نمایش مبدأ برای حلقه صحیح‌ها

{{اشتباه نشود|اعداد صحیح}}
در [[ریاضیات]]، '''حلقه صحیح‌ها''' {{انگلیسی|Ring of Integers}} از یک [[میدان جبری اعداد|میدان عددی]] چون <math>K</math>، حلقه [[صحیح جبری|صحیح‌های جبری]] عضو <math>K</math> اند.{{sfn|Alaca|Williams|2003|loc=Defs. 6.1.2-3|p=۱۱۰}} یک عنصر صحیح جبری، ریشه‌ای از [[چندجمله‌ای تکین]] ([[چندجمله‌ای]] تک‌متغیره با ضریب پیشروی ۱) با ضرایب [[عدد صحیح|اعداد صحیح]] است: <math>x^n+c_{n-1}x^{n-1}+\cdots+c_0</math>.{{sfn|Alaca|Williams|2003|loc=Defs. 4.1.1-2|p=۷۴}} این حلقه را اغلب با نمادهای <math>O_K</math> یا <math>\mathcal{O}_K</math> نشان می‌دهند. از آنجا که هر [[عدد صحیح]] به <math>K</math> متعلق بوده و عنصر صحیحی از <math>K</math> است، حلقه <math>\mathbb{Z}</math> نیز همیشه زیرحلقه‌ای از <math>O_K</math> است.

حلقه اعداد صحیح <math>\mathbb{Z}</math> ساده‌ترین حلقه ممکن از صحیح‌ها است.{{efn|عبارت «حلقه صحیح‌ها»، بدون مشخص کردن میدان، ممکن است با حلقه اعداد صحیح <math>\mathbb{Z}</math> اشتباه شود. این مسئله ناشی از ابهام در کلمه «صحیح» در جبر مجرد است.}} در حقیقت <math>\mathbb{Z}=O_{\mathbb{Q}}</math> که در آن <math>\mathbb{Q}</math> [[میدان (ریاضیات)|میدان]] [[عدد گویا|اعداد گویا]] است.{{sfn|Cassels|1986|p=۱۹۲}} و بر همین اساس در نظریه جبری اعداد برخی مواقع به عناصر <math>\mathbb{Z}</math> «صحیح‌های گویا» نیز گفته می‌شود.

ساده‌ترین مثال بعدی، حلقه صحیح‌های گاوسی <math>\mathbb{Z}\left[i\right]</math> است که شامل اعداد مختلطی است که بخش حقیقی و موهومی آن اعداد صحیح می‌باشد. این حلقه، حلقه صحیح‌های میدان عددی <math>\mathbb{Q}(i)</math> از [[عدد مختلط|اعداد مختلطی]] است که بخش‌های موهومی و حقیقی آن عضو اعداد گویا اند. این حلقه نیز همچون صحیح‌های گویا، یک [[حوزه اقلیدسی]] است.

حلقه صحیح‌ها از یک میدان عددی، [[مرتبه (نظریه اعداد)|مرتبه]]{{efn|Order، زیرحلقه‌ای خاص در نظریه جبری اعداد}} ماکسیمال یکتایی از آن میدان است. همچنین این حلقه همیشه [[حوزه ددکیند]] است.{{sfn|Samuel|1972|p=۴۹}}

=== ویژگی ها ===
حلقه اعداد صحیح OK یک ماژول Z است که به طور متناهی تولید شده است. در واقع، این یک ماژول Z آزاد است، و بنابراین دارای یک پایه انتگرال است، که مبنای b1، ...، bn ∈ OK فضای Q-بردار K است، به طوری که هر عنصر x در OK را می توان به صورت منحصر به فرد نشان داد.

با ai ∈ Z.[5] رتبه n OK به عنوان یک ماژول Z آزاد برابر با درجه K بر Q است.<ref>{{Cite journal|date=2023-05-17|title=Ring of integers|url=https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Ring_of_integers&oldid=1155316116|journal=Wikipedia|language=en}}</ref>

== یادداشت‌ها ==
{{یادداشت‌ها}}

== ارجاعات ==
{{پانویس|چپ‌چین=بله}}

== منابع ==
{{چپ‌چین}}
{{آغاز منابع}}
* {{cite book|last1=Alaca|first1=Saban|last2=Williams|first2=Kenneth S.|title=Introductory Algebraic Number Theory|year=2003|publisher=[[انتشارات دانشگاه کمبریج|Cambridge University Press]]|url=https://www.cambridge.org/core/books/introductory-algebraic-number-theory/9F53B233CD4D717B1A31ECD117FFEA7D|isbn=978-0-511-79126-0}}
* {{cite book|last=Cassels|first=J.W.S.|author-link=J. W. S. Cassels|title=Local fields|zbl=0595.12006|series=London Mathematical Society Student Texts|volume=3|location=Cambridge|publisher=[[انتشارات دانشگاه کمبریج|Cambridge University Press]]|year=1986|isbn=0-521-31525-5|url=https://books.google.com/books?id=UY52SQnV9w4C&q=%22ring+of+integers%22}}
* {{Neukirch ANT}}
* {{cite book|last=Samuel|first=Pierre|author-link=پیر ساموئل|title=Algebraic number theory|publisher=Hermann/Kershaw|year=1972}}
{{پایان منابع}}
{{پایان چپ‌چین}}

{{جبر مجرد-خرد}}
{{نظریه اعداد-خرد}}

[[رده:نظریه جبری اعداد]]
[[رده:نظریه حلقه‌ها]]