نمایش مبدأ برای زیرگروه نرمال

{{نوارکناری نظریه گروه|پایه‌ها}}
در [[جبر مجرد]]، یک '''زیرگروه نرمال''' {{به انگلیسی|Normal Subgroup}} (که به آن '''زیرگروه ناوردا''' یا '''زیرگروه خود-الحاقی''' نیز می‌گویند){{sfn|Bradley|2010|p=12}} [[زیرگروه|زیرگروهی]] است که تحت مزدوج‌گیری توسط اعضای گروهی که داخل آن قرار دارد [[ناوردا]]<nowiki/>ست. به بیان دیگر، یک زیرگروه <math>N</math> از گروهی چون <math>G</math> در <math>G</math> نرمال است [[اگر و تنها اگر]] برای تمام <math>g\in G</math> و <math>n\in N</math> نتیجه شود <math>gng^-1\in N</math>. نمادگذاری رایج برای زیرگروه نرمال <math>N\triangleleft G</math> است.

زیرگروه‌های نرمال مهم‌اند، چرا که آن‌ها(و فقط آن‌ها) را می‌توان برای ساخت گروه‌های خارج قسمتیِ گروهِ داده شده مورد استفاده قرار داد. به علاوه، زیرگروه‌‎های نرمال <math>G</math> دقیقاً هسته‌های [[هم‌ریختی|همریختی‌]]<nowiki/>های گروهی با دامنه <math>G</math> اند؛ لذا می‌توان از این زیرگروه‌ها به طور ذاتی برای [[طبقه‌بندی آماری|طبقه‌بندی]] چنین همریختی‌هایی بهره جست. 

[[اواریست گالوا|اواریسته گالوا]] اولین کسی بود که متوجه اهمیت وجود زیرگروه‌های نرمال شد.{{sfn|Cantrell|2000|p=160}}

== تعاریف ==
یک زیرگروه <math>N</math> از <math>G</math> را '''زیرگروه نرمال''' از <math>G</math> گویند، اگر تحت مزدوج‌گیری [[ناوردا]] باشد؛ یعنی مزدوج عنصر دلخواهی از <math>N</math> تحت عنصر دلخواهی از <math>G</math> همیشه در <math>N</math> قرار بگیرد.{{sfn|Dummit|Foote|2004}} نمادگذاری این رابطه <math>N\triangleleft G</math> است. 

=== شرایط معادل ===
برای هر زیرگروه <math>N</math> از <math>G</math>، شرایط زیر معادل‌اند با این که <math>N</math> زیر گروه نرمالی از <math>G</math> باشد. بنابراین هر کدام از آن‌ها را می‌توان به عنوان تعریف زیرگروه نرمال به کار برد:
* تصویر تزویجی (تصویر تحت مزدوج گیری) <math>N</math> تحت هر عنصر <math>G</math> زیرمجموعه‌ای از <math>N</math> باشد.{{sfn|Hungerford|2003|p=41}}
* تصویر تزویجی <math>N</math> تحت هر عنصر <math>G</math> برابر <math>N</math> باشد.{{sfn|Hungerford|2003|p=41}}
* برای تمام <math>g\in G</math>، همدسته‌های چپ و راست <math>gN</math> و <math>Ng</math> برابر باشند.{{sfn|Hungerford|2003|p=41}}
* همدسته‌های چپ و راست <math>N</math> در <math>G</math> با هم یکی شوند.{{sfn|Hungerford|2003|p=41}}
* ضرب یک عنصر از همدسته چپ <math>N</math> نسبت به <math>g</math> و یک عنصر از همدسته چپ <math>N</math> نسبت به <math>h</math>، عنصری از همدسته چپ <math>N</math> نسبت به <math>gh</math> باشد: یعنی اگر <math>\forall x, y, g, h \in G</math> از <math>x\in gN</math> و <math>y\in hN</math> نتیجه شود که <math>xy\in (gh)N</math>.
* <math>N</math> برابر اجتماع رده‌های تزویجی <math>G</math> باشد.{{sfn|Cantrell|2000|p=160}}
* <math>N</math> تحت درون‌ریختی‌های داخلی از <math>G</math> حفظ شود.{{sfn|Fraleigh|2003|p=141}}
* همریختی گروهی چون <math>G\rightarrow H</math> وجود دارد چنان که هسته آن <math>N</math> باشد.{{sfn|Cantrell|2000|p=160}}
* برای تمام <math>n\in N</math> و <math>g\in G</math>، جابجاگر <math>[n, g]=n^{-1}g^{-1}ng</math> در <math>N</math> باشد.
* هر دو عنصر گروه <math>G</math> در رابطه زیر صدق کنند:

: <math>\forall g, h\in G, gh \in N \iff hg\in N</math>

== پانویس ==
{{پانویس|چپ‌چین=بله}}

== منابع ==
{{چپ‌چین}}
*{{cite journal|last1=Bergvall|first1=Olof|last2=Hynning|first2=Elin|last3=Hedberg|first3=Mikael|last4=Mickelin|first4=Joel|last5=Masawe|first5=Patrick|date=16 May 2010|title=On Rubik's Cube|url=https://people.kth.se/~boij/kandexjobbVT11/Material/rubikscube.pdf|publisher=[[KTH Royal Institute of Technology|KTH]]}}
*{{cite book|last=Cantrell|first=C.D.|title=Modern Mathematical Methods for Physicists and Engineers|url=https://archive.org/details/modernmathematic0000cant|url-access=registration|publisher=Cambridge University Press|year=2000|isbn=978-0-521-59180-5}}
*{{cite book|last1=Dõmõsi|first1=Pál|last2=Nehaniv|first2=Chrystopher L.|title=Algebraic Theory of Automata Networks|series=SIAM Monographs on Discrete Mathematics and Applications|publisher=SIAM|year=2004}}
*{{cite book|last1=Dummit|first1=David S.|last2=Foote|first2=Richard M.|title=Abstract Algebra|publisher=John Wiley & Sons|year=2004|edition=3rd|isbn=0-471-43334-9}}
*{{cite book|last=Fraleigh|first=John B.|title=A First Course in Abstract Algebra|url=https://archive.org/details/firstcourseinabs07edfral|publisher=Addison-Wesley|year=2003|edition=7th|isbn=978-0-321-15608-2}}
*{{cite book|last=Hall|first=Marshall|title=The Theory of Groups|publisher=Chelsea Publishing|location=Providence|year=1999|isbn=978-0-8218-1967-8}}
*{{cite book|last=Hungerford|first=Thomas|title=Algebra|series=Graduate Texts in Mathematics|publisher=Springer|year=2003}}
*{{cite book|last=Judson|first=Thomas W.|title=Abstract Algebra: Theory and Applications|year=2020|url=http://abstract.ups.edu/aata/aata.html}}
*{{cite book|last=Robinson|first=Derek J. S.|title=A Course in the Theory of Groups|volume=80|series=Graduate Texts in Mathematics|publisher=[[Springer-Verlag]]|year=1996|isbn=978-1-4612-6443-9|zbl=0836.20001|edition=2nd}}
*{{cite book|last=Thurston|first=William|author-link=William Thurston|title=Three-dimensional geometry and topology, Vol. 1|url=https://archive.org/details/threedimensional0001thur|editor-last=Levy|editor-first=Silvio|series=Princeton Mathematical Series|publisher=Princeton University Press|year=1997|isbn=978-0-691-08304-9}}
*{{cite book|last=Bradley|first=C. J.|title=The mathematical theory of symmetry in solids : representation theory for point groups and space groups|publisher=Clarendon Press|location=Oxford New York|year=2010|isbn=978-0-19-958258-7|oclc=859155300}}
{{پایان چپ‌چین}}
* {{یادکرد-ویکی|پیوند=https://en.wikipedia.org/wiki/Normal_subgroup|عنوان=Norma Subgroup|زبان=انگلیسی}}

== پیوند به بیرون ==
{{چپ‌چین}}
* {{MathWorld|urlname=NormalSubgroup|title=normal subgroup}}
* [http://eom.springer.de/N/n067690.htm Normal subgroup in Springer's Encyclopedia of Mathematics]
* [http://www.math.uiuc.edu/~r-ash/Algebra/Chapter1.pdf Robert Ash: Group Fundamentals in ''Abstract Algebra. The Basic Graduate Year'']
* [http://gowers.wordpress.com/2011/11/20/normal-subgroups-and-quotient-groups Timothy Gowers, Normal subgroups and quotient groups]
* [http://math.ucr.edu/home/baez/normal.html John Baez, What's a Normal Subgroup?]
{{پایان چپ‌چین}}
{{جعبه ناوبری گروه}}
[[رده:خواص زیرگروه‌ها]]