نمایش مبدأ برای قانون هوک

{{مکانیک پیوستاری}}
[[پرونده:Ressort de compression.jpg|thumbnail|چپ|250px|قانون هوک خواص فیزیکی فنرهای معمولی را برای جابجایی‌های کوچک به خوبی و با دقت بالایی مدل می‌کند. ([[:Image:Simple harmonic oscillator.gif|تصویر متحرک]]).]]
[[پرونده:hookeslaw.ogg|250px|بندانگشتی|استاد دانشگاه [[والتر لوین]] در حال توضیح قانون هوک، بیان می‌دارد که این قانون یکی از مهم‌ترین رابطه‌های کشف شده در فیزیک است. [https://web.archive.org/web/20110629105341/http://ocw.mit.edu/courses/physics/8-01-physics-i-classical-mechanics-fall-1999/video-lectures/lecture-10/واحد درسی ۸٫۰۱ دانشگاه‌ام آی تی]<ref>{{cite video | people      = [[والتر لوین]] | date      = October 1, 1999 | title      = Hook's Law, Simple Harmonic Oscillator. MIT Course 8.01: Classical Mechanics, Lecture 10. | url      = http://ocw.mit.edu/courses/physics/8-01-physics-i-classical-mechanics-fall-1999/video-lectures/lecture-10/ | format      = ogg | medium      = videotape | language      = English | publisher      = [[درس‌افزار باز ام‌آی‌تی|MIT OCW]] | location      = Cambridge, MA USA | accessdate      = December 23, 2010 | time      = 1:21-10:10 | ref      = lewin1 | quote      = ...arguably the most important equation in all of Physics. | archive-date      = ۲۹ ژوئن ۲۰۱۱ | archive-url      = https://web.archive.org/web/20110629105341/http://ocw.mit.edu/courses/physics/8-01-physics-i-classical-mechanics-fall-1999/video-lectures/lecture-10/ | url-status      = bot: unknown }}</ref>]]
[[پرونده:hookeslawexample.ogg|250px|thumb|یک آزمایش روی قانون هوک ([https://web.archive.org/web/20110629105341/http://ocw.mit.edu/courses/physics/8-01-physics-i-classical-mechanics-fall-1999/video-lectures/lecture-10/ MIT OCW])<ref>{{cite video | people      = [[والتر لوین]] | date      = October 1, 1999 | title      = Hook's Law, Simple Harmonic Oscillator. MIT Course 8.01: Classical Mechanics, Lecture 10. | url      = http://ocw.mit.edu/courses/physics/8-01-physics-i-classical-mechanics-fall-1999/video-lectures/lecture-10/ | format      = ogg | medium      = videotape | language      = English | publisher      = [[درس‌افزار باز ام‌آی‌تی|MIT OCW]] | location      = Cambridge, MA USA | accessdate      = December 23, 2010 | time      = 10:10-16:33 | ref      = lewin2 | quote      =  | archiveurl      = https://web.archive.org/web/20110629105341/http://ocw.mit.edu/courses/physics/8-01-physics-i-classical-mechanics-fall-1999/video-lectures/lecture-10/ | archivedate      = ۲۹ ژوئن ۲۰۱۱ | dead-url      = yes }}</ref>]]

'''قانون هوک''' در [[فیزیک]]، [[مکانیک]] و [[دانش مواد]] کشسانی (الاستیسیته)، تقریبی است نشان دهندهٔ آن که تغییر طول یک ماده با بار وارد بر آن رابطهٔ خطی دارد. بسیاری از مواد تا زمانی که نیرو از [[تسلیم (مهندسی)|حد کشسانی]] آن‌ها کمتر باشد با تقریب خوبی از این قانون پیروی می‌کنند. انحراف از قانون هوک با افزایش میزان تغییرشکل زیاد می‌شود به‌طوری‌که در تغییرشکل‌های زیاد، با خارج شدن ماده از دامنه کشسان خطی، این قانون کاربرد خود را از دست می‌دهد. موادی که قانون هوک برای آن‌ها تقریب مناسبی باشد، مواد کشسان خطی یا «مواد هوکی» نام دارند. ساده شدهٔ قانون هوک بیان می‌دارد که کرنش با تنش رابطهٔ مستقیم دارد:
<center>[[پرونده:Restoring force.gif]]</center>
{{چپ‌چین}}
::<math> \mathbf{F}=-k\mathbf{x} \ </math>
{{پایان چپ‌چین}}
که در آن:
:'''x''': جابجایی [[فنر]] فشرده یا کشیده‌شده از نقطهٔ [[تعادل مکانیکی|تعادل]] آن است. یکای '''x''' در دستگاه [[سامانه استاندارد بین‌المللی یکاها|SI]] متر است.
:'''F''': نیروی بازگردانندهٔ وارده از سوی فنر که با جابجایی انتهای فنر مقاومت می‌کند (نیروی مقاومت فنر) است؛ در دستگاه [[سامانه استاندارد بین‌المللی یکاها|SI]] یکای آن نیوتن N یا کیلوگرم‌متر بر مجذور ثانیه Kg m s<sup>-۲</sup> است.
:'''k''': ثابت فنر است که در دستگاه [[سامانه استاندارد بین‌المللی یکاها|SI]] یکای آن نیوتن بر متر یا کیلوگرم بر مجذور ثانیه‌ است.
وقتی چنین رابطه‌ای برای ماده‌ای برقرار باشد، می‌توان گفت که آن ماده ''رفتار خطی'' دارد و اگر نتایج آن را بر روی یک نمودار نمایش دهیم می‌بینیم که نتایج به صورت یک خط راست بدست آمده‌اند. علامت منفی در سمت راست رابطهٔ بالا به این دلیل است که نیروی بازگردانندهٔ فنر و جابجایی فنر همواره در جهت مخالف یکدیگر عمل می‌کنند. مثلاً اگر فنر به سمت راست افزایش طول پیدا کند نیروی بازگردانندهٔ آن در سوی مخالف و به سمت چپ یعنی در جهت جمع شدن فنر وارد می‌شود.

قانون هوک پس از قرن ۱۷ میلادی به نام فیزیکدان بریتانیایی [[رابرت هوک]] نام‌گذاری شد. وی ابتدا در سال ۱۶۶۰ با عنوان مقلوب لاتین ارائه کرد<ref>The anagram was "ceiiinosssttuv", [http://www.lindahall.org/events_exhib/exhibit/exhibits/civil/design.shtml] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20101113210736/http://www.lindahall.org/events_exhib/exhibit/exhibits/civil/design.shtml|date=۱۳ نوامبر ۲۰۱۰}};
[[cf.]] the anagram for the [[Catenary]], which appeared in the preceding paragraph.</ref> و در سال ۱۶۷۸ راه حلش را با عنوان رمزی ''Ut tensio, sic vis'' به معنی هرچقدرجابجایی همانقدر نیرو، منتشر کرد.

== کاربرد عمومی برای مواد کشسانی ==
[[پرونده:Spring-mass2.svg|بندانگشتی|250px|قانون هوک می‌تواند پیش‌بینی کند که در اثر یک نیروی مشخص چقدر فنر کشیده خواهد شد.]]
موادی که پس از وارد شدن یک نیرو و [[تغییر شکل]] به سرعت به حالت اولیهٔ خود بازمی‌گردند و مولکول‌ها و اتم‌های آن‌ها نیز به حالت اولیه و [[تعادل پایدار]] پیشین خود بازمی‌گردند، معمولاً از قانون هوک پیروی می‌کنند.

یک میله از جنس یک [[کشسانی|مادهٔ کشسان]] را می‌توان مانند یک فنر خطی در نظر گرفت، طول میله ''L'' و [[سطح مقطع]] آن ''A'' است. افزایش طول میله (کرنش) آن به صورت خطی با [[تنش|تنش کششی]] ''σ'' وارد بر آن نسبت خطی ثابت دارد. وارون این نسبت خطی را [[مدول الاستیسیته]] ''E'' می‌نامند؛ بنابراین:
{{چپ‌چین}}
:<math>\sigma = E \varepsilon</math>
یا
:<math>\Delta L = \frac{F}{E A} L = \frac{\sigma}{E} L.</math>
{{پایان چپ‌چین}}
مواد تا زمانی که در '''بازهٔ کشسانی''' خود باشند (تنش‌های وارد بر آن‌ها کمتر از [[تنش تسلیم]] باشد) از قانون هوک پیروی می‌کنند. در مقابل موادی مانند [[کائوچو]] را مواد غیرهوکی می‌نامند در این مواد ویژگی کشسانی ماده به تنش وارد بر آن وابسته‌است و به دمای محیط و نرخ بارگذاری نیز حساس است.

در تغییرشکل‌های کوچک زاویه‌ای، رابطه هوک به صورت زیر بیان می‌شود:
{{چپچین}}
:<math>\tau = G  \gamma </math>
{{پایان چپ‌چین}}
که در آن، ''τ'' [[تنش برشی]] اعمال شده بر ماده، ''γ'' کرنش زاویه‌ای (برابر تانژانت زاویه پیچش)، و ''G'' مدول برشی ماده تحت تنش است. رابطه کرنش زاویه‌ای با زاویه پیچش (θ) به صورت زیر است:<ref>Dieter George E. ,Mechanical Metallurgy, McGraw-Hill, New York ,1961 ,pp 16,37</ref>
{{چپچین}}
: γ = tan(θ) ≈ θ
{{پایان چپ‌چین}}

از قانون هوک در ترازوهای فنری، تحلیل تنش و [[مدل سازی]] مواد و … استفاده می‌شود.

== معادلهٔ فنر ==
[[پرونده:Stress v strain A36 2.svg|بندانگشتی|راست|300px|[[منحنی تنش-کرنش]] برای [[فولاد]] با [[کربن]] کم. قانون هوک تنها میان حالت اولیهٔ فولاد تا زمانی که به [[نقطهٔ تسلیم]] برسد بر قرار است. (نقطهٔ شمارهٔ ۲){{سخ}}
۱. [[مقاومت نهایی]]{{سخ}}
۲. [[تسلیم (مهندسی)|مقاومت قبل از تسلیم]]، مطابق نقطهٔ جاری شدن فولاد{{سخ}}
۳. [[شکست]]{{سخ}}
۴. ناحیهٔ [[کرنش سختی|سخت شدگی]]{{سخ}}
۵. ناحیهٔ [[باریک شدگی]]{{سخ}}
A: (F/A<sub>۰</sub>){{سخ}}
B: تنش واقعی (F/A)]]
می‌توان از ''معادلهٔ فنر'' به عنوان پر کاربردترین بیان قانون هوک یاد کرد. قانون هوک برای فنر بیان می‌دارد که نسبت نیروی بازگردانندهٔ وارده از سوی فنر به میزان تغییر شکل فنر برابر است با مقدار ثابتی معروف به ''ثابت فنر'' یا ''k'' با یکای نیرو بر طول:
{{چپ‌چین}}
::<math>F=-kx\,</math>
{{پایان چپ‌چین}}
علامت منفی در رابطهٔ بالا به این دلیل است که بردارهای نیرو و جابجایی در خلاف جهت یکدیگر بر این سامانه اثر می‌کنند. نیروی بازگردانندهٔ فنر در برابر هر نوع تغییر شکل مقاومت می‌کند و تلاش می‌کند تا فنر را دوباره به [[حالت تعادل]] پیشین خود بازگرداند. کارمایه یا انرژی پتانسیل ذخیره شده در فنر برابر است با:
{{چپ‌چین}}
::<math> PE={1\over2}kx^2</math>
{{پایان چپ‌چین}}
که برابر است با انرژی لازم برای اینکه کم‌کم فنر جمع شود یا انتگرال نیرو روی جابجایی. یادآوری می‌شود که مقدار انرژی پتانسیل فنر همواره بزرگتر از صفر است.

انرژی ذخیره شده را می‌توان به صورت یک نمودار [[سهمی]] روی محور ''U-x'' نمایش داد. وقتی که فنر در جهت محور x کشیده یا فشرده می‌شود (در هر دو حالت) انرژی پتانسیل آن افزایش می‌ یابد. فنر همواره تلاش می‌کند تا با بازگرداندن خود به حالت تعادل انرژی پتانسیلش را آزاد کند (از دست بدهد) درست مانند توپی که از یک بلندی رها می‌شود و [[انرژی پتانسیل گرانشی]] خود را از دست می‌دهد (می‌کاهد).

اگر جرم ''m'' به انتهای یک فنر بسته شود و پس از کشیده شدن رها گردد، در حالت آرمانی که اصطکاک نداشته باشیم و جرم فنر نسبت به جرم ''m'' ناچیز باشد، فنر و جرم همواره نوسان خواهند کرد که [[بسامد زاویه‌ای|سرعت زاویه‌ای]] آن برابر خواهد بود با:
{{چپ‌چین}}
::<math>\omega =  \sqrt{k \over m}</math>
{{پایان چپ‌چین}}
بسامد آن برابر است با:
{{چپ‌چین}}
::<math>f = {1 \over 2 \pi} \sqrt{k \over m}.</math>
{{پایان چپ‌چین}}
''تذکر:'' رابطه‌های بالا با این فرض گفته شد که فنر بیش از بازهٔ کشسان خود کشیده نشده‌باشد که در غیر این صورت فنر دچار تغییر شکل همیشگی (بدون بازگشت) می‌شود.

== سامانه‌ای با چندین فنر ==
دو فنر را می‌توان به شکل سری یا موازی به یک جرم وصل کرد، که در زیر این دو حالت با یکدیگر مقایسه شده‌اند.
{| class="wikitable" style="text-align: center; margin: 0 auto;"
|-
! style="background:#ffdead;" | مقایسه
! style="background:#ffdead;" | فنرهای موازی
! style="background:#ffdead;" | فنرهای سری
|-
|
| [[پرونده:SpringsInParallel.svg|208px|center]]
| [[پرونده:SpringsInSeries.svg|300px|center]]
|-
| ثابت فنر هم‌ارز
| <math>k_{eq} = k_1 + k_2 \,</math>
| <math>\frac{1}{k_{eq}} =  \frac{1}{k_1} + \frac{1}{k_2} \,</math>
|-
| طول فشردگی
| <math>x_1 = x_2 \,</math>
| <math>\frac{x_1}{x_2} = \frac{k_2}{k_1} \,</math>
|-
|انرژی ذخیره شده
| <math>\frac{E_1}{E_2} = \frac{k_1}{k_2} \,</math>
| <math>\frac{E_1}{E_2} = \frac{k_2}{k_1} \,</math>
|}

=== اثبات ===
:{| class="toccolours collapsible collapsed" width="60%" style="text-align:left"
!ثابت فنر هم‌ارز (سری)
|-
|برای بدست آوردن ثابت فنر هم-ارز دو فنر سری <math>k_{eq}</math>، باید از روش هوشمندانه تری نسبت به حالت دو فنر موازی استفاده کرد.
اگر فرض کنیم میزان تغییر شکل در فنر هم‌ارز (که برابر است با موقعیت مکانی جرم انتهای فنرها) برابر با ''x<sub>۲</sub>'' باشد، برای بدست آوردن <math>k_{eq}</math> نیاز داریم تا به رابطه‌ای مانند معادلهٔ زیر برسیم:
{{چپ‌چین}}
::<math>F_b = -k_{eq} x_2 .\,</math>
{{پایان چپ‌چین}}
همچنین فرض می‌کنیم که نقطهٔ پیوند میان دو فنر موقعیت ''x<sub>۲</sub>'' را داشته باشد؛ بنابراین نیروی وارده بر جرم انتهایی برابر است با:
{{چپ‌چین}}
::<math>F_b = - k_2 \left( x_2 - x_1 \right). \quad \quad \quad (1) \,</math>
{{پایان چپ‌چین}}
همچنین نیروی وارده بر محل پیوند میان دو فنر برابر خواهد بود با:
{{چپ‌چین}}
::<math>F_s = - k_1 x_1 + k_2 (x_2 - x_1). \,</math>
{{پایان چپ‌چین}}
وقتی که جرم هول داده می‌شود، فنرها فشرده می‌شوند، حال اگر جرم را رها کنیم کل سامانه اجازه پیدا می‌کند تا به حالت تعادل بازگردد وقتی سامانه به سمت تعادل یا نیروی صفر بازمی‌گردد به این معنی است که مجموع نیروهای فنرها برابر با صفر می‌شود. پس <math>F_s = 0 </math> می‌شود، برای بدست آوردن <math>x_1 \,</math> می‌نویسیم:
{{چپ‌چین}}
::<math>- k_1 x_1 + k_2 (x_2 - x_1) = 0 \,</math>
:::<math>- k_1 x_1 - k_2 x_1 = -k_2 x_2 \,</math>
:::<math>\left(k_1 + k_2 \right) x_1 = k_2 x_2 \,</math>
{{پایان چپ‌چین}}
پس:
{{چپ‌چین}}
::<math>x_1 = \frac{k_2}{k_1 + k_2} x_2 . \,</math>
{{پایان چپ‌چین}}
مقدار بدست آمدهٔ <math>x_1 \,</math> را در رابطهٔ (۱) جایگزین می‌کنیم:
{{چپ‌چین}}
::{|
|<math>F_b \,</math>
|<math> = -k_2 x_2 + k_2 x_1 \,</math>
|-
|
|<math> = -k_2 x_2 + k_2 \left( \frac{k_2}{k_1 + k_2} x_2 \right) \,</math>
|-
|
|<math> = -k_2 x_2 \left( \frac{k_1 + k_2}{k_1 + k_2} \right) + \frac{k_2^2}{k_1 + k_2} x_2 \,</math>
|-
|
|<math> = x_2 \frac{-k_1 k_2 - k_2^2 + k_2^2}{k_1 + k_2} \,</math>
|}
{{پایان چپ‌چین}}
به این ترتیب نیروی وارده به جرم بدست می‌آید:
{{چپ‌چین}}
::<math>F_b = - \left( \frac{k_1 k_2 }{k_1 + k_2} \right) x_2 .\,</math>
{{پایان چپ‌چین}} می‌توان گفت که عبارت داخل پرانتز ثابت فنر هم‌ارز این سامانه‌است:
{{چپ‌چین}}
::<math>k_{eq} = \frac{k_1 k_2 }{k_1 + k_2} .\,</math>
{{پایان چپ‌چین}}
عبارت بالا را بازنویسی می‌کنیم:
{{چپ‌چین}}
::<math>\frac{1}{k_{eq}} = \frac{1}{k_1} + \frac{1}{k_2}. \,</math>
|}

:{| class="toccolours collapsible collapsed" width="60%" style="text-align:left"
!ثابت فنر هم‌ارز (موازی)
|-
|هر دوی فنرها به جرم موجود در سامانه بسته شده‌اند پس میزان تغییر شکل هر دو فنر با هم برابر است. نیروی وارده به جرم برابر خواهد بود با:
{{چپ‌چین}}
::{|
|<math>F_b \,</math>
|<math>= F_1 + F_2 \,</math>
|-
|
|<math>= -k_1 x - k_2 x \,</math>
|}
{{پایان چپ‌چین}}
پس از فاکتورگیری خواهیم داشت:
{{چپ‌چین}}
::<math>F_b = - (k_1 + k_2) x. \,</math>
{{پایان چپ‌چین}} می‌توان نتیجه گرفت که عبارت داخل پرانتز همان ثابت فنر هم‌ارز این سامانه‌است:
{{چپ‌چین}}
::<math>k_{eq} = k_1 + k_2 .  \,</math>
{{پایان چپ‌چین}}
|}
:{| class="toccolours collapsible collapsed" width="60%" style="text-align:left"
!طول فشردگی
|-
|وقتی که دو فنر به صورت سری بسته شده باشند، اندازهٔ نیروی هر دو فنر با هم برابر است:
{{چپ‌چین}}
::{|
|<math>|F_1| = |F_2| \,</math>
|-
|<math>k_1 x_1 = k_2 \left(x_2 -x_1 \right). \,</math>
|}
{{پایان چپ‌چین}}
x<sub>1</sub> میزان تغییر طول فنر یک، و x<sub>2</sub> - x<sub>1</sub> میزان تغییر طول فنر دو است. تعریف می‌کنیم:
{{چپ‌چین}}
::<math>a_1 = x_1 \,</math>
::<math>a_2 = x_2 - x_1. \,</math>
{{پایان چپ‌چین}}
عبارت‌های بالا را جایگزین می‌کنید:
::<math>\frac{a_1}{a_2} = \frac{k_2}{k_1}. \,</math>
|}

:{| class="toccolours collapsible collapsed" width="60%" style="text-align:left"
!انرژی ذخیره شده
|-
|نسبت انرژی ذخیره شده در دو فنر '''سری''' عبارت است از:
{{چپ‌چین}}
::<math>\frac{E_1}{E_2} = \frac{\frac{1}{2} k_1 a_1^2}{\frac{1}{2}k_2 a_2^2}, \,</math>
{{پایان چپ‌چین}}
پیش تر رابطهٔ میان a<sub>1</sub> و a<sub>2</sub> را بدست آورده بودیم که در رابطهٔ بالا جایگزین می‌کنیم:
{{چپ‌چین}}
::<math>\frac{E_1}{E_2} = \frac{k_1}{k_2} \left(\frac{k_2}{k_1}\right)^2 = \frac{k_2}{k_1} . \,</math>
{{پایان چپ‌چین}}
برای فنرهای '''موازی''':
{{چپ‌چین}}
::<math>\frac{E_1}{E_2} = \frac{\frac{1}{2} k_1 x^2}{\frac{1}{2}k_2 x^2} \,</math>
{{پایان چپ‌چین}}
چون در فنرهای موازی، میزان فشردگی هر دو فنر با هم برابر است، x از دو طرف تساوی ساده می‌شود:
{{چپ‌چین}}
::<math>\frac{E_1}{E_2} = \frac{k_1}{k_2}. \,</math>
{{پایان چپ‌چین}}
|}

== بیان تانسوری قانون هوک ==
:''تذکر: در ادامه از [[قرارداد جمع‌زنی اینشتین]]، استفاده شده‌است.''
وقتی که با تنش‌های سه بعدی کار می‌کنیم، از [[تانسور]] چهارتایی <math>\mathsf{c}</math> به شکل <math>c_{ijk\ell}</math> که دارای ۸۱ ضریب الاستیسیته‌است باید استفاده کرد تا بتوان میان [[تنش (فیزیک)|تانسور تنش]] <math>\boldsymbol{\sigma}</math>  یا (σ<sub>''ij</sub>'') و [[کرنش|تانسور کرنش]] <math>\boldsymbol{\epsilon}</math> یا (<math>\epsilon_{k\ell}</math>) ارتباط برقرار کرد.
{{چپ‌چین}}
:<math>\boldsymbol{\sigma} = \mathsf{c}:\boldsymbol{\epsilon} ~.</math>
{{پایان چپ‌چین}}
اگر عبارت بالا را به همراه جزئیاتش بنویسیم به شکل زیر خواهد بود (با استفاده از [[قرارداد جمع‌زنی اینشتین]]):
{{چپ‌چین}}
:<math>\sigma_{ij} = c_{ijk\ell}~\epsilon_{k\ell}</math>
{{پایان چپ‌چین}}
تانسور <math>\mathsf{c}</math> را '''تانسور سفتی''' یا '''تانسور الاستیسیته''' می‌نامند. به دلیل تقارن تانسورهای تنش و کرنش، در تانسور سفتی تنها ۲۱ ضریب از یکدیگر مستقل‌اند. از آنجایی که یکای تنش همان یکای فشار است و کرنش، یکایی ندارد، پس یکای تمامی درایه‌های تانسور سفتی <math>c_{ijk\ell}</math>، همان یکای تنش خواهد بود.

عبارت عمومی قانون هوک را می‌توان شبیه رابطهٔ میان تنش و کرنش نوشت:
{{چپ‌چین}}
:<math> \boldsymbol{\epsilon} = \mathsf{s}:\boldsymbol{\sigma} \qquad {\rm or} \qquad
      \epsilon_{ij} = s_{ijk\ell}~\sigma_{k\ell} ~. </math>
{{پایان چپ‌چین}}
تانسور <math>\mathsf{s}</math> را '''تانسور انطباق''' می‌نامند.

=== مواد همسان ===
:''تذکر: برای آگاهی بیشتر دربارهٔ سیالات، مقالهٔ [[گرانروی]] را نگاه کنید.''
ویژگی مواد همسان این است که آن‌ها در جهت‌های مختلف ویژگی‌های یکسان از خود نشان می‌دهند؛ بنابراین معادلات فیزیکی که برای مواد همسان نوشته می‌شود باید مستقل از [[دستگاه مختصات]] باشد. تانسور کرنش یک تانسور متقارن است. می‌توان تانسور کرنش را بوسیلهٔ [[اثر (ماتریس)|اثر]] آن و [[دلتای کرونکر]] <math>\delta_{ij}</math> به شکل زیر نمایش داد:<ref>{{cite book|author=Symon, Keith |title=Mechanics|publisher=Addison-Wesley, Reading, MA|year=1971|isbn = 0-201-07392-7}}</ref>{{rp|Ch. 10}}
{{چپ‌چین}}
:<math>
  \varepsilon_{ij} = \left(\tfrac{1}{3}\varepsilon_{kk}\delta_{ij}\right) +
         \left(\varepsilon_{ij}-\tfrac{1}{3}\varepsilon_{kk}\delta_{ij}\right)
</math>
{{پایان چپ‌چین}}
با استفاده از جبر تانسورها خواهیم داشت:
{{چپ‌چین}}
:<math>
   \boldsymbol{\varepsilon} = \mathrm{vol}(\boldsymbol{\varepsilon}) +
        \mathrm{dev}(\boldsymbol{\varepsilon}) ~;~~
     \mathrm{vol}(\boldsymbol{\varepsilon}) := \tfrac{1}{3}~\mathrm{tr}(\boldsymbol{\varepsilon})~\mathbf{I} ~;~~
     \mathrm{dev}(\boldsymbol{\varepsilon}) := \boldsymbol{\varepsilon} - \mathrm{vol}(\boldsymbol{\varepsilon})
 </math>
{{پایان چپ‌چین}}
که <math>\mathbf{I}</math> تانسور یکهٔ درجه دو است. در سمت راست تساوی، عبارت <math>Vol</math> {{به انگلیسی|volumetric strain tensor}} به معنی '''تانسور کرنش حجمی''' است و عبارت <math>dev</math> به معنی '''تانسور اعوجاج''' یا '''تانسور کرنش برشی''' یا تانسور انحرافی {{به انگلیسی|deviatoric strain tensor}} است.

عمومی‌ترین شکل قانون هوک برای مواد همسان به صورت [[ترکیب خطی]] این تانسورها نوشته می‌شود:
{{چپ‌چین}}
:<math>
  \sigma_{ij}=3K\left(\tfrac{1}{3}\varepsilon_{kk}\delta_{ij}\right)
       +2G\left(\varepsilon_{ij}-\tfrac{1}{3}\varepsilon_{kk}\delta_{ij}\right)\,~;~~
  \boldsymbol{\sigma} = 3K~\mathrm{vol}(\boldsymbol{\varepsilon}) + 2G~\mathrm{dev}(\boldsymbol{\varepsilon})
</math>
{{پایان چپ‌چین}}
در عبارت بالا، ''K'' [[مدول حجمی]]، و ''G'' [[مدول برشی]] است.

با استفاده از [[مدول الاستیک]]، می‌توان رابطهٔ بالا را بیشتر گسترش داد، در نتیجه دیگر نوشتار تانسوری قانون هوک عبارت است از:<ref name=Simo98>Simo, J. C. and Hughes, T. J. R. , 1998, '''Computational Inelasticity''', Springer.</ref>
{{چپ‌چین}}
:<math>
   \boldsymbol{\sigma} = \lambda~\mathrm{tr}(\boldsymbol{\varepsilon})~\mathbf{I} + 2\mu~\boldsymbol{\varepsilon}
= \mathsf{c}:\boldsymbol{\varepsilon} ~;~~ \mathsf{c} = \lambda~\mathbf{I}\otimes\mathbf{I} + 2\mu~\mathsf{I}
 </math>
{{پایان چپ‌چین}}
که در آن <math>\lambda := K - 2/3 G</math> و <math>\mu := G</math> [[ثابت لامه|ثابت‌های لامه]] اند، <math>\mathbf{I}</math> تانسور یکه و <math>\mathsf{I}</math> تانسور یکهٔ درجهٔ چهار است. با توجه به دستگاه [[دستگاه مختصات دکارتی|مختصات کارتزین]]:
{{چپ‌چین}}
:<math>
   \sigma_{ij} = \lambda~\varepsilon_{kk}~\delta_{ij} + 2\mu~\varepsilon_{ij} = c_{ijk\ell}~\varepsilon_{k\ell} ~;~~ c_{ijk\ell} = \lambda~\delta_{ij}~\delta_{k\ell} + \mu~(\delta_{ik}~\delta_{j\ell} + \delta_{i\ell}~\delta_{jk})
 </math>
{{پایان چپ‌چین}}
رابطهٔ معکوس عبارت است از:<ref name=Milton02>Milton, G. W. , 2002, '''Theory of Composites''', Cambridge University Press.</ref>
{{چپ‌چین}}
:<math>
   \boldsymbol{\varepsilon} = \tfrac{1}{2\mu}~\boldsymbol{\sigma} - \tfrac{\lambda}{2\mu(3\lambda+2\mu)}~\mathrm{tr}(\boldsymbol{\sigma})~\mathbf{I} = \tfrac{1}{2G}~\boldsymbol{\sigma} + \left(\tfrac{1}{9K} - \tfrac{1}{6G}\right)~\mathrm{tr}(\boldsymbol{\sigma})~\mathbf{I}
 </math>
{{پایان چپ‌چین}}
بنابراین تانسور انطباق در رابطهٔ <math>\boldsymbol{\varepsilon} = \mathsf{s}:\boldsymbol{\sigma}</math>، عبارت خواهد بود از:
{{چپ‌چین}}
:<math>
   \mathsf{s} = - \tfrac{\lambda}{2\mu(3\lambda+2\mu)}~\mathbf{I}\otimes\mathbf{I} + \tfrac{1}{2\mu}~\mathsf{I}
= \left(\tfrac{1}{9K} - \tfrac{1}{6G}\right)~\mathbf{I}\otimes\mathbf{I} + \tfrac{1}{2G}~\mathsf{I}
 </math>
{{پایان چپ‌چین}}
با استفاده از [[مدول یانگ]] و [[نسبت پواسون|ضریب پواسون]]، قانون هوک برای مواد همسان را چنین می‌توان نوشت:
{{چپ‌چین}}
:<math>
   \boldsymbol{\varepsilon} = \tfrac{1}{E}~\boldsymbol{\sigma} - \tfrac{\nu}{E}\left[\mathrm{tr}(\boldsymbol{\sigma})~\mathbf{I} - \boldsymbol{\sigma}\right]
 </math>
{{پایان چپ‌چین}}
در نتیجه کرنش در جهت‌های مختلف را می‌توان به شکل زیر نوشت:
{{چپ‌چین}}
:<math>
  \begin{align}
  \varepsilon_{11} & = \tfrac{1}{E}\left[ \sigma_{11} - \nu(\sigma_{22}+\sigma_{33}) \right] \\
  \varepsilon_{22} & = \tfrac{1}{E}\left[\sigma_{22} - \nu(\sigma_{11}+\sigma_{33}) \right] \\
  \varepsilon_{33} & = \tfrac{1}{E}\left[\sigma_{33} - \nu(\sigma_{11}+\sigma_{22}) \right] \\
  \varepsilon_{12} & = \tfrac{1}{2G}~\sigma_{12} ~;~~
  \varepsilon_{13} = \tfrac{1}{2G}~\sigma_{13} ~;~~
  \varepsilon_{23} = \tfrac{1}{2G}~\sigma_{23}
  \end{align}
</math>
{{پایان چپ‌چین}}

که در آن ''E'' مدول الاستیسیته و <math>\nu</math> [[نسبت پواسون|ضریب پواسون]] است.
:{| class="toccolours collapsible collapsed" width="60%" style="text-align:left"
!قانون هوک در سه بعد
|-
|قانون هوک در سه بعد را می‌توان با استفاده از [[ضریب پواسون]] و شکل یک بعدی این قانون بدست آورد.{{سخ}}
فرض کنید در اثر نیروی وارده در جهت (۱) کشش داریم و در جهت‌های (۲ و ۳) عمود بر جهت (۱) جمع شدگی داریم:
{{چپ‌چین}}
:<math>\varepsilon_1' = \frac{1}{E}\sigma_1</math>,
:<math>\varepsilon_2' = -\frac{\nu}{E}\sigma_1</math>,
:<math>\varepsilon_3' = -\frac{\nu}{E}\sigma_1</math>,
{{پایان چپ‌چین}}
که در آن <math>\nu</math> [[نسبت پواسون|ضریب پواسون]] و <math>E</math> [[مدول یانگ]] است. معادلهٔ مشابه را در جهت‌های ۲ و ۳ چنین خواهیم داشت:
{{چپ‌چین}}
:<math>\varepsilon_1'' = -\frac{\nu}{E}\sigma_2</math>,
:<math>\varepsilon_2'' = \frac{1}{E}\sigma_2</math>,
:<math>\varepsilon_3'' = -\frac{\nu}{E}\sigma_2</math>,
{{پایان چپ‌چین}}
و
{{چپ‌چین}}
:<math>\varepsilon_1''' = -\frac{\nu}{E}\sigma_3</math>,
:<math>\varepsilon_2''' = -\frac{\nu}{E}\sigma_3</math>,
:<math>\varepsilon_3''' = \frac{1}{E}\sigma_3</math>.
{{پایان چپ‌چین}}
با جمع کردن هر سه حالت <math>\varepsilon_i = \varepsilon_i' + \varepsilon_i'' +\varepsilon_i'''</math> با یکدیگر خواهیم داشت:
{{چپ‌چین}}
:<math>\varepsilon_1 = \frac{1}{E}(\sigma_1-\nu(\sigma_2+\sigma_3))</math>
:<math>\varepsilon_2 = \frac{1}{E}(\sigma_2-\nu(\sigma_1+\sigma_3))</math>
:<math>\varepsilon_3 = \frac{1}{E}(\sigma_3-\nu(\sigma_1+\sigma_2))</math>
{{پایان چپ‌چین}}
پس از فاکتورگیری از <math>\nu\sigma</math> خواهیم داشت:
{{چپ‌چین}}
:<math>\varepsilon_1 = \frac{1}{E}((1+\nu)\sigma_1-\nu(\sigma_1+\sigma_2+\sigma_3))</math>
:<math>\varepsilon_2 = \frac{1}{E}((1+\nu)\sigma_2-\nu(\sigma_1+\sigma_2+\sigma_3))</math>
:<math>\varepsilon_3 = \frac{1}{E}((1+\nu)\sigma_3-\nu(\sigma_1+\sigma_2+\sigma_3))</math>
{{پایان چپ‌چین}}
<math>\sigma_1</math> از رابطه‌های بالا چنین بدست می‌آید:
{{چپ‌چین}}
:<math>\sigma_1 = \frac{E}{1+\nu}\varepsilon_1 + \frac{\nu}{1+\nu}(\sigma_1+\sigma_2+\sigma_3)</math>.
{{پایان چپ‌چین}}
محاسبهٔ مجموع رابطه:
{{چپ‌چین}}
:<math>\sum_{i=1,2,3}\varepsilon_i = \frac{1}{E}((1+\nu)\sum_{i=1,2,3}\sigma_i - 3\nu(\sum_{i=1,2,3}\sigma_i)) = \frac{1-2\nu}{E}\sum_{i=1,2,3}\sigma_i</math>
:<math> \sigma_1 +\sigma_2+\sigma_3 = \frac{E}{1-2\nu}(\varepsilon_1 + \varepsilon_2 +\varepsilon_3)</math>
{{پایان چپ‌چین}}
پس از خلاصه کردن <math>\sigma_1</math> به صورت زیر بدست می‌آید:
{{چپ‌چین}}
:<math>\sigma_1 = \frac{E}{1+\nu}\varepsilon_1 + \frac{E\nu}{(1+\nu)(1-2\nu)}(\varepsilon_1 + \varepsilon_2 +\varepsilon_3)</math>,
:<math>\sigma_1 = 2\mu\varepsilon_1 + \lambda(\varepsilon_1 + \varepsilon_2 +\varepsilon_3)</math>,
{{پایان چپ‌چین}}
که در روابط بالا، <math>\mu</math> و <math>\lambda</math> ثابت‌های لامه‌اند. به طریق مشابه اگر معادلات برای جهت‌های (۲ و ۳) نوشته شود، قانون هوک در سه بعد بدست می‌آید.
|}
قانون هوک در قالب ماتریسی برای مواد همسان عبارت است از:
{{چپ‌چین}}
:<math>
   \begin{bmatrix}\varepsilon_{11} \\ \varepsilon_{22} \\ \varepsilon_{33} \\ 2\varepsilon_{23} \\ 2\varepsilon_{31} \\ 2\varepsilon_{12} \end{bmatrix} =
   \begin{bmatrix}\varepsilon_{11} \\ \varepsilon_{22} \\ \varepsilon_{33} \\ \gamma_{23} \\ \gamma_{31} \\ \gamma_{12} \end{bmatrix} =
   \cfrac{1}{E}
   \begin{bmatrix} 1 & -\nu & -\nu & 0 & 0 & 0 \\
                   -\nu & 1 & -\nu & 0 & 0 & 0 \\
                   -\nu & -\nu & 1 & 0 & 0 & 0 \\
                   0 & 0 & 0 & 2(1+\nu) & 0 & 0 \\
                   0 & 0 & 0 & 0 & 2(1+\nu) & 0 \\
                   0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2(1+\nu) \end{bmatrix}
    \begin{bmatrix}\sigma_{11} \\ \sigma_{22} \\ \sigma_{33} \\ \sigma_{23} \\ \sigma_{31} \\ \sigma_{12} \end{bmatrix}
 </math>
{{پایان چپ‌چین}}
که در آن <math>\gamma_{ij} := 2\varepsilon_{ij}</math> '''کرنش برشی''' است. معکوس رابطه چنین است:
{{چپ‌چین}}
:<math>
   \begin{bmatrix}\sigma_{11} \\ \sigma_{22} \\ \sigma_{33} \\ \sigma_{23} \\ \sigma_{31} \\ \sigma_{12} \end{bmatrix}
=\cfrac{E}{(1+\nu)(1-2\nu)}
   \begin{bmatrix} 1-\nu & \nu & \nu & 0 & 0 & 0 \\
                   \nu & 1-\nu & \nu & 0 & 0 & 0 \\
                   \nu & \nu & 1-\nu & 0 & 0 & 0 \\
                   0 & 0 & 0 & (1-2\nu)/2 & 0 & 0 \\
                   0 & 0 & 0 & 0 & (1-2\nu)/2 & 0 \\
                   0 & 0 & 0 & 0 & 0 & (1-2\nu)/2 \end{bmatrix}
    \begin{bmatrix}\varepsilon_{11} \\ \varepsilon_{22} \\ \varepsilon_{33} \\ 2\varepsilon_{23} \\ 2\varepsilon_{31} \\ 2\varepsilon_{12} \end{bmatrix}
 </math>
{{پایان چپ‌چین}}
با استفاده از ثابت‌های لامه، رابطهٔ بالا را ساده می‌کنیم:
{{چپ‌چین}}
:<math>
   \begin{bmatrix}\sigma_{11} \\ \sigma_{22} \\ \sigma_{33} \\ \sigma_{23} \\ \sigma_{31} \\ \sigma_{12} \end{bmatrix}
=
   \begin{bmatrix} 2\mu+\lambda & \lambda & \lambda & 0 & 0 & 0 \\
                   \lambda & 2\mu+\lambda & \lambda & 0 & 0 & 0 \\
                   \lambda & \lambda & 2\mu+\lambda & 0 & 0 & 0 \\
                   0 & 0 & 0 & \mu & 0 & 0 \\
                   0 & 0 & 0 & 0 & \mu & 0 \\
                   0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \mu \end{bmatrix}
    \begin{bmatrix}\varepsilon_{11} \\ \varepsilon_{22} \\ \varepsilon_{33} \\ 2\varepsilon_{23} \\ 2\varepsilon_{31} \\ 2\varepsilon_{12} \end{bmatrix}
</math>
{{پایان چپ‌چین}}

==== تنش‌های صفحه‌ای در قانون هوک ====
در اثر تنش‌های صفحه‌ای، تنش در بعد سوم به شکل <math>\sigma_{33} = \sigma_{31} = \sigma_{13} = \sigma_{32} = \sigma_{23} = 0</math> خواهد بود؛ در این صورت قانون هوک به شکل زیر ارائه می‌شود:
{{چپ‌چین}}
:<math>
   \begin{bmatrix}\varepsilon_{11} \\ \varepsilon_{22} \\ 2\varepsilon_{12} \end{bmatrix} = \cfrac{1}{E}
   \begin{bmatrix} 1 & -\nu & 0 \\
                   -\nu & 1 & 0 \\
                    0 & 0 & 2(1+\nu) \end{bmatrix}
    \begin{bmatrix}\sigma_{11} \\ \sigma_{22} \\ \sigma_{12} \end{bmatrix}
 </math>
{{پایان چپ‌چین}}
وارون رابطه به صورت زیر خواهد بود:
{{چپ‌چین}}
:<math>
   \begin{bmatrix}\sigma_{11} \\ \sigma_{22} \\ \sigma_{12} \end{bmatrix}
= \cfrac{E}{1-\nu^2}
   \begin{bmatrix} 1 & \nu & 0 \\
                   \nu & 1 & 0 \\
                   0 & 0 & \cfrac{1-\nu}{2} \end{bmatrix}
    \begin{bmatrix}\varepsilon_{11} \\ \varepsilon_{22} \\ 2\varepsilon_{12} \end{bmatrix}
 </math>
{{پایان چپ‌چین}}

=== مواد ناهمسان ===
تقارن [[تانسور تنش کوشی]] (<math>\sigma_{ij} = \sigma_{ji}\,</math>) و قانون هوک در حالت کلی (<math>\sigma_{ij} = c_{ijk\ell}~ \epsilon_{k\ell}</math>) می‌رساند که <math>c_{ijk\ell} = c_{jik\ell}\,</math> خواهد بود. به روش مشابه، از تقارن [[تانسور کرنش‌های بسیار کوچک]] می‌توان نتیجه گرفت که <math>c_{ijk\ell} = c_{ij\ell k}\,</math>. این تقارن‌ها را '''تقارن خردِ'''<ref>minor symmetries</ref> '''تانسور سفتی''' می‌نامند (<math>\mathsf{c}</math>).

آنگاه که گرادیان تغییرشکل‌ها و تنش کوشی با هم کار کنند، رابطهٔ تنش - کرنش را می‌توان از تابع [[چگالی انرژی]] تغییر شکل‌ها (<math>\mathsf{U}</math>) بدست آورد:
{{چپ‌چین}}
:<math>
 \sigma_{ij} = \cfrac{\partial U}{\partial \epsilon_{ij}} \quad \implies \quad
c_{ijk\ell} =  \cfrac{\partial^2 U}{\partial \epsilon_{ij}\partial \epsilon_{k\ell}}~.
 </math>
{{پایان چپ‌چین}}
از دلخواه بودن ترتیب دیفرانسیل‌ها می‌توان نتیجه گرفت که <math>c_{ijk\ell} = c_{k\ell ij}\,</math> که این را '''تقارن بزرگ'''<ref>major symmetries</ref> تانسور سفتی می‌نامند. تقارن خُرد و تقارن بزرگ تانسور سفتی نتیجه می‌دهد که تانسور سفتی تنها ۲۱ درایهٔ مستقل (جزء سازندهٔ مستقل) دارد.

==== نمایش ماتریسی (تانسور سفتی) ====
معمول است که قانون هوک برای مواد نامسان را به صورت ماتریسی نیز توضیح دهند که آن را [[مفهوم وویت]] نیز می‌نامند. برای این کار باید از تقارن تانسورهای تنش و کرنش استفاده کرد و آن‌ها را به صورت یک بردار شش بُعدی در یک دستگاه مختصات متعامد<ref>دستگاهی با بردارهای یکه و دو به دو متعامد</ref> (<math>\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\mathbf{e}_3</math>) به صورت زیر توضیح داد:
{{چپ‌چین}}
:<math>
   [\boldsymbol{\sigma}] = \begin{bmatrix}\sigma_{11}\\ \sigma_{22} \\ \sigma_{33} \\ \sigma_{23} \\ \sigma_{31} \\ \sigma_{12} \end{bmatrix} \equiv
\begin{bmatrix} \sigma_1 \\ \sigma_2 \\ \sigma_3 \\ \sigma_4 \\ \sigma_5 \\ \sigma_6 \end{bmatrix} ~;~~
[\boldsymbol{\epsilon}] = \begin{bmatrix}\epsilon_{11}\\ \epsilon_{22} \\ \epsilon_{33} \\ 2\epsilon_{23} \\ 2\epsilon_{31} \\ 2\epsilon_{12} \end{bmatrix} \equiv
\begin{bmatrix} \epsilon_1 \\ \epsilon_2 \\ \epsilon_3 \\ \epsilon_4 \\ \epsilon_5 \\ \epsilon_6 \end{bmatrix}
 </math>
{{پایان چپ‌چین}}
آنگاه تانسور سفتی (<math>\mathsf{c}</math>) را می‌توان چنین نوشت:
{{چپ‌چین}}
:<math>
   [\mathsf{C}] = \begin{bmatrix} c_{1111} & c_{1122} & c_{1133} & c_{1123} & c_{1131} & c_{1112} \\
      c_{2211} & c_{2222} & c_{2233} & c_{2223} & c_{2231} & c_{2212} \\
c_{3311} & c_{3322} & c_{3333} & c_{3323} & c_{3331} & c_{3312} \\
c_{2311} & c_{2322} & c_{2333} & c_{2323} & c_{2331} & c_{2312} \\
c_{3111} & c_{3122} & c_{3133} & c_{3123} & c_{3131} & c_{3112} \\
c_{1211} & c_{1222} & c_{1233} & c_{1223} & c_{1231} & c_{1212}
     \end{bmatrix} \equiv \begin{bmatrix}
  C_{11} & C_{12} & C_{13} & C_{14} & C_{15} & C_{16} \\
C_{12} & C_{22} & C_{23} & C_{24} & C_{25} & C_{26} \\
C_{13} & C_{23} & C_{33} & C_{34} & C_{35} & C_{36} \\
C_{14} & C_{24} & C_{34} & C_{44} & C_{45} & C_{46} \\
C_{15} & C_{25} & C_{35} & C_{45} & C_{55} & C_{56} \\
C_{16} & C_{26} & C_{36} & C_{46} & C_{56} & C_{66} \end{bmatrix}
 </math>
{{پایان چپ‌چین}}
قانون هوک به گونهٔ زیر نوشته می‌شود:
{{چپ‌چین}}
:<math>
   [\boldsymbol{\sigma}] = [\mathsf{C}][\boldsymbol{\epsilon}] \qquad \text{or} \qquad \sigma_i = C_{ij} \epsilon_j ~.
 </math>
{{پایان چپ‌چین}}
به روش مشابه تانسور (<math>\mathsf{s}</math>) انطباق را چنین می‌توان نوشت:
{{چپ‌چین}}
:<math>
   [\mathsf{S}] = \begin{bmatrix}
s_{1111} & s_{1122} & s_{1133} & 2s_{1123} & 2s_{1131} & 2s_{1112} \\
s_{2211} & s_{2222} & s_{2233} & 2s_{2223} & 2s_{2231} & 2s_{2212} \\
s_{3311} & s_{3322} & s_{3333} & 2s_{3323} & 2s_{3331} & 2s_{3312} \\
2s_{2311} & 2s_{2322} & 2s_{2333} & 4s_{2323} & 4s_{2331} & 4s_{2312} \\
2s_{3111} & 2s_{3122} & 2s_{3133} & 4s_{3123} & 4s_{3131} & 4s_{3112} \\
2s_{1211} & 2s_{1222} & 2s_{1233} & 4s_{1223} & 4s_{1231} & 4s_{1212}
 \end{bmatrix} \equiv \begin{bmatrix}
S_{11} & S_{12} & S_{13} & S_{14} & S_{15} & S_{16} \\
S_{12} & S_{22} & S_{23} & S_{24} & S_{25} & S_{26} \\
S_{13} & S_{23} & S_{33} & S_{34} & S_{35} & S_{36} \\
S_{14} & S_{24} & S_{34} & S_{44} & S_{45} & S_{46} \\
S_{15} & S_{25} & S_{35} & S_{45} & S_{55} & S_{56} \\
S_{16} & S_{26} & S_{36} & S_{46} & S_{56} & S_{66} \end{bmatrix}
 </math>
{{پایان چپ‌چین}}

==== تغییر دستگاه مختصات ====
اگر یک مادهٔ کشسان خطی (الاستکیک خطی) را از حالت مرجع به حالتی دیگر دوران دهیم، آن ماده در برابر دوران متقارن باقی می‌ماند اگر اجزای تانسور سفتی را نیز باید با توجه به حالت جدید دوران داد<ref name=Slaughter>Slaughter, W. S. , 2002, '''The Linearized Theory of Elasticity''', Birkhauser</ref>
{{چپ‌چین}}
:<math>
   c_{pqrs} = l_{pi}~l_{qj}~l_{rk}~l_{s\ell}~c_{ijk\ell}
 </math>
{{پایان چپ‌چین}}
که در آن <math>l_{ab}</math> اجزای یک [[ماتریس متعامد|ماتریس متعامد دوران]] به نام <math>[L]</math> است. رابطهٔ مشابه برای وارون‌ها نیز وجود دارد.

در جبر ماتریس‌ها داریم که اگر ماتریس تغییر یافته (به صورت وارون یا دوران) خود وابسته به ماتریس‌های دیگر باشد، اجزای آن خود دچار تغییر شکل می‌شوند. برای نمونه اگر:
{{چپ‌چین}}
:<math>
   [\mathbf{e}_i'] = [L][\mathbf{e}_i]
 </math>
{{پایان چپ‌چین}}
آنگاه
{{چپ‌چین}}
:<math>
   C_{ij}~\epsilon_i~\epsilon_j = C_{ij}'~\epsilon'_i~\epsilon'_j ~.
 </math>
{{پایان چپ‌چین}}
همچنین اگر ماده نسبت به ماتریس تغییر شکل <math>[L]</math> متقارن باشد، آنگاه:
{{چپ‌چین}}
:<math>
   C_{ij} = C'_{ij} \quad \implies \quad C_{ij}~(\epsilon_i~\epsilon_j - \epsilon'_i~\epsilon'_j) = 0 ~.
 </math>
{{پایان چپ‌چین}}

=== مواد راست‌محور ===
{{نوشتار اصلی|مواد راست‌محور}}
[[مواد راست‌محور]] {{به انگلیسی|Orthotropic materials}} دارای سه صفحهٔ [[تعامد|راست]] تقارن‌اند. اگر بردارهای پایهٔ (<math>\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\mathbf{e}_3</math>) بردارهای نرمال صفحهٔ تقارن باشند، بنابراین رابطه‌های تغییر دستگاه مختصات به صورت زیر وارد می‌شوند:
{{چپ‌چین}}
:<math>
\begin{bmatrix} \sigma_1 \\ \sigma_2 \\ \sigma_3 \\ \sigma_4 \\ \sigma_5 \\ \sigma_6 \end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}
  C_{11} & C_{12} & C_{13} & 0 & 0 & 0 \\
C_{12} & C_{22} & C_{23} & 0 & 0 & 0 \\
C_{13} & C_{23} & C_{33} & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & C_{44} & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & C_{55} & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & C_{66} \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} \epsilon_1 \\ \epsilon_2 \\ \epsilon_3 \\ \epsilon_4 \\ \epsilon_5 \\ \epsilon_6 \end{bmatrix}
</math>
{{پایان چپ‌چین}}
وارون رابطهٔ بالا چنین نوشته می‌شود:<ref name=Boresi>Boresi, A. P, Schmidt, R. J. and Sidebottom, O. M. , 1993, ''Advanced Mechanics of Materials'', Wiley.</ref>
{{چپ‌چین}}
:<math>
  \begin{bmatrix}
    \epsilon_{{\rm xx}} \\ \epsilon_{\rm yy} \\ \epsilon_{\rm zz} \\ 2\epsilon_{\rm yz} \\ 2\epsilon_{\rm zx} \\ 2\epsilon_{\rm xy}
  \end{bmatrix}
= \begin{bmatrix}
    \tfrac{1}{E_{\rm x}} & - \tfrac{\nu_{\rm xy}}{E_{\rm x}} & - \tfrac{\nu_{\rm xz}}{E_{\rm x}} & 0 & 0 & 0 \\
    -\tfrac{\nu_{\rm yx}}{E_{\rm y}} & \tfrac{1}{E_{\rm y}} & - \tfrac{\nu_{\rm yz}}{E_{\rm y}} & 0 & 0 & 0 \\
    -\tfrac{\nu_{\rm zx}}{E_{\rm z}} & - \tfrac{\nu_{\rm zy}}{E_{\rm z}} & \tfrac{1}{E_{\rm z}} & 0 & 0 & 0 \\
    0 & 0 & 0 & \tfrac{1}{G_{\rm yz}} & 0 & 0 \\
    0 & 0 & 0 & 0 & \tfrac{1}{G_{\rm zx}} & 0 \\
    0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \tfrac{1}{G_{\rm xy}} \\
    \end{bmatrix}
  \begin{bmatrix}
    \sigma_{\rm xx} \\ \sigma_{\rm yy} \\ \sigma_{\rm zz} \\ \sigma_{\rm yz} \\ \sigma_{\rm zx} \\ \sigma_{\rm xy}
  \end{bmatrix}
 </math>
{{پایان چپ‌چین}}
که در آن:
:<math>{E}_{\rm i}\,</math> [[مدول یانگ]] در طول محور <math>i</math> است.
:<math>G_{\rm ij}\,</math> [[مدول برشی]] در راستای <math>j</math> در صفحه‌ای که بردار عمود بر سطحش در راستای <math>i</math> است.
:<math>\nu_{\rm ij}\,</math> ضریب پواسون است که برای فشردگی در راستای <math>j</math> هنگامی که در راستای <math>i</math> کشیدگی داشته باشیم.
در ''صفحهٔ تنش'' <math>\sigma_{zz} = \sigma_{zx} = \sigma_{yz} = 0</math> است. قانون هوک برای یک مادهٔ راست‌محور به صورت زیر در می‌آید:
{{چپ‌چین}}
:<math>
   \begin{bmatrix}\varepsilon_{\rm xx} \\ \varepsilon_{\rm yy} \\ 2\varepsilon_{\rm xy} \end{bmatrix} =
   \begin{bmatrix} \frac{1}{E_{\rm x}} & -\frac{\nu_{\rm xy}}{E_{\rm x}} & 0 \\
                   -\frac{\nu_{\rm yx}}{E_{\rm y}} & \frac{1}{E_{\rm y}} & 0 \\
                    0 & 0 & \frac{1}{G_{\rm xy}} \end{bmatrix}
    \begin{bmatrix}\sigma_{\rm xx} \\ \sigma_{\rm yy} \\ \sigma_{\rm xy} \end{bmatrix} \,.
 </math>
{{پایان چپ‌چین}}
وارون رابطه خواهد بود:
{{چپ‌چین}}
:<math>
   \begin{bmatrix}\sigma_{\rm xx} \\ \sigma_{\rm yy} \\ \sigma_{\rm xy} \end{bmatrix}
= \cfrac{1}{1-\nu_{\rm xy}\nu_{\rm yx}}
   \begin{bmatrix} E_{\rm x} & \nu_{\rm xy}E_{\rm y} & 0 \\
                   \nu_{\rm yx}E_{\rm x} & E_y & 0 \\
                   0 & 0 & G_{\rm xy}(1-\nu_{\rm xy}\nu_{\rm yx}) \end{bmatrix}
    \begin{bmatrix}\varepsilon_{\rm xx} \\ \varepsilon_{\rm yy} \\ 2\varepsilon_{\rm xy} \end{bmatrix} \,.
 </math>
{{پایان چپ‌چین}}

=== مواد همسان جانبی ===
یک مادهٔ [[همسان جانبی]] با چرخش نسبت به یک محور تقارن همسان باقی می‌ماند. برای چنین ماده‌ای اگر <math>\mathbf{e}_3</math> محور تقارن باشد، قانون هوک چنین نوشته می‌شود:
{{چپ‌چین}}
:<math>
\begin{bmatrix} \sigma_1 \\ \sigma_2 \\ \sigma_3 \\ \sigma_4 \\ \sigma_5 \\ \sigma_6 \end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}
  C_{11} & C_{12} & C_{13} & 0 & 0 & 0 \\
C_{12} & C_{11} & C_{13} & 0 & 0 & 0 \\
C_{13} & C_{13} & C_{33} & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & C_{44} & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & C_{44} & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \tfrac{1}{2}(C_{11}-C_{12}) \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} \epsilon_1 \\ \epsilon_2 \\ \epsilon_3 \\ \epsilon_4 \\ \epsilon_5 \\ \epsilon_6 \end{bmatrix}
</math>
{{پایان چپ‌چین}}
معمول است که <math>x \equiv \mathbf{e}_1</math> را محور تقارن در نظر بگیرند، حال وارون رابطه چنین خواهد بود:<ref name=Tan>Tan, S. C. , 1994, ''Stress Concentrations in Laminated Composites'', Technomic Publishing Company, Lancaster, PA.</ref>
{{چپ‌چین}}
:<math>
  \begin{bmatrix}
    \epsilon_{{\rm xx}} \\ \epsilon_{\rm yy} \\ \epsilon_{\rm zz} \\ 2\epsilon_{\rm yz} \\ 2\epsilon_{\rm zx} \\ 2\epsilon_{\rm xy}
  \end{bmatrix}
= \begin{bmatrix}
    \tfrac{1}{E_{\rm x}} & - \tfrac{\nu_{\rm xy}}{E_{\rm x}} & - \tfrac{\nu_{\rm xy}}{E_{\rm x}} & 0 & 0 & 0 \\
    -\tfrac{\nu_{\rm yx}}{E_{\rm y}} & \tfrac{1}{E_{\rm y}} & - \tfrac{\nu_{\rm yz}}{E_{\rm y}} & 0 & 0 & 0 \\
    -\tfrac{\nu_{\rm yx}}{E_{\rm y}} & - \tfrac{\nu_{\rm zy}}{E_{\rm y}} & \tfrac{1}{E_{\rm y}} & 0 & 0 & 0 \\
    0 & 0 & 0 & \tfrac{2(1+\nu_{\rm yz})}{E_{\rm y}} & 0 & 0 \\
    0 & 0 & 0 & 0 & \tfrac{1}{G_{\rm xy}} & 0 \\
    0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \tfrac{1}{G_{\rm xy}} \\
    \end{bmatrix}
  \begin{bmatrix}
    \sigma_{\rm xx} \\ \sigma_{\rm yy} \\ \sigma_{\rm zz} \\ \sigma_{\rm yz} \\ \sigma_{\rm zx} \\ \sigma_{\rm xy}
  \end{bmatrix}
 </math>
{{پایان چپ‌چین}}

== پایهٔ ترمودینامیکی قانون هوک ==
تغییر شکل‌های خطی مواد کشسان را می‌توان به مفهوم [[فرایند بی‌دررو]] نزدیک دانست. با فرض این وضعیت و برای فرایندهای شِبهِ ایستا، [[قانون اول ترمودینامیک]] برای یک حجم تغییر شکل یافته به صورت زیر گفته می‌شود:
{{چپ‌چین}}
:<math>
   \delta W = \delta U\,
 </math>
{{پایان چپ‌چین}}
که در آن <math>\delta U</math> [[انرژی درونی]] افزایش یافته و <math>\delta W</math> [[کار (فیزیک)|کار]] انجام شده بوسیلهٔ نیروی خارجی است. اجزای کار را می‌توان به صورت زیر از هم جدا کرد:
{{چپ‌چین}}
:<math>
   \delta W = \delta W_s + \delta W_b\,
 </math>
{{پایان چپ‌چین}}
که در آن <math>\delta W_s</math> کار انجام شده بوسیلهٔ [[نیروی سطحی]] است و <math>\delta W_b</math> کار انجام شده بوسیلهٔ [[نیروی حجمی]] است. اگر <math>\delta\mathbf{u}</math> تغییرات میدان جابجایی <math>\mathbf{u}</math> در حجم باشد؛ در نتیجه دو بخش کار خارجی به صورت زیر توضیح داده می‌شود:
{{چپ‌چین}}
:<math>
   \delta W_s = \int_{\partial\Omega} \mathbf{t}\cdot\delta\mathbf{u}~{\rm dS} ~;~~
   \delta W_b = \int_{\Omega} \mathbf{b}\cdot\delta\mathbf{u}~{\rm dV}
 </math>
{{پایان چپ‌چین}}
که در آن <math>\mathbf{t}</math> بردار نیروی سطحی و <math>\mathbf{b}</math>  بردار نیروی حجمی و <math>\Omega\,</math> نشان دهندهٔ یک حجم و <math>\partial\Omega</math> نشانهٔ سطح آن است. حال از رابطهٔ تنش <math>\mathbf{t} = \mathbf{n}\cdot\boldsymbol{\sigma}</math> (که در آن <math>\mathbf{n}</math> بردار عمود بر سطح رو به بیرون <math>\partial\Omega</math> است) استفاده می‌کنیم و خواهیم داشت:
{{چپ‌چین}}
:<math>
   \delta W = \delta U = \int_{\partial\Omega} (\mathbf{n}\cdot\boldsymbol{\sigma})\cdot\delta\mathbf{u}~{\rm dS} + \int_{\Omega} \mathbf{b}\cdot\delta\mathbf{u}~{\rm dV}
 </math>
{{پایان چپ‌چین}}
با تبدیل [[انتگرال سطحی]] به [[انتگرال حجمی]] با استفاده از نظریهٔ [[دیورژانس]] خواهیم داشت:
{{چپ‌چین}}
:<math>
   \delta U = \int_{\Omega} [\boldsymbol{\nabla}\cdot(\boldsymbol{\sigma}\cdot\delta\mathbf{u}) + \mathbf{b}\cdot\delta\mathbf{u}]~ {\rm dV} ~.
 </math>
{{پایان چپ‌چین}}
با کاربرد تنش کوشی:
{{چپ‌چین}}
:<math>
\boldsymbol{\nabla}\cdot(\boldsymbol{A}\cdot\mathbf{b}) = (\boldsymbol{\nabla}\cdot\boldsymbol{A})\cdot\mathbf{b}+
\tfrac{1}{2}[\boldsymbol{A}^T:\boldsymbol{\nabla}\mathbf{b}+
             \boldsymbol{A}:(\boldsymbol{\nabla}\mathbf{b})^T]
</math>
{{پایان چپ‌چین}}
داریم:
{{چپ‌چین}}
:<math>
   \delta U = \int_{\Omega} [\boldsymbol{\sigma}:
\tfrac{1}{2}\{\boldsymbol{\nabla}\delta\mathbf{u}+(\boldsymbol{\nabla}\delta\mathbf{u})^T\} + \{\boldsymbol{\nabla}\cdot\boldsymbol{\sigma}+\mathbf{b}\}\cdot\delta\mathbf{u}]~{\rm dV} ~.
 </math>
{{پایان چپ‌چین}}
از تعریف کرنش و معادلات تعادل بدست می‌آید که:
{{چپ‌چین}}
:<math>
   \delta\boldsymbol{\epsilon} = \tfrac{1}{2}[\boldsymbol{\nabla}\delta\mathbf{u}+(\boldsymbol{\nabla}\delta\mathbf{u})^T] ~;~~
\boldsymbol{\nabla}\cdot\boldsymbol{\sigma}+\mathbf{b}=\mathbf{0} ~.
 </math>
{{پایان چپ‌چین}}
بنابراین می‌توان نوشت:
{{چپ‌چین}}
:<math>
   \delta U = \int_{\Omega} \boldsymbol{\sigma}:\delta\boldsymbol{\epsilon}~{\rm dV}
 </math>
{{پایان چپ‌چین}}
پس برای تغییرات چگالی انرژی درونی داریم:
{{چپ‌چین}}
:<math>
   \delta U_0 = \boldsymbol{\sigma}:\delta\boldsymbol{\epsilon} ~.
 </math>
{{پایان چپ‌چین}}
یک مادهٔ [[کشسانی|کشسان]] ماده‌ای است که در آن تمامی انرژی درونی برابر است با [[انرژی پتانسیل]] نیروهای درونی (همچنین آن را '''انرژی تغییر شکل‌های کشسان''' نیز می‌نامند) بنابراین چگالی انرژی درونی تابعی از تغییر شکل‌ها <math>U_0 = U_0(\boldsymbol{\epsilon})</math>  می‌باشد. تغییرات انرژی درونی را به صورت زیر می‌توان نوشت:
{{چپ‌چین}}
:<math>
   \delta U_0 = \cfrac{\partial U_0}{\partial\boldsymbol{\epsilon}}:\delta\boldsymbol{\epsilon} ~.
 </math>
{{پایان چپ‌چین}}
از آن جایی که تغییرات کرنش دلخواه است، رابطهٔ تنش - کرنش یک مادهٔ کشسان به صورت زیر داده می‌شود:
{{چپ‌چین}}
:<math>
   \boldsymbol{\sigma} = \cfrac{\partial U_0}{\partial\boldsymbol{\epsilon}}~.
 </math>
{{پایان چپ‌چین}}
برای یک مادهٔ کشسان خطی، کمیت <math>\partial U_0/\partial\boldsymbol{\epsilon}</math> یک [[تابع خطی]] از <math>\boldsymbol{\epsilon}</math> است پس می‌توان آن را به شکل زیر نوشت:
{{چپ‌چین}}
:<math>
   \boldsymbol{\sigma} = \mathsf{c}:\boldsymbol{\epsilon}
 </math>
{{پایان چپ‌چین}}
که در آن <math>\mathsf{c}</math> یک تانسور مرتبه چهارم از ثابت‌های ماده‌است که آن را '''تانسور سفتی''' نیز می‌نامند.

== جستارهای وابسته ==
* [[تنش (فیزیک)]]
* [[مکانیک جامدات]]
* [[نسبت پواسون|ضریب پواسون]]
* [[فرم درجه دوم]]
* [[تسلیم (مهندسی)]]
* [[کشسانی]]

== یادداشت و منبع ==
{{چپ‌چین}}
{{پانویس|۲}}
* A.C. Ugural, S.K. Fenster, ''Advanced Strength and Applied Elasticity'', 4th ed
{{پایان چپ‌چین}}

== پپوند به بیرون ==
* [http://webphysics.davidson.edu/applets/animator4/demo_hook.html استفاده از جاوا برای نمایش حرکت‌ها در قانون هوک] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20080418002531/http://webphysics.davidson.edu/applets/animator4/demo_hook.html |date=18 آوریل 2008 }}
{{مدول‌های کشسانی}}

[[رده:کشسانی]]
[[رده:علم در ۱۶۶۰ (میلادی)]]
[[رده:مکانیک محیط‌های پیوسته]]
[[رده:فنرها]]
[[رده:تحلیل سازه‌ها]]
[[رده:علم در ۱۶۷۶ (میلادی)]]