نمایش مبدأ برای رادیکال تودرتو

'''رادیکال تودرتو،''' '''رادیکال مسلسل''' یا '''رادیکال مرکب''' در [[جبر]] عبارت است از [[ریشه عدد|ریشهٔ]] عبارتی که در خودش یک یا چند عبارت رادیکالی دارد؛ مانند:
:<math>\sqrt{5-2\sqrt{5}\ },</math>
یا به صورت پیچیده‌تر:
:<math>\sqrt[3]{2+\sqrt{3}+\sqrt[3]{4}\ }.</math>

== حذف رادیکال ==
برخی رادیکال‌های تو در تو را می‌توان ساده‌تر کرد و از حالت تو در تو خارج کرد؛ مانند:

:<math>\sqrt{3+2\sqrt{2}} = 1+\sqrt{2}\,,</math>

:<math>\sqrt{5+2\sqrt{6}} = \sqrt{2}+\sqrt{3},</math>

:<math>\sqrt[3]{\sqrt[3]{2} - 1} = \frac{1 - \sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{4}}{\sqrt[3]{9}} \,.</math>
البته گاهی می‌توان فرض کرد که یک رادیکال تو در تو برابر است با مجموع دو [[ریشه عدد|ریشه]]:
:<math>\sqrt{a\pm b \sqrt{c}\ } = \sqrt{d}\pm\sqrt{e}.</math>
با به توان دو رساندن دو طرف تساوی خواهیم داشت:
:<math>a\pm b \sqrt{c} = d + e \pm 2 \sqrt{de}.</math>
اگر فرض کنیم:
:<math>a = d + e,</math>
آنگاه داریم:
:<math>d = a - e,</math>
:<math>e = a - d.</math>
و

:<math> b\sqrt{c} = 2\sqrt{de},</math>
با بتوان دو رساندن دو طرف داریم:

:<math> b^2 c = 4de.</math>
حال ''e'' را جایگزین می‌کنیم:
:<math> b^2 c = 4(a-d)d = 4ad - 4d^2.</math>
حال عبارت به صورت یک اتحاد درآمد پس خواهیم داشت:

:<math> 4d^2 - 4ad + b^2 c = 0, </math>

:<math>d=\frac{a \pm \sqrt {a^2-b^2c}}{2}.</math>
از آنجایی که ''a'' = ''d+e'' است پس ''d'' و ''e'' خواهند بود:

:<math>d=\frac{a + \sqrt {a^2-b^2c}}{2},</math>

و

:<math>e=\frac{a - \sqrt {a^2-b^2c}}{2}.</math>
روشی که در بالا گفته شد تنها در حالات خاصی که <math> \sqrt{a^2 - b^2c} </math> حاصل [[عدد گویا|گویا]] داشته باشد درست است.

== برخی از اتحادهای رامانوجان ==
سرینیواسا رامانوجان، ریاضیدان مشهور هندی، تعدادی از اتحادهای جالب شامل رادیکال های مرکب را اثبات کرد. از جمله:

<math display=block> \sqrt[4]{\frac{3 + 2 \sqrt[4]{5}}{3 - 2 \sqrt[4]{5}}} = \frac{ \sqrt[4]{5} + 1}{\sqrt[4]{5} - 1}=\tfrac12\left(3+\sqrt[4]5+\sqrt5+\sqrt[4]{125}\right),</math>

<math display=block> \sqrt{ \sqrt[3]{28} - \sqrt[3]{27}} = \tfrac13\left(\sqrt[3]{98} - \sqrt[3]{28} -1\right), </math>

<math display=block> \sqrt[3]{ \sqrt[5]{\frac{32}{5}} - \sqrt[5]{\frac{27}{5}} } = \sqrt[5]{\frac{1}{25}} + \sqrt[5]{\frac{3}{25}} - \sqrt[5]{\frac{9}{25}}, </math>

و
{{<math>\sqrt[3]{\ \sqrt[3]{2}\ - 1}= \sqrt[3]{\frac{1}{9}} - \sqrt[3]{\frac{2}{9}} + \sqrt[3]{\frac{4}{9}}.\quad</math>

== جستارهای وابسته ==
[[کسر مسلسل]]
== منابع ==
ویکی انگلیسی
[[رده:جبر]]