نمایش مبدأ برای فرمول لایبنیتس برای دترمینان

{{تمیزکاری}}

در [[جبر]]، '''فرمولِ لایبنیتس'''، [[دترمینان|دترمینانِ]] یک [[ماتریس مربعی]] <math>A = (a_{ij})_{i,j = 1, \dots, n}</math> را نشان می‌دهد. فرمول به افتخارِ [[گوتفرید لایبنیتس]] ریاضی‌دانِ آلمانی نام‌گذاری شده‌است و عبارت است از:

:<math>\det(A) = \sum_{\sigma \in S_n} \sgn(\sigma) \prod_{i = 1}^n a_{i,\sigma(i)}</math>

برایِ یک ماتریسِ ''n''×''n'' که sgn [[تابع علامت|تابع علامتِ]] مخصوصِ [[جایگشت|جایگشت‌ها]] در [[گروه جایگشت|گروه جایگشت‌هایِ]] ''S''<sub>''n''</sub> است که مقدارِ +۱ یا -۱ را به ترتیب برایِ [[جایگشت زوج یا فرد|جایگشت‌های زوج یا جایگشت‌هایِ فرد]] برمی‌گرداند.

یک شیوه‌ی رایج دیگر از نشان‌گذاری آن، استفاده از [[نماد لوی-چیویتا]] است که با [[قرارداد جمع‌زنی اینشتین]] به رابطه‌ی زیر تبدیل می‌شود:
:<math>\det(A)=\epsilon^{i_1\cdots i_n}{A}_{1i_1}\cdots {A}_{ni_n},</math>
که در بین فیزیک‌دانان کاربرد بیشتری دارد.

== اثبات ==
'''قضیه'''
تنها یک تابع چون
:<math> F : \mathfrak M_n (\mathbb K) \longrightarrow \mathbb K </math>
وجود دارد که پادمتقارن است، نسبت به ستون‌ها خطی است و مقدار آن به ازایِ [[ماتریس همانی]] برابر است با ۱:
<math>F(I) = 1</math>.

'''یکتایی:''' فرض می‌کنیم که <math>F</math> چنین تابعی باشد و قرار می‌دهیم <math>A = (a_i^j)_{i = 1, \dots, n}^{j = 1, \dots , n}</math> که یک ماتریسِ <math>n \times n</math> است. <math>A^j</math> را به عنوانِ <math>j</math>ام از ماتریسِ <math>A</math> می‌خوانیم به عنوان مثال <math>A^j = (a_i^j)_{i = 1, \dots , n}</math>. بنابراین داریم: <math>A = \left(A^1, \dots, A^n\right).</math>

هم‌چنین قرارداد می‌کنیم که <math>E^k</math> ستونِ <math>k</math>ام از ماتریسِ یکه را نشان دهد.

حال می‌توانیم هر یک از ستون‌هایِ <math>A^j</math>را بر حسب <math>E^k</math> نمایش دهیم:

:<math>A^j = \sum_{k = 1}^n a_k^j E^k</math>.

از آن‌جا که <math>F</math> خطی است داریم:

:<math>
\begin{align}
F(A)& = F\left(\sum_{k_1 = 1}^n a_{k_1}^1 E^{k_1}, A^2, \dots, A^n\right)\\
& = \sum_{k_1 = 1}^n a_{k_1}^1 F\left(E^{k_1}, A^2, \dots, A^n\right)\\
& = \sum_{k_1 = 1}^n a_{k_1}^1 \sum_{k_2 = 1}^n a_{k_2}^2 F\left(E^{k_1}, E^{k_2}, A^3, \dots, A^n\right)\\
& = \sum_{k_1, k_2 = 1}^n \left(\prod_{i = 1}^2 a_{k_i}^i\right) F\left(E^{k_1}, E^{k_2}, A^3, \dots, A^n\right)\\
& = \cdots\\
& = \sum_{k_1, \dots, k_n = 1}^n \left(\prod_{i = 1}^n a_{k_i}^i\right) F\left(E^{k_1}, \dots, E^{k_n}\right).
\end{align}
</math>

از پادمتقارن بودن ماتریس نتیجه می‌گیریم که اگر <math>k_1 = k_2</math> آن‌گاه:

:<math>
\begin{align}\\
 F\left(\dots,E^{k_1},\dots,E^{k_2},\dots\right)  &= -F\left(\dots,E^{k_2},\dots,E^{k_1},\dots\right)\\
 F\left(\dots,E^{k_1},\dots,E^{k_2},\dots\right)  &= -F\left(\dots,E^{k_1},\dots,E^{k_2},\dots\right)\\
 F\left(\dots,E^{k_1},\dots,E^{k_2},\dots\right)  &= 0
\end{align}
</math>

As the above sum takes into account all the possible choices of ordered <math>n</math>-tuples <math>\left(k_1, \dots , k_n\right)</math>، and because <math>k_{i_1} = k_{i_2}</math> implies that F is zero, the sum can be reduced from all tuples to [[جایگشت]] as

:<math>\sum_{\sigma \in \mathfrak S_n} \left(\prod_{i = 1}^n a_{\sigma(i)}^i\right) F(E^{\sigma(1)}, \dots , E^{\sigma(n)}).</math>

Because F is alternating, the columns <math>E</math> can be swapped until it becomes the identity. The [[Even and odd permutations|sign function]] <math>\sgn(\sigma)</math> is defined to count the number of swaps necessary and account for the resulting sign change. One finally gets:

:<math>
\begin{align}
F(A)& = \sum_{\sigma \in \mathfrak S_n} \sgn(\sigma) \left(\prod_{i = 1}^n a_{\sigma(i)}^i\right) F(I)\\
& = \sum_{\sigma \in \mathfrak S_n} \sgn(\sigma) \prod_{i = 1}^n a_{\sigma(i)}^i
\end{align}
</math>

as <math>F(I)</math> is required to be equal to <math>1</math>.

Therefore no function besides the function defined by the Leibniz Formula is a multilinear alternating function with <math>F\left(I\right)=1</math>.

'''Existence:''' We now show that F, where F is the function defined by the Leibniz formula, has these three properties.

[[Multilinear]]:
:<math>
\begin{align}
F(A^0, \dots, cA^j, \dots) & = \sum_{\sigma \in \mathfrak S_n} \sgn(\sigma) ca_{\sigma(j)}^j\prod_{i = 1, i \neq j}^n a_{\sigma(i)}^i\\
& = c \sum_{\sigma \in \mathfrak S_n} \sgn(\sigma) a_{\sigma(j)}^j\prod_{i = 1, i \neq j}^n a_{\sigma(i)}^i\\
&=c F(A^0, \dots, A^j, \dots)\\
\\
F(A^0, \dots, b+A^j, \dots) & = \sum_{\sigma \in \mathfrak S_n} \sgn(\sigma)\left(b_j + a_{\sigma(j)}^j\right)\prod_{i = 1, i \neq j}^n a_{\sigma(i)}^i\\
& = \sum_{\sigma \in \mathfrak S_n} \sgn(\sigma)
\left( \left(b_j\prod_{i = 1, i \neq j}^n a_{\sigma(i)}^i\right) + \left(a_{\sigma(j)}^j\prod_{i = 1, i \neq j}^n a_{\sigma(i)}^i\right)\right)\\
& = \left(\sum_{\sigma \in \mathfrak S_n} \sgn(\sigma) b_j\prod_{i = 1, i \neq j}^n a_{\sigma(i)}^i\right) 
  + \left(\sum_{\sigma \in \mathfrak S_n} \sgn(\sigma) \prod_{i = 1}^n a_{\sigma(i)}^i\right)\\
&= F(A^0, \dots, b, \dots) + F(A^0, \dots, A^j, \dots)\\
\\
\end{align}
</math>

[[Alternatization|Alternating]]:

:<math>
\begin{align}
F(\dots, A^{j_1}, \dots, A^{j_2}, \dots)
& = \sum_{\sigma \in \mathfrak S_n} \sgn(\sigma) \left(\prod_{i = 1, i \neq j_1, i\neq j_2}^n a_{\sigma(i)}^i\right) a_{\sigma(j_1)}^{j_1} a_{\sigma(j_2)}^{j_2}\\
\end{align}
</math>
Now let <math>\omega</math> be the tuple equal to <math>\sigma</math> with the <math>j_1</math> and <math>j_2</math> indices switched. It follows from the definition of <math>\sgn</math> that <math>\sgn(\sigma) = -sgn(\omega)</math>.
:<math>
\begin{align}\\
F(\dots, A^{j_1}, \dots, A^{j_2}, \dots)
& = \sum_{\omega \in \mathfrak S_n} -\sgn(\omega) \left(\prod_{i = 1, i \neq j_1, i\neq j_2}^n a_{\omega(i)}^i\right) a_{\omega(j_1)}^{j_1} a_{\omega(j_2)}^{j_2}\\
& = -F(\dots, A^{j_2}, \dots, A^{j_1}, \dots)\\
\\
\end{align}
</math>
Finally، <math>F(I)=1</math>:
:<math>
\begin{align}\\
F(I) & = \sum_{\sigma \in \mathfrak S_n} \sgn(\sigma) \prod_{i = 1}^n I_{\sigma(i)}^i\\
& = \sum_{\sigma = (1,2,\dots,n)} \prod_{i = 1}^n I_{i}^i\\
& = 1
\end{align}
</math>

Thus the only functions which are multilinear alternating with <math>F(I)=1</math> are restricted to the function defined by the Leibniz formula, and it in fact also has these three properties. Hence the determinant can be defined as the only function

:<math> \det : \mathfrak M_n (\mathbb K) \longrightarrow \mathbb K </math>

with these three properties.

== منابع ==
* {{Springer|title=Determinant|id=D/d031410}}
* Lloyd N. Trefethen and David Bau، ''Numerical Linear Algebra'' (SIAM، 1997).

[[رده:جبر خطی]]
[[رده:دترمینان]]
[[رده:گوتفرید لایبنیتس]]