نمایش مبدأ برای روش پوسته

[[File:Shell integral undergraph - around y-axis.png|thumb|چپ|300px|حجم با مجموعه‌ای از استواته‌های توخالی تخمین زده می‌شود. هرچه دیوارهٔ استوانه‌ای نازک‌تر باشد، حجم تقریب زده شده بهتر است. حد این تقریب همان انتگرال پوسته‌ای است.]]

{{حسابان |انتگرال}}

'''روش پوسته''' {{به انگلیسی|shell method}} یا {{به انگلیسی|Shell integration}} روشی برای محاسبهٔ حجم [[جسم حاصل از دوران]] است. دراین روش در طول محوری ''عمود بر'' محور دوران [[انتگرال|انتگرال‌گیری]] می‌شود؛ این روش مقابل [[روش دیسک]] که در آن در طول محور ''موازی با'' محور دوران انتگرال گرفته می‌شود، است.

== تعریف ==
جسمی سه بعدی که با دوران سطح مقطعی در صفحهٔ {{mvar|xy}} حول محور {{mvar|y}} حاصل شده‌است را در نظر بگیرید. فرض کنید سطح مقطع با [[نمودار تابع]] مثبتی {{mvar|y}} بر بازهٔ {{math|[''a'', ''b'']}} تعریف شده باشد. آنگاه فرمول محاسبهٔ حجم جسم برابر خواهد بود با:
:<math>2 \pi \int_a^b x f(x)\, dx</math>
اگر به جای دوران حول محور {{mvar|y}} حول محور {{mvar|x}} باشد آنگاه فرمول به صورت زیر خواهد بود:

:<math>2 \pi \int_a^b y f(y)\, dy</math>

اگر تابع دور خط {{math|''x'' {{=}} ''h''}} دوران یابد آنگاه فرمول برابر می‌شود با:<ref>{{Cite web|url=https://math.la.asu.edu/~dheckman/11%20-%20Volume%20-%20Shell%20Method.pdf|title=Volume – Shell Method|last=Heckman|first=Dave|date=2014|access-date=2016-09-28}}</ref>

:<math>\begin{cases}
\displaystyle 2 \pi \int_a^b (x-h) f(x)\,dx, & \text{if}\ h \le a < b\\
\displaystyle 2 \pi \int_a^b (h-x) f(x)\,dx, & \text{if}\ a < b \le h,
\end{cases}</math>

و اگر حول محور {{math|''y'' {{=}} ''k''}} دوران یابد:
:<math>\begin{cases}
\displaystyle 2 \pi \int_a^b (y-k) f(y)\,dy, & \text{if}\ k \le a < b\\
\displaystyle 2 \pi \int_a^b (k-y) f(y)\,dy, & \text{if}\ a < b \le k.
\end{cases}</math>

این فرمول با محاسبهٔ [[انتگرال دوگانه]] در مختصات قطبی حاصل می‌شود.

== نمونه ==
جسم زیر که سطح مقطع آن بر بازهٔ {{math|[<!--ابر-->۱،۲<!--/ابر-->]}} تعریف شده‌است را درنظر بگیرید:

:<math>y = (x-1)^2(x-2)^2</math>
{{Multiple image
 | align = none
 <!--ابر-->| total_width = 600<!--/ابر-->
 | image1 = Shell_2d_example.png
 <!--ابر-->| width1 = 481 | height1 = 307<!--/ابر-->
 | caption1 = سطح مقطع
 | image2 = Shell_3D_example.png
 <!--ابر-->| width2 = 632 | height2 = 463<!--/ابر-->
 | caption2 = حجم سه‌بعدی
 | caption_align = center
}}

با استفاده از روش پوسته فرمول زیر را داریم:

:<math>2 \pi \int_1^2 x ((x-1)^2(x-2)^2) \,dx </math>

با گسترش چندجمله‌ای بالا حل انتگرال بسیار ساده می‌شود. با محاسبهٔ انتگرال، حجم جسم برابر با {{sfrac|{{pi}}|10}} واحد مربع می‌شود.

== جستارهای وابسته ==
* [[انتگرال دیسک]]
* [[جسم حاصل از دوران]]

== پانویس ==
{{پانویس}}

== منابع ==
* {{MathWorld|title=Method of Shells|urlname=MethodofShells}}
* [[Frank J. Ayres|Frank Ayres]], [[Elliott Mendelson]]. ''[[Schaum's Outlines]]: Calculus''. McGraw-Hill Professional 2008, {{isbn|978-0-07-150861-2}}. pp. 244–248 ({{Google books|Ag26M8TII6oC|online copy|page=۲۴۴}})
*[https://avidemia.com/single-variable-calculus/applications-of-integration/shell-method/ "The Shell Method"] at Avidemia.com

{{موضوعات حسابان}}

[[رده:حساب انتگرال]]