نمایش مبدأ برای ضرب اویلر

در نظریه اعداد، '''ضرب اویلر''' {{انگلیسی|Euler Product}}، بسطی از [[سری دیریکله]] به یک ضرب نامتناهی است که توسط [[اعداد اول]] اندیس گذاری شده‌اند. اصل چنین ضرب‌هایی توسط [[لئونارد اویلر]] در اثبات نمایشی از [[تابع زتای ددکیند|زتای ددکیند]] توسط این نوع ضرب‌ها ارائه گشت. این سری و [[ادامه تحلیلی]] آن به کل [[صفحه مختلط]] بعدها به [[تابع زتای ریمان]] معروف شد.

== تعریف ==
در کل، اگر <math>a</math> یک [[تابع ضربی]] کراندار باشد، سری دیریکله آن به صورت زیر است:

: <math>\sum_{n} a(n)n^{-s}\,</math>

که سری فوق با ضرب زیر نیز برابر است:

: <math>\prod_{p} P(p, s)\,</math> برای Re(s)>1

که ضرب روی اعداد اول <math>p</math> گرفته شده و <math>P(p, s)</math> جمع زیر است:

: <math>1+a(p)p^{-s} + a(p^2)p^{-2s} + \cdots .</math>

در حقیقت، اگر ما این فرمول‌ها را به عنوان توابع مولد صوری در نظر بگیریم، وجود بسط ضرب اویلر ''صوری'' [[اگر و تنها اگر|شرط لازم و کافی]] برای ضربی بودن <math>a(n)</math> خواهد بود: این مطلب بیان می‌دارد که دقیقاً هنگامی که <math>n</math> به صورت ضرب توان‌های <math>p^k</math> از اعداد اول متمایز <math>p</math> باشد، <math>a(n)</math> به صورت ضرب <math>a(p^k)</math>ها خواهد بود.

یک حالت خاص مهم زمانی است که <math>a(n)</math> کاملاً ضربی بوده، چنان‌که <math>P(p, s)</math> [[سری هندسی]] باشد. سپس خواهیم داشت:

: <math>P(p, s)=\frac{1}{1-a(p)p^{-s}},</math>

همچون تابع زتای ریمان که در آن <math>a(n) = 1</math> است و برای حالت کلی تر [[کاراکتر دیریکله|کاراکترهای دیریکله]] نیز برقرار است.

== ارجاعات ==
{{یادکرد-ویکی|پیوند=https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Euler_product&oldid=1007109271|عنوان=Euler Product|زبان=انگلیسی|بازیابی=۲۳ آوریل ۲۰۲۱}}{{پانویس|چپ‌چین=بله}}

== منابع ==
{{چپ‌چین}}
* [[G. Polya]], ''Induction and Analogy in Mathematics Volume 1'' Princeton University Press (1954) L.C. Card 53-6388 ''(A very accessible English translation of Euler's memoir regarding this "Most Extraordinary Law of the Numbers" appears starting on page 91)''
* {{Apostol IANT}} ''(Provides an introductory discussion of the Euler product in the context of classical number theory.)''
* [[G.H. Hardy]] and [[E.M. Wright]], ''An introduction to the theory of numbers'', 5th ed. , Oxford (1979) {{isbn|0-19-853171-0}} ''(Chapter 17 gives further examples.)''
* George E. Andrews, Bruce C. Berndt, ''Ramanujan's Lost Notebook: Part I'', Springer (2005), {{isbn|0-387-25529-X}}
* G. Niklasch, ''Some number theoretical constants: 1000-digit values"
{{پایان چپ‌چین}}

== پیوند به بیرون ==
{{چپ‌چین}}
* {{PlanetMath reference|id=5609|title=Euler product}}
* {{Springer|title=Euler product|id=p/e036560}}
* {{MathWorld|urlname=EulerProduct|title=Euler Product}}
* {{Cite web|last1=Niklasch|first1=G.|title=Some number-theoretical constants|date=23 Aug 2002|url=http://www.gn-50uma.de/alula/essays/Moree/Moree.en.shtml|archiveurl=https://web.archive.org/web/20060612212955/http://gn-50uma.de/alula/essays/Moree/Moree.en.shtml|archivedate=12 June 2006}}
{{پایان چپ‌چین}}
{{داده‌های کتابخانه‌ای}}

[[رده:توابع زتا و ال]]
[[رده:ثابت‌های ریاضی]]
[[رده:ضرب‌های بی‌نهایت]]
[[رده:نظریه تحلیلی اعداد]]