نمایش مبدأ برای سری دو جمله‌ای

'''سری دوجمله‌ای''' یک [[سری توانی]] است که در [[بسط دوجمله‌ای]] برای [[عدد مختلط|اعداد مختلط]] ظاهر می‌شود:

: <math>(x+y)^\alpha = \sum_{k=0}^\infty {\alpha \choose k}x^{\alpha-k}y^k</math> .<ref>{{Internetquelle|autor=Eric W. Weissstein|url=http://mathworld.wolfram.com/BinomialSeries.html|titel=Binomial Series|werk=MathWorld--A Wolfram Web Resource|hrsg=|datum=|zugriff=2019-07-10|sprache=en}}</ref>

اگر <math> \alpha </math> عددی صحیح و منفی نباشد (<math> \alpha\ge 0 </math>) تعداد ضرایب بسط دو جمله‌ای محدود و با <math> \alpha + 1 </math> برابر خواهد بود. در این حالت خاص ضرایب سری همان ضرایب [[ضریب دوجمله‌ای|سری دو جمله‌ای]] هستند.

در حالت کلی‌تر ضرایب با عبارت پایین برابر خواهند بود؛ در اینجا <math>\alpha^{\underline{k}}</math> همان [[فاکتوریل افتان]] است:
{{وسط‌چین}}
<math>
 {\alpha \choose k} = \frac{\alpha^{\underline{k}}}{k!} = \frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)\cdots(\alpha-k+1)}{k!}
 </math>
{{پایان وسط‌چین}}
[[سری مکلورن]] موردی خاص از سری دوجمله‌ای است. در اینجا <math>f(x) = (1+x)^\alpha,\;|x| < 1,\,\alpha \in \mathbb{C}</math> که به عبارت پایین بسط پیدا می‌کند:<ref>I. Bronstein, K. Semendjajew et al. : ''Taschenbuch der Mathematik''. Verlag Harri Deutsch, Frankfurt am Main 2005, [[Spezial:ISBN -Suche/3817120060|ISBN 3-8171-2006-0]], S. 434.</ref>
{{وسط‌چین}}
: <math>(1+x)^\alpha = \sum_{k=0}^\infty {\alpha \choose k}\cdot x^k</math> .
{{پایان وسط‌چین}}

== تاریخ ==
[[عمر خیام]] برای اولین بار سری دوجمله‌ای را برای کل اعداد مثبت در سال ۱۰۷۸ میلادی کشف کرد، این فرمول همان [[بسط دوجمله‌ای|بسط دو جمله‌ای]]<math>(a+b)^n</math> است.<ref>Kennedy, E. (1958). “Omar Khayyam”. ''The Mathematics Teacher'', Vol. 59, No. 2 (1966), pp. 140–142.</ref> [[آیزاک نیوتن|نیوتن]] در سال ۱۶۶۹ میلادی سری دو جمله‌ای <math>(1+x)^{\alpha}</math> را برای هر عدد حقیقی <math>\alpha</math> و تمام مقادیر حقیقی <math>x</math> در فاصله <math>\left]-1,1\right[</math> محاسبه کرد.<ref>{{یادکرد وب|عنوان=Newton binomial - Encyclopedia of Mathematics|نشانی=https://encyclopediaofmath.org/index.php?title=Newton_binomial|وبگاه=encyclopediaofmath.org|بازبینی=2020-11-14}}</ref> [[نیلس هنریک آبل|آبل]] در سال ۱۸۶۲ میلادی سری دوجمله‌ای را برای <math>\alpha, x\in\mathbb C</math> محاسبه کرد؛ او ثابت کرد که اگر <math>\alpha\in\mathbb C\setminus\mathbb N</math> باشد شعاع همگراییِ سری ۱ خواهد بود.<ref>Arfken, G. ''Mathematical Methods for Physicists, 3rd ed.'' Orlando, FL: Academic Press, p. 773, 1985.</ref>

== رابطه با سری هندسی ==
[[سری هندسی]] حالتی خاص از سری دو جمله‌ای است. اگر <math>\alpha=-1</math> و <math>x</math> را با <math>-x</math> جایگزین کنیم به عبارت پایین می‌رسیم که همان سری هندسی است؛ در اینجا <math>\tbinom{-1}{k}=(-1)^k</math> است:
{{وسط‌چین}}
: <math>\frac{1}{1-x}=\sum_{k=0}^\infty {-1\choose k} (-x)^k\,.</math>
{{پایان وسط‌چین}}

== شرایط همگرایی ==
با فرض اینکه <math>|x|=1</math>  و  <math>\alpha\in\mathbb{C}\setminus\mathbb{N}</math>  موارد ذیل را می‌توان اثبات کرد:<ref>[[:de:Otto_Forster|Otto Forster]]: ''Analysis'' Band 1: ''Differential- und Integralrechnung einer Veränderlichen.'' Vieweg-Verlag, 8. &nbsp;Aufl. 2006, [[:de:Spezial:ISBN -Suche/3528672242|ISBN 3-528-67224-2]].</ref>
* <math>\textstyle \sum_{k=0}^\infty \binom{\alpha}{k} x^k</math> [[همگرایی|مطلقاً همگرا]] خواهد بود اگر و تنها اگر  <math>\operatorname{Re}(\alpha)>0</math>  یا  <math>\alpha=0</math>.
* برای <math>x \neq -1</math>  سری مطلقاً همگرا خواهد بود اگر و تنها اگر <math>\operatorname{Re}(\alpha)>-1</math>
* برای <math>x=-1</math> سری مطلقاً همگرا خواهد بود اگر و تنها اگر  <math>\operatorname{Re}(\alpha)>0</math>  یا  <math>\alpha=0</math>.

== مثال‌ها ==
*<math>(1+x)^2 = \binom{2}{0} x^0 + \binom{2}{1} x^1 + \binom{2}{2} x^2 = 1 + 2x + x^2</math>{{وسط‌چین}}
* {{پایان وسط‌چین}}<math>\frac{1}{1+x} = (1+x)^{-1} = \sum_{k=0}^\infty \binom{-1}{k} x^k = \sum_{k=0}^\infty (-x)^k = 1 - x + x^2 - x^3 + x^4 - x^5 + \dotsb</math>{{وسط‌چین}}
* {{پایان وسط‌چین}}<math>\sqrt{1+x} = (1+x)^{1/2} = \sum_{k=0}^\infty \binom{1/2}{k} x^k = 1 + \frac x2 - \frac{x^2}8 + \frac{x^3}{16} - \frac{5x^4}{128} + \frac{7x^5}{256} - \dotsb</math>{{وسط‌چین}}
* {{پایان وسط‌چین}}<math>\frac{1}{\sqrt{1-x}} = (1-x)^{-1/2} = \sum_{k=0}^\infty (-1)^k \binom{-1/2}{k} x^k = 1 + \frac x2 + \frac{3x^2}2 + \frac{5x^3}6 + \frac{35x^4}{128} + \frac{63x^5}{256} + \dotsb</math>{{وسط‌چین}}

== جستارهای وابسته ==
* [[بسط دوجمله‌ای|بسط دو جمله‌ای]]
* [[سری هندسی]]
* [[سری مکلورن]]

== منابع ==
{{پانویس|۲|چپ‌چین=بله}}
{{موضوعات حسابان}}
[[رده:آنالیز حقیقی]]
[[رده:آنالیز مختلط]]
[[رده:دنباله‌ها و سری‌ها]]
[[رده:سری‌های ریاضی]]
[[رده:موضوعات فاکتوریل و دوجمله‌ای]]