نمایش مبدأ برای ضرب هادامار (ماتریس‌ها)

'''ضرب هادامار''' ({{Lang-en|Hadamard product}}) یا '''ضرب درایه‌ای''' [[ریاضیات]]، [[عمل دوتایی]] است که دو [[ماتریس]] با ابعاد یکسان را گرفته و ماتریس دیگری تولید می‌کند که هر درایهٔ ''<math>ij</math>''  آن حاصلضرب درایه‌های ''<math>ij</math>''  آن دو ماتریس است. این ضرب را نباید با [[ضرب ماتریس|حاصلضرب]] رایجتر ماتریسها اشتباه گرفت. این ضرب به افتخار ریاضیدان فرانسوی [[ژاک آدامار]]، یا ریاضیدان آلمانی [[ایسای شور]] نامگذاری شده‌است.<ref name=":0">{{Cite web|date=2020-03-25|title=Comprehensive List of Algebra Symbols|url=https://mathvault.ca/hub/higher-math/math-symbols/algebra-symbols/|access-date=2020-09-06|website=Math Vault|language=en-US}}</ref>[[پرونده:Hadamard product qtl1.svg|بندانگشتی|ضرب هادامار.]]

== تعریف ==
برای دو ماتریس <math>A</math> و <math>B</math> که دارای ابعاد <math>m \times n</math>  هستند،<ref name=":1">{{Cite web|last=Million|first=Elizabeth|date=April 12, 2007|title=The Hadamard Product|url=http://buzzard.ups.edu/courses/2007spring/projects/million-paper.pdf|url-status=live|archive-url=|archive-date=|access-date=September 6, 2020|website=buzzard.ups.edu}}</ref> ضرب هادامار آنها که با <math>A \circ B</math> و یا <math>A \odot B</math><ref name=":02">{{Cite web|date=2020-03-25|title=Comprehensive List of Algebra Symbols|url=https://mathvault.ca/hub/higher-math/math-symbols/algebra-symbols/|access-date=2020-09-06|website=Math Vault|language=en-US}}</ref><ref>{{cite web|url=https://machinelearning.wtf/terms/hadamard-product/|title=Hadamard product - Machine Learning Glossary|website=machinelearning.wtf}}</ref><ref>{{cite web|url=https://math.stackexchange.com/q/815315|title=linear algebra - What does a dot in a circle mean?|website=Mathematics Stack Exchange}}</ref><ref>{{cite web|url=https://math.stackexchange.com/a/601545/688715|title=Element-wise (or pointwise) operations notation?|website=Mathematics Stack Exchange}}</ref> نمایش داده می‌شود ماتریسی با همان ابعاد (یعنی <math>m \times n</math>) است که مقادیر آن به نحو پایین محاسبه می‌شوند:
{{وسطچین}}
: <math>(A \circ B)_{ij} = (A \odot B)_{ij} = (A)_{ij} (B)_{ij}.</math>
{{پایان وسط‌چین}}
برای ماتریسهایی که ابعاد متفاوت دارند این ضرب تعریف نشده‌است.

== مثال ==
برای دو ماتریس <math>A</math> و <math>B</math> پایین که ابعاد <math>3 \times 3</math> دارند ضرب هادامار آنها برابر است با:
{{وسط‌چین}}
<math>
  \begin{bmatrix}
    a_{11} & a_{12} & a_{13}\\
    a_{21} & a_{22} & a_{23}\\
    a_{31} & a_{32} & a_{33}
  \end{bmatrix} \circ \begin{bmatrix}
    b_{11} & b_{12} & b_{13}\\
    b_{21} & b_{22} & b_{23}\\
    b_{31} & b_{32} & b_{33}
  \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
    a_{11}\, b_{11} & a_{12}\, b_{12} & a_{13}\, b_{13}\\
    a_{21}\, b_{21} & a_{22}\, b_{22} & a_{23}\, b_{23}\\
    a_{31}\, b_{31} & a_{32}\, b_{32} & a_{33}\, b_{33}
  \end{bmatrix}.
</math>
{{پایان وسط‌چین}}

== ویژگی‌ها ==
* اگر <math>A</math> و <math>B</math> ماتریسهایی با ابعاد یکسان باشند [[رتبه (جبر خطی)|رتبه]] ضرب هادامار از ضرب رتبه‌های دو ماتریس بیشتر نیست: 
{{وسط‌چین}}
<math>\operatorname{rank}(\mathbf{A} \circ \mathbf{B}) \leq \operatorname{rank}(\mathbf{A}) \operatorname{rank}(\mathbf{B}) </math>
{{پایان وسط‌چین}}
* اگر <math>A</math> و <math>B</math> و <math>C</math>  ماتریسهایی با ابعاد یکسان باشند و  <math>k</math>  یک [[عدد حقیقی]] باشید آنگاه:
{{وسط‌چین}}
<math>\begin{align}
  &\mathbf{A} \circ \mathbf{B} = \mathbf{B} \circ \mathbf{A}, \\
  &\mathbf{A} \circ (\mathbf{B} \circ \mathbf{C}) = (\mathbf{A} \circ \mathbf{B}) \circ \mathbf{C}, \\
  &\mathbf{A} \circ (\mathbf{B} + \mathbf{C}) = \mathbf{A} \circ \mathbf{B} + \mathbf{A} \circ \mathbf{C}, \\
  &\left(k\mathbf{A}\right) \circ \mathbf{B} = \mathbf{A} \circ \left(k\mathbf{B}\right) = k\left(\mathbf{A} \circ \mathbf{B}\right), \\
  &\mathbf{A} \circ \mathbf{0} = \mathbf{0} \circ \mathbf{A} = \mathbf{0}.
\end{align}</math>
{{پایان وسط‌چین}}
* برای بردارهای <math>x</math> و <math>y</math>  و ماتریسهای قطری آنها <math>D_x</math> و <math>D_y</math>  روابط پایین برقرار است:<ref name="HornJohnson">{{cite book|last1=Horn|first1=Roger A.|first2=Charles R.|last2=Johnson|title=Matrix analysis|publisher=Cambridge University Press|date=2012}}</ref>
{{وسط‌چین}}
<math>\mathbf{x}^*(\mathbf{A} \circ \mathbf{B})\mathbf{y} = \mathrm{tr}\left(\mathbf{D}_\mathbf{x}^* \mathbf{A} \mathbf{D}_\mathbf{y} \mathbf{B}^\mathsf{T}\right),</math>
{{پایان وسط‌چین}}
{{وسط‌چین}}
<math>\begin{align}
  \sum_i (A \circ B)_{ij} &= \left(B^\mathsf{T}A\right)_{jj} \\
                          &= \left(AB^\mathsf{T}\right)_{ii}.
\end{align}</math>
{{پایان وسط‌چین}}
{{وسط‌چین}}
<math>\left(\mathbf{y}\mathbf{x}^*\right) \circ \mathbf{A} = \mathbf{D}_\mathbf{y} \mathbf{A} \mathbf{D}_\mathbf{x}^*</math>
{{پایان وسط‌چین}}
* برای [[مقدارویژه و بردارویژه|مقادیر ویژه]] ماتریسهای <math>A</math> و <math>B</math> رابطه پایین برقرار است، در اینجا <math>\lambda_i(A)</math> <math>i</math> -امین مقدار ویژه ماتریس <math>A</math> است:<ref>{{cite journal|last1=Hiai|first1=Fumio|last2=Lin|first2=Minghua|date=February 2017|title=On an eigenvalue inequality involving the Hadamard product|journal=Linear Algebra and Its Applications|volume=515|pages=313–320|doi=10.1016/j.laa.2016.11.017}}</ref>
{{وسط‌چین}}
<math>\prod_{i=k}^n \lambda_i(\mathbf{A} \circ \mathbf{B}) \ge \prod_{i=k}^n \lambda_i(\mathbf{A} \mathbf{B}),\quad k=1,\ldots,n,</math>
{{پایان وسط‌چین}}
== منابع ==
{{پانویس|۲|چپ‌چین=بله}}
[[رده:نظریه ماتریس‌ها]]