|last2=Bott|author1-link=مایکل عطیه|s2cid=115700319}}. {{citation|title=Errata|journal=Invent. Math.|volume=28|year=1975|pages=277–280|doi=10.1007/BF01425562|mr=0650829|issue=3|bibcode=1975InMat..28..277A|last1=Atiyah|first1=M.|last2=Bott|first2=R.|last3=Patodi|first3=V. K.|doi-access=free}}
* {{citation|last1=Atiyah|first1=Michael|author1-link=مایکل عطیه|last2=Schmid|first2=Wilfried|author2-link=Wilfried Schmid|title=A geometric construction of the discrete series for semisimple Lie groups|journal=Invent. Math.|volume=42|year=1977|pages=1–62|doi=10.1007/BF01389783|mr=0463358|bibcode=1977InMat..42....1A|s2cid=189831012}}، {{citation|title=Erratum|journal=Invent. Math.|volume=54|year=1979|issue=2|pages=189–192|doi=10.1007/BF01408936|author=Atiyah, Michael|last2=Schmid|first2=Wilfried|mr=0550183|bibcode=1979InMat..54..189A|doi-access=free}}
* {{citation|last=Atiyah|first=Michael|author-link=مایکل عطیه|title=Collected works. Vol. 3. Index theory: 1|series=Oxford Science Publications|publisher=The Clarendon Press, Oxford University Press|location=New York|year=1988a|isbn=978-0-19-853277-4|url=https://books.google.com/books?isbn=0198532776|mr=0951894}}
* {{citation|last=Atiyah|first=Michael|author-link=مایکل عطیه|title=Collected works. Vol. 4. Index theory: 2|series=Oxford Science Publications|publisher=The Clarendon Press, Oxford University Press|location=New York|year=1988b|isbn=978-0-19-853278-1|mr=0951895}}
* {{citation|first1=P.|journal=Acta Mathematica|s2cid=83458307|zbl=0332.14003|doi=10.1007/BF02684299|pages=155–191|year=1979|volume=143|title=Riemann-Roch for singular varieties|last1=Baum|author3-link=Robert MacPherson (mathematician)|last3=Macpherson|first3=R.|author2-link=William Fulton (mathematician)|last2=Fulton|first2=W.|author1-link=Paul Baum (mathematician)|url=http://www.numdam.org/item/PMIHES_1975__45__101_0/}}
* {{citation|first1=Nicole|last1=Berline|first2=Ezra|last2=Getzler|first3=Michèle|last3=Vergne|title=Heat Kernels and Dirac Operators|year=1992|isbn=978-3-540-53340-5|publisher=Springer|location=Berlin}} This gives an elementary proof of the index theorem for the Dirac operator, using the heat equation and supersymmetry.
* {{citation|author-link=Jean-Michel Bismut|first=Jean-Michel|last=Bismut|title=The Atiyah–Singer Theorems: A Probabilistic Approach. I. The index theorem|journal=J. Funct. Analysis|year=1984|volume=57|pages=56–99|doi=10.1016/0022-1236(84)90101-0|doi-access=free}} Bismut proves the theorem for elliptic complexes using probabilistic methods, rather than heat equation methods.
* {{citation|last=Cartan-Schwartz|author-link=Cartan-Schwartz|title=Séminaire Henri Cartan. Théoreme d'Atiyah-Singer sur l'indice d'un opérateur différentiel elliptique. 16 annee: 1963/64 dirigee par Henri Cartan et Laurent Schwartz. Fasc. 1; Fasc. 2. (French)|publisher=École Normale Supérieure, Secrétariat mathématique, Paris|year=1965|zbl=0149.41102}}
* {{citation|first=A.|last=Connes|author-link=الن کن|title=Non-commutative differential geometry|journal=Publications Mathématiques|volume=62|year=1986|doi=10.1007/BF02698807|pages=257–360|zbl=0592.46056|s2cid=122740195|url=http://www.numdam.org/item/PMIHES_1985__62__41_0/}}
* {{citation|first=A.|last=Connes|author-link=الن کن|title=Noncommutative Geometry|publisher=Academic Press|isbn=978-0-12-185860-5|location=San Diego|year=1994|zbl=0818.46076|url-access=registration|url=https://archive.org/details/noncommutativege0000conn}}
* {{citation|first1=A.|last1=Connes|author1-link=الن کن|first2=H.|last2=Moscovici|title=Cyclic cohomology, the Novikov conjecture and hyperbolic groups|journal=Topology|volume=29|year=1990|pages=345–388|url=http://www.alainconnes.org/docs/novikov.pdf|zbl=0759.58047|doi=10.1016/0040-9383(90)90003-3|issue=3|accessdate=9 ژوئن 2021|archive-date=15 دسامبر 2020|archive-url=https://web.archive.org/web/20201215161623/https://www.alainconnes.org/docs/novikov.pdf}}
* {{citation|first1=A.|journal=Topology|doi=10.1016/0040-9383(94)90003-5|zbl=0840.57013|pages=663–681|year=1994|issue=4|volume=33|title=Quasiconformal mappings, operators on Hilbert space and local formulae for characteristic classes|last1=Connes|last3=Teleman|first3=N.|author2-link=دنیس سالیوان|last2=Sullivan|first2=D.|author1-link=الن کن|doi-access=free}}
* {{citation|first1=S.K.|last1=Donaldson|author1-link=Simon Donaldson|first2=D.|last2=Sullivan|author2-link=دنیس سالیوان|title=Quasiconformal 4-manifolds|journal=Acta Mathematica|volume=163|year=1989|pages=181–252|doi=10.1007/BF02392736|zbl=0704.57008|doi-access=free}}
* {{citation|first=I. M.|last=Gel'fand|author-link=Israel Gelfand|title=On elliptic equations|journal=Russ. Math. Surv.|volume=15|issue=3|year=1960|pages=113–123|doi=10.1070/rm1960v015n03ABEH004094|bibcode=1960RuMaS..15..113G}} reprinted in volume 1 of his collected works, p. 65–75, {{ISBN|0-387-13619-3}}. On page 120 Gel'fand suggests that the index of an elliptic operator should be expressible in terms of topological data.
* {{citation|first=E.|last=Getzler|author-link=Ezra Getzler|url=http://projecteuclid.org/Dienst/UI/1.0/Summarize/euclid.cmp/1103940796|title=Pseudodifferential operators on supermanifolds and the Atiyah–Singer index theorem|journal=Commun. Math. Phys.|volume=92|year=1983|pages=163–178|doi=10.1007/BF01210843|issue=2|bibcode=1983CMaPh..92..163G|s2cid=55438589}}
* {{citation|first=E.|last=Getzler|doi=10.1016/0040-9383(86)90008-X|title=A short proof of the local Atiyah–Singer index theorem|journal=Topology|volume=25|year=1988|pages=111–117|doi-access=free}}
* {{citation|first=Peter B.|last=Gilkey|year=1994|url=http://www.emis.de/monographs/gilkey/|title=Invariance Theory, the Heat Equation, and the Atiyah–Singer Theorem|isbn=978-0-8493-7874-4}} Free online textbook that proves the Atiyah–Singer theorem with a heat equation approach
* {{cite arxiv|last=Hamilton|first=M. J. D.|year=2020|title=The Higgs boson for mathematicians. Lecture notes on gauge theory and symmetry breaking|class=math.DG|eprint=1512.02632}}
* {{citation|first1=Nigel|last1=Higson|first2=John|last2=Roe|title=Analytic K-homology|publisher=Oxford University Press|year=2000|isbn=978-0-19-158920-1}}
* {{citation|first1=M.|last1=Hilsum|title=Structures riemaniennes ''L''<sup>p</sup> et ''K''-homologie|journal=Annals of Mathematics|volume=149|issue=3|year=1999|pages=1007–1022|doi=10.2307/121079|arxiv=math/9905210|jstor=121079|s2cid=119708566}}
* {{citation|first=G.G.|last=Kasparov|title=Topological invariance of elliptic operators, I: K-homology|journal=Math. USSR Izvestija (Engl. Transl.)|volume=9|year=1972|issue=4|pages=751–792|doi=10.1070/IM1975v009n04ABEH001497|bibcode=1975IzMat...9..751K}}
* {{citation|first1=R.|last1=Kirby|author1-link=Robion Kirby|first2=L.C.|last2=Siebenmann|author2-link=Laurent C. Siebenmann|title=On the triangulation of manifolds and the Hauptvermutung|journal=Bull. Amer. Math. Soc.|volume=75|year=1969|pages=742–749|doi=10.1090/S0002-9904-1969-12271-8|issue=4|doi-access=free}}
* {{citation|first1=R.|last1=Kirby|author1-link=Robion Kirby|first2=L.C.|last2=Siebenmann|author2-link=Laurent C. Siebenmann|title=Foundational Essays on Topological Manifolds, Smoothings and Triangulations|publisher=Princeton University Press and Tokio University Press|location=Princeton|series=Annals of Mathematics Studies in Mathematics|volume=88|year=1977}}
* {{citation|first=Richard B.|last=Melrose|year=1993|url=http://www-math.mit.edu/~rbm/book.html|title=The Atiyah–Patodi–Singer Index Theorem|isbn=978-1-56881-002-7|publisher=Peters|location=Wellesley, Mass.}} Free online textbook.
* {{citation|first=S.P.|last=Novikov|author-link=Sergei Novikov (mathematician)|title=Topological invariance of the rational Pontrjagin classes|journal=[[Doklady Akademii Nauk SSSR]]|volume=163|year=1965|url=http://www.mi.ras.ru/~snovikov/21.pdf|pages=298–300}}
* {{citation|first=Richard S.|last=Palais|author-link=Richard Palais|year=1965|title=Seminar on the Atiyah–Singer Index Theorem|series=Annals of Mathematics Studies|volume=57|isbn=978-0-691-08031-4|publisher=Princeton Univ Press|location=S.l.|url=https://books.google.com/books?isbn=0-691-08031-3}} This describes the original proof of the theorem (Atiyah and Singer never published their original proof themselves, but only improved versions of it.)
* {{citation|last=Shanahan|first=P.|title=The Atiyah–Singer index theorem: an introduction|isbn=978-0-387-08660-6|series=Lecture Notes in Mathematics|volume=638|publisher=Springer|year=1978|doi=10.1007/BFb0068264|citeseerx=10.1.1.193.9222}}
* {{citation|first=I.M.|last=Singer|author-link=ایسادور سینگر|title=Prospects in Mathematics|chapter=Future extensions of index theory and elliptic operators|series=Annals of Mathematics Studies in Mathematics|volume=70|year=1971|pages=171–185}}
* {{citation|first=D.|last=Sullivan|author-link=دنیس سالیوان|chapter=Hyperbolic geometry and homeomorphisms|title=J.C. Candrell, "Geometric Topology", Proc. Georgia Topology Conf. Athens, Georgia, 1977|publisher=Academic Press|location=New York|year=1979|pages=543–595|isbn=978-0-12-158860-1|zbl=0478.57007}}
* {{citation|first1=D.|last1=Sullivan|author1-link=دنیس سالیوان|first2=N.|last2=Teleman|title=An analytic proof of Novikov's theorem on rational Pontrjagin classes|journal=Publications Mathématiques|location=Paris|volume=58|year=1983|pages=291–293|doi=10.1007/BF02953773|zbl=0531.58045|s2cid=8348213|url=http://www.numdam.org/item/PMIHES_1983__58__79_0/}}
* {{citation|first=N.|last=Teleman|title=Combinatorial Hodge theory and signature operator|journal=Inventiones Mathematicae|volume=61|year=1980|pages=227–249|doi=10.1007/BF01390066|issue=3|bibcode=1980InMat..61..227T|s2cid=122247909}}
* {{citation|first=N.|last=Teleman|title=The index of signature operators on Lipschitz manifolds|journal=Publications Mathématiques|volume=58|year=1983|pages=251–290|doi=10.1007/BF02953772|zbl=0531.58044|s2cid=121497293|url=http://www.numdam.org/item/PMIHES_1983__58__39_0/}}
* {{citation|first=N.|last=Teleman|title=The index theorem on topological manifolds|journal=Acta Mathematica|volume=153|year=1984|pages=117–152|doi=10.1007/BF02392376|zbl=0547.58036|doi-access=free}}
* {{citation|first=N.|last=Teleman|title=Transversality and the index theorem|journal=Integral Equations and Operator Theory|volume=8|year=1985|pages=693–719|doi=10.1007/BF01201710|issue=5|s2cid=121137053}}
* {{citation|first=R.|last=Thom|author-link=René Thom|chapter=Les classes caractéristiques de Pontrjagin de variétés triangulées|title=Symp. Int. Top. Alg. Mexico|year=1956|pages=54–67}}
* {{Citation|last1=Witten|first1=Edward|author1-link=Edward Witten|title=Supersymmetry and Morse theory|year=1982|journal=J. Diff. Geom.|volume=17|issue=4|pages=661–692|mr=0683171|doi=10.4310/jdg/1214437492|doi-access=free}}
* {{citation|editor-last=Shing-Tung Yau|editor-link=Shing-Tung Yau|title=The Founders of Index Theory|year=2009|publisher=International Press of Boston|place=Somerville, Mass.|edition=2nd|orig-year=First published in 2005|isbn=978-1-57146-137-7}} - Personal accounts on [[Michael Atiyah|Atiyah]], [[Raoul Bott|Bott]], [[فردریش هیرزبروخ|Hirzebruch]] and [[ایسادور سینگر|Singer]].
{{refend}}
{{پایان چپ‌چین}}

[[رده:عملگرهای دیفرانسیلی]]
[[رده:قضایای هندسه دیفرانسیل]]
[[رده:معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی بیضوی]]